וועקטאָרן אין פיזיק: קאָנצעפּטן און אַפּליקאַציעס
וועקטאָרן זענען אַ וויכטיקער מאַטעמאַטישער באַגריף אין פיזיק. נישט ווי סקאַלאַרן, וואָס האָבן נאָר מאַגניטוד (אָדער ווערט), האָבן וועקטאָרן ביידע מאַגניטוד און ריכטונג. אַ גרונטלעכע פארשטאנד פון וועקטאָרן און זייערע אַפּליקאַציעס אין פיזיק קען אונדז העלפן דערקלערן נאַטירלעכע דערשיינונגען מער גענוי און אינטואיטיוו.
פֿאַרשטיין וועקטאָרן
פשוט געזאגט, א וועקטאָר איז אַ מאַטעמאַטישע ענטיטי רעפּרעזענטירט דורך אַ פײַל וואָס ווײַזט אַ ריכטונג און האָט אַ ספּעציפֿישע לענג וואָס רעפּרעזענטירט איר מאַגניטוד. די לענג ווערט אָפט באַצייכנט ווי די "מאַגניטוד" אָדער וועקטאָר קוואַנטיטעט.
כדי בעסער צו פארשטיין דעם קאנצעפט, טראכט איבער גיין פון פונקט א צו פונקט ב. די דיסטאנץ צווישן די צוויי פונקטן איז א סקאלאר קוואנטיטעט, אבער די ריכטונג פון רייזע פון א צו ב פירט איין דעם קאנצעפט פון א וועקטאָר. אייער לעצטע פאזיציע אין באצוג צו אייער סטארט-פונקט ווענדט זיך נישט נאר ווי ווייט איר גייט, נאר אויך אין דער ריכטונג אין וועלכער איר גייט.
וועקטאָר רעפּרעזענטאַציע
אין מאטעמאטישער נאטאציע, ווערן וועקטאָרן געוויינטלעך געשריבן אין פעטע אותיות ווי v, אדער ווי אותיות מיט א פייל איבער זיי ווי \( \vec{v} \). צוויי-דימענסיאָנעלע וועקטאָרן קענען רעפּרעזענטירט ווערן ווי געאָרדנטע פּאָרן \( (v_x, v_y) \), וואו \( v_x \) און \( v_y \) זענען די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר אין די x- און y-ריכטונגען.
פֿאַר אַ דריי-דימענסיאָנאַלן וועקטאָר, ווערט די רעפּרעזענטאַציע \( (v_x, v_y, v_z) \). די קאָמפּאָנענטן ווערן געוויינטלעך געפֿונען דורך פּראָיעקציע פֿון דעם אָנהייב וועקטאָר אויף די x, y, און z אַקסעס, און קענען אילוסטרירט ווערן אין אַ קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם.
אָפּעראַציעס אויף וועקטאָרן
וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע
וועקטאָר אַדיציע ווערט געטאָן דורך אַדיציע זייערע קאָמפּאָנענטן. למשל, אויב \(\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)\) און \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), דעמאָלט איז די וועקטאָר סומע \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\):
\[
\vec{w} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)
\]
וועקטאָר סובטראַקציע ווערט געטאָן אויף דעם זעלבן וועג, נעמלעך דורך סובטראַקירן זיינע קאָמפּאָנענטן. אַזוי, \(\vec{w} = \vec{u} – \vec{v}\) איז:
\[
\vec{w} = (u_x – v_x, u_y – v_y, u_z – v_z)
\]
מולטיפּליקאַציע פון וועקטאָרן מיט סקאַלאַרן
מאַלטיפּליקאַציע פון אַ וועקטאָר מיט אַ סקאַלאַר \(k\) ווערט געטאָן דורך מאַלטיפּליקירן יעדן קאָמפּאָנענט פון דעם וועקטאָר מיט יענעם סקאַלאַר. למשל, אויב \(k\) איז אַ סקאַלאַר און \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), דעמאָלט איז דער רעזולטאַט פון מאַלטיפּליקירן אַ וועקטאָר מיט אַ סקאַלאַר:
\[
k \cdot \vec{v} = (ק וו_קס, ק וו_י, ק וו_ז)
\]
וועקטאָר מולטיפּליקאַציע (פּונקט פּראָדוקט און קראָס פּראָדוקט)
עס זענען דא צוויי הויפּט טיפּן פון וועקטאָר מאַלטיפּליקאַציע, נעמלעך פּונקט פּראָדוקט און קראָס פּראָדוקט.
דער פּונקט־פּראָדוקט איז אַן אָפּעראַציע וואָס פּראָדוצירט אַ סקאַלאַרן פּראָדוקט. למשל, פֿאַר די וועקטאָרן \(\vec{u}\) און \(\vec{v}\):
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = ו_קס וו_קס + ו_י וו_י + ו_ז וו_ז
\]
די אפעראציע ווערט גענוצט אין א פארשיידנקייט פון אנווענדונגען, אריינגערעכנט באשטימען די פראיעקציע פון איין וועקטאָר אויף א צווייטן.
א קראָס פּראָדוקט איז אַן אָפּעראַציע וואָס פּראָדוצירט אַ נייעם וועקטאָר וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו ביידע אָריגינעלע וועקטאָרן. למשל, פֿאַר וועקטאָרן \(\vec{u}\) און \(\vec{v}\):
\[
\vec{u} \times \vec{v} = (u_y v_z – u_z v_y, u_z v_x – u_x v_z, u_x v_y – u_y v_x)
\]
קראָס פּראָדוקטן ווערן ברייט גענוצט אין פיזיק, ספּעציעל אין פאַלן וואָס אַרייַננעמען ראָטאַציעס און קראַפט מאָמענטן.
אַפּליקאַציעס פון וועקטאָרן אין פיזיק
דער נעקסטער שריט איז צו זען ווי די קאנצעפטן ווערן אנגעווענדט אין פיזיק.
קינעמאַטיק
אין קינעמאַטיק, קען מען אלע רעפּרעזענטירן פאזיציע, שנעלקייט, און פארגיכערונג אלס וועקטאָרן. די פאזיציע פון אן אביעקט אין א פונקט \(t \) קען מען אויסדריקן אלס דער פאזיציע וועקטאָר \(\vec{r}(t)\). שנעלקייט, וואס איז די ראטע פון ענדערונג פון פאזיציע אין באצוג צו צייט, איז די ערשטע דעריוואטיוו פון פאזיציע אין באצוג צו צייט:
\[
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
\]
אַקסעלעראַציע, וואָס איז די ראַטע פון ענדערונג פון גיכקייט אין באַצוג צו צייט, איז די ערשטע דעריוואַטיוו פון גיכקייט אָדער די צווייטע דעריוואַטיוו פון פּאָזיציע:
\[
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2}
\]
דינאַמיק
אין דינאמיק, איז די נוצ פון וועקטאָרן יסודותדיק. ניוטאָנס צווייטער געזעץ, למשל, זאָגט אַז די קראַפט וואָס אַקט אויף אַן אָביעקט איז דער פּראָדוקט פון זיין מאַסע \(m\) און זיין אַקסעלעראַציע \( \vec{a} \):
\[
F = m \vec{a}
\]
אין דעם פאַל, ביידע די קראַפט \(\vec{F}\) און די אַקסעלעראַציע \(\vec{a}\) זענען וועקטאָרן. דאָס מיינט אַז די אַנאַליז פון כוחות אויף אַן אָביעקט מוז נעמען אין חשבון די וועקטאָר נאַטור פון די כוחות.
עלעקטרישע און מאַגנעטישע פעלדער
אין דעם פעלד פון עלעקטראָמאַגנעטיזם, זענען דאָס עלעקטרישע פעלד \(\vec{E}\) און דאָס מאַגנעטישע פעלד \(\vec{B}\) אויך וועקטאָרן. די שטאַרקייט און ריכטונג פון דעם עלעקטרישן פעלד אין יעדן פונקט אין פּלאַץ ווערן באַשטימט דורך דעם עלעקטרישן פעלד וועקטאָר \(\vec{E}\), בשעת דאָס מאַגנעטישע פעלד \(\vec{B}\) באַשרײַבט ווי דאָס מאַגנעטישע פעלד אַפֿעקטירט דעם אַרומיקן פּלאַץ. זיי אַפֿעקטירן געלאָדענע פּאַרטיקלען אין וועגן וואָס קענען פֿאָרויסגעזאָגט ווערן דורך די געזעצן פון פֿיזיק וואָס נוצן וועקטאָרן.
פליסיק מעכאניק
אין פליסיק מעכאניק, ווערן וועקטאָרן גענוצט צו באַשרײַבן די גיכקייט און וואָרטיסיטי פון אַ פליסיקייט. די פליסיק גיכקייט \(\vec{v}(\vec{r}, t)\) אין פּאָזיציע \(\vec{r}\) און צײַט \(t\) איז אַ וועקטאָר. פליסיק מעכאניק איז זייער קאָמפּליצירט און אָפט פֿאַרלאָזט זיך אויף די נאַוויער-סטאָוקס גלייכונגען, וואָס זענען וועקטאָר פּאַרציעלע דיפערענציאַל גלייכונגען.
אָפּטיק און כוואַליעס
אין כוואַליע פיזיק, ספּעציעל אין עלעקטראָמאַגנעטישע קרייזן, קען מען רעפּרעזענטירן די עלעקטרישע און מאַגנעטישע פעלדער וואָס רעגירן כוואַליע פאַרשפּרייטונג ווי וועקטאָרן. דערשיינונגען ווי די פּאָלאַריזאַציע פון ליכט אַרייַנציען וועקטאָר אַנאַליז פון דעם עלעקטרישן פעלד ווייל די אָריענטאַציע פון דעם עלעקטרישן פעלד באַשטימט די פּאָלאַריזאַציע.
רעלאַטיוויטעט
אין דער טעאריע פון רעלאטיוויטעט, ווערט דער קאנצעפט פון וועקטאָרן אויסגעברייטערט צו אַרייננעמען דעם קאנצעפט פון "פיר-וועקטאָרן," וואָס נעמט אַרום ביידע די צייט דימענסיע און דריי ספּיישאַל דימענסיעס. א ביישפּיל פון א פיר-וועקטאָר איז דער "פיר-מאָמענטום," וואָס קאָמבינירט ענערגיע און מאָמענטום אין איין וועקטאָר ענטיטי.
קעסימפּולאַן
וועקטאָרן זענען איינע פון די וויכטיקסטע פונדאַמענטאַלע מאַטעמאַטישע קאָנצעפּטן אין פיזיק. זיי צושטעלן אַ מער אינטואיטיוו און פּינקטלעך וועג צו מאָדעלירן נאַטירלעכע דערשיינונגען, ספּעציעל ווען ריכטונג איז אַ באַטייטיקער פאַקטאָר. פון קינעמאַטיק ביז דער טעאָריע פון רעלאַטיוויטעט, די נוצן פון וועקטאָרן מאכט עס גרינגער צו פֿאַרשטיין, אַנאַליזירן און פאָרויסזאָגן אַ ברייטע קייט פון פיזישע דערשיינונגען. דעריבער, באַהערשן דעם קאָנצעפּט פון וועקטאָרן איז אַ קריטישער שריט פֿאַר ווער עס יז אינטערעסירט אין שטודירן פיזיק.
