פּאַסקאַלס מוסטערן אין קאָמבינאַטאָריק
קאָמבינאַטאָריק איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס שטודירט די וועגן אין וועלכע אָביעקטן קענען זײַן אָרגאַניזירט. איינע פֿון די אינטערעסאַנטסטע און נוצלעכע מכשירים אין דעם פֿעלד איז פּאַסקאַלס מוסטער, אויך באַקאַנט ווי פּאַסקאַלס טרייענגל. פּאַסקאַלס טרייענגל איז אַ טרייענגל פֿון נומערן קאָנסטרויִרט לויט געוויסע כּללים און האָט ברייטע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון מאַטעמאַטיק, אַרײַנגערעכנט וואַרשענלעכקייט טעאָריע, נומער טעאָריע, און, פֿאַרשטייט זיך, קאָמבינאַטאָריק.
דער אָנהייב פֿון פּאַסקאַלס טרייענגל
פּאַסקאַלס טרייענגל איז גערופן נאָך בלעז פּאַסקאַל, אַ פֿראַנצויזישער מאַטעמאַטיקער פֿונעם 17טן יאָרהונדערט. אָבער, עס איז געווען באַקאַנט צו אינדישע און כינעזישע מאַטעמאַטיקער לאַנג פֿאַר פּאַסקאַלס צייטן. אין אינדיע איז עס גערופן געוואָרן "מערו-פּראַסטאַאַראַ," און אין כינע איז עס באַקאַנט געווען ווי דער "יאַנג הוי טרייענגל," גערופן נאָך דעם כינעזישן מאַטעמאַטיקער יאַנג הוי.
פּאַסקאַלס טרייענגל סטרוקטור
פּאַסקאַלס דרייַעק הייבט זיך אָן מיט 1 ביים שפּיץ. יעדע ווייטערדיקע ריי ווערט געשאַפֿן דורך צולייגן די צוויי נומערן אין דער ריי גלייך העכער איר. די ערשטע ריי כּולל בלויז איין נומער, 1. די צווייטע ריי כּולל צוויי נומערן וואָס זענען אויך 1. די דריטע ריי כּולל 1ער ביי יעדן עק מיט אַ 2 צווישן זיי, דער רעזולטאַט פון צולייגן די צוויי 1ער פון דער פריערדיקער ריי.
בכלל, די נטע רייע אין פּאַסקאַל'ס טרייענגל קען געשריבן ווערן ווי:
1, (n-1)C1, (n-1)C2, …, (n-1)C(n-1), 1
דאָ, "kC(n)" איז אַ קאָמבינאַציע סימבאָל וואָס ווערט געלייענט ווי "n קלייַבן k" אָדער "n סעלעקטירן k", וואָס איז אַ קאָמבינאַציע פאָרמולע אין מאַטעמאַטיק און ווערט אָפט געניצט אין וואַרשיינלעכקייט טעאָריע און לינעאַר אַלגעברע.
אַפּליקאַציעס אין קאָמבינאַטאָריק
1. קאָמבינאַציע
איינע פון די הויפּט אַפּליקאַציעס פון פּאַסקאַלס טרייענגל אין קאָמבינאַטאָריק איז צו רעכענען קאָמבינאַציעס. א קאָמבינאַציע איז אַ וועג פון אויסקלייבן זאכן פון אַ סכום וואו סדר ווערט נישט גענומען אין חשבון. אין דעם קאָנטעקסט פון פּאַסקאַלס טרייענגל, די ווערטן אין דער nטער ריי און kטער זייַל רעפּרעזענטירן n-1Ck-1 קאָמבינאַציעס.
למשל, צו רעכענען די קאָמבינאַציע 5C2 (אויסקלייבן 2 פון 5), קענען מיר קוקן אויף די 6טע ריי און 3טע זייַל אין פּאַסקאַל'ס טרייענגל, וואָס גיט דעם ווערט 10. מיט אַנדערע ווערטער, עס זענען דאָ 10 וועגן צו אויסקלייבן 2 זאכן פון אַ סכום פון 5 זאכן.
2. פּערמוטאַציעס און בינאָמיאַל קאָעפֿיציענטן
פּאַסקאַלס טרייענגל איז אויך ענג פֿאַרבונדן מיט די בינאָמיאַלע קאָעפֿיציענטן וואָס דערשייַנען אין דער בינאָמיאַלער עקספּאַנשאַן פֿון (x + y)^n. די קאָעפֿיציענטן זענען די נומערן וואָס מיר געפֿינען אין פּאַסקאַלס טרייענגל. למשל, די עקספּאַנשאַן פֿון (x + y)^3 איז:
(x + y)^3 = 1 x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + 1 y^3
דאָ, די קאָעפֿיציענטן 1, 3, 3, און 1 זענען די ווערטן פֿון פּאַסקאַלס טרייענגל אין דער 4טער ריי.
3. וואַרשיינלעכקייט שפּיל
אין וואַרשיינלעכקייט טעאָריע, ווערט פּאַסקאַלס טרייענגל אָפט גענוצט צו באַשטימען די וואַרשיינלעכקייט פון פֿאַרשידענע רעזולטאַטן. למשל, ווען מען וואַרפט אַ מטבע פֿיר מאָל, ווילן מיר וויסן די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען צוויי קעפּ. ניצנדיק פּאַסקאַלס טרייענגל, קענען מיר געפֿינען די צאָל פֿון קאָרעספּאָנדירנדיקע קאָמבינאַציעס, וואָס איז אין דער פֿינפֿטער ריי און דריטער קאָלום, וואָס גיט אונדז אַ ווערט פֿון 6. דעריבער, זענען דאָ זעקס וועגן צו באַקומען צוויי קעפּ אין פֿיר מטבע וואָרפֿן.
ספּעציעלע אייגנשאַפטן פון פּאַסקאַלס דרייַעק
פּאַסקאַלס טרייענגל האט אויך פֿאַרשידענע אינטערעסאַנטע און איבערראַשנדיקע אייגנשאַפֿטן:
1. סימעטריע
פּאַסקאַלס טרייענגל ווײַזט די סימעטריע פֿון נומערן. די נטע ריי פֿון פּאַסקאַלס טרייענגל איז סימעטריש, אַזוי nCr = nC(nr).
2. פיבאָנאַטשי באַציִונג
פּאַסקאַלס טרייענגל קען אויך געניצט ווערן צו פֿאַרבינדן די פֿיבאָנאַטשי סיקוואַנס. פֿיבאָנאַטשי נומערן קען געפֿונען ווערן דורך צולייגן די נומערן אויף די דיאַגאָנאַלע ליניעס וואָס שניידן עטלעכע ליניעס אין פּאַסקאַלס טרייענגל.
3. פּאַריטעט
פּאַסקאַלס טרייענגל ווייזט אינטערעסאנטע פּאַריטעט מוסטערן. אויב מיר קאָלירן די גראָדע און גראָדע נומערן אין פּאַסקאַלס טרייענגל אַנדערש, קומען ארויס אינטערעסאנטע וויזועלע מוסטערן, וואָס פאָרמען אָפט פראַקטאַלן.
אימפּלעמענטאַציע פון פּאַסקאַל פּאַטערנס אין פּראָגראַמירן
פּאַסקאַלס טרייענגל ווערט אויך אָפט גענוצט אין אַלגעריטמען און פּראָגראַמירן. למשל, מיר קענען קאָנסטרויִרן פּאַסקאַלס טרייענגל ניצנדיק אַ פּראָגראַמיר שפּראַך ווי פּיטהאָן מיטן פאָלגנדיקן קאָד:
"פּיטהאָן
def דזשענערייט_פּאַסקאַלז_טריאַנגל(n):
דרייעק = [[1]]
פֿאַר איך אין קייט (1, n):
רייע = [1]
פֿאַר j אין קייט(1, i):
רייע.צולייגן(טרייענגל[i-1][j-1] + טרייענגל[i-1][j])
רייע.צולייגן(1)
טרייענגל.צולייגן(רייע)
צוריקקער דרייעק
N = קסנומקס
טרייענגל = דזשענערייט_פּאַסקאַלז_טרייענגל(n)
פֿאַר אַ ריי אין אַ דרייַעק:
דרוקן (רייע)
““
דער אויבנדערמאנטער קאד וועט ארויסגעבן די ערשטע ביז פינפטע רייען פון פאסקאלס טרייענגל, וואס קען גענוצט ווערן פאר פארשידענע קאמבינאטאריקס און ווארשיינליכקייט אנאליז אפליקאציעס.
קעסימפּולאַן
פּאַסקאַלס טרייענגל, אדער פּאַסקאַלס מוסטער, איז אַ שטאַרק און פילזײַטיק געצייַג אין קאָמבינאַטאָריק. פֿון רעכענען קאָמבינאַציעס און וואַרשיינלעכקייטן אין וואַרשיינלעכקייט שפּילן ביז דעשיפֿרירן בינאָמיאַל עקספּאַנסיעס און פֿאַרבינדן פֿאַרשידענע מאַטעמאַטישע קאָנצעפּטן, פּאַסקאַלס מוסטער אָפערט אַן עפֿעקטיוון און אינטואיטיוון וועג צו סאָלווען קאָמפּלעקסע פּראָבלעמען. מיט זײַן פּשוטער סטרוקטור אָבער באַמערקנסווערטער מאַטעמאַטישער טיפֿקייט, ווערט פּאַסקאַלס מוסטער ווײַטער געלערנט און אָנגעווענדט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון מאַטעמאַטיק און אַנדערע וויסנשאַפֿטן.
