מאַטעמאַטישע באַווייַז מעטאָדן
באַווייַז אין מאַטעמאַטיק איז אין צענטער פֿון דעם דיסציפּלין. באַווייַז מעטאָדן זענען די יסוד פֿאַר זיכער מאַכן די אמת פֿון אַ מאַטעמאַטישן אויסזאָג. פֿון גרונטלעכע הנחות ביז מסקנות, מוז יעדער שריט זיין געראַנטירט צו זיין גילטיק. פֿאַרשטיין פֿאַרשידענע באַווייַז מעטאָדן ניט בלויז פֿאַרשטאַרקט אַנאַליטישע פֿעיִקייטן, נאָר אויך באַרייַכערט די לערנען-ערפֿאַרונג און אַפּליקאַציע פֿון מאַטעמאַטיק אין פֿאַרשידענע פֿעלדער.
דיזער אַרטיקל וועט דיסקוטירן עטלעכע פון די הויפּט באַווייַז מעטאָדן אין מאַטעמאַטיק, אַרייַנגערעכנט דירעקט באַווייַז, אומדירעקט באַווייַז (קאָנטראַפּאָזיציע און קעגנשטעל), מאַטעמאַטישע אינדוקציע, און באַווייַז דורך ספּעציפֿישע בייַשפּיל. יעדע מעטאָדע האט אַנדערע אַפּליקאַציעס, שטאַרקייטן און שוואַכקייטן. לאָמיר זיי אויספאָרשן אין מער טיפקייט.
1. דירעקטער באַווייַז
דעפֿיניציע און ביישפילן
דירעקטער באווייז איז א מעטאד אין וועלכן מיר באווייזן אן אויסזאג דורך ווייזן אז אויב די פרעמיסן (אנשטאמען) זענען ריכטיג, דאן איז די מסקנא אויך ריכטיג. אין דירעקטן באווייז, הייבן מיר געווענליך אן מיט וואס איז באקאנט און ניצן לאגישע טריט צו דערגרייכן די מסקנא.
קאָנטעקסט:
באַווײַזט אַז אויב \(n\) איז אַ גראָדע צאָל, דאַן איז \(n^2\) אויך גראָדע.
באַווייַז:
לאָמיר זאָגן אַז \(n\) איז אַ גראָדע צאָל. דעמאָלט, לויט דער דעפֿיניציע פֿון אַ גראָדע צאָל, קען מען שרײַבן אַז \(n = 2k\) פֿאַר אַ געוויסע גאַנצע צאָל \(k\). אַזוי,
\[ נ^2 = (2ק)^2 = 4ק^2 = 2(2ק^2) \]
עס איז קלאָר אַז \(n^2\) קען אויסגעדריקט ווערן ווי 2 מאָל אַ גאַנצע צאָל (ד״ה \(2k^2\)). זינט די הויפּט פאָדערונג פֿאַר אַ גראָדע צאָל איז אַז עס קען אויסגעדריקט ווערן ווי 2 מאָל אַ גאַנצע צאָל, דעמאָלט איז \(n^2\) אויך אַ גראָדע צאָל.
2. אינדירעקטע באווייזן
אינדירעקטער באווייז נעמט אריין צוויי הויפט צוגאנגען: באווייז דורך קאנטראפאזיציע און באווייז דורך סתירה.
א. באַווייַז פון קאָנטראַפּאָזיציע
דעפֿיניציע און ביישפילן
די מעטאָדע באַשטייט פון באַווייַזן דעם אימפליקאַטיוון אויסזאָג "אויב \(P\), דאַן \(Q\)" דורך באַווייַזן דעם קאָנטראַפּאָזיטיוון פון דעם אויסזאָג: "אויב נישט \(Q\), דאַן נישט \(P\)".
קאָנטעקסט:
באַווײַזט אַז אויב \(n^2\) איז אומגערעדט, דעמאָלט איז \(n\) אויך אומגערעדט.
באַווייַז:
דער קאנטראפאזיטיוו פון דער אויסזאג איז: אויב \(n\) איז נישט אומגעפער (אדער גראד), דאן איז \(n^2\) נישט אומגעפער (אדער גראד).
לאָמיר זאָגן אַז \(n\) איז גראָד, דעמאָלט \(n = 2k\) פֿאַר אַ גאַנצע צאָל \(k\). אַזוי,
\[ נ^2 = (2ק)^2 = 4ק^2 = 2(2ק^2) \]
דאָס מיינט אַז \(n^2\) איז אַ גראָדע צאָל. אַזוי, די קאָנטראַפּאָזיטיוו איז באַוויזן, און די אָריגינעלע אויסזאָג איז אויך געראַנטירט צו זיין אמת.
ב. באַווייַז דורך קעגנשטעל
דעפֿיניציע און ביישפילן
באַווייַז דורך קעגנשטעל באַדייט אַז די אויסזאָג וואָס דאַרף באַוויזן ווערן איז פאַלש און ווייַזן אַז די הנחה פירט צו אַ לאָגישן קעגנשטעל.
קאָנטעקסט:
באַווײַזט אַז \(\sqrt{2}\) איז אַן איראַציאָנעלע נומער.
באַווייַז:
לאָמיר אַנשטאָט דעם זאָגן אַז ∫² איז אַ ראַציאָנעלע צאָל. דעמאָלט, ∫² = ∫a/b), וואו ∫a און ∫b זענען רעלאַטיוו פּרימע גאַנצע צאָלן (די סובטראַקציע איז 1), און ∫b איז 0). אַזוי, קענען מיר שרייבן:
[2 קוואדראט־צייכן = a}{b]
\[2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
פֿון דער גלייכונג זעען מיר אַז \(a^2\) איז אַ גראָדע צאָל, וואָס מיינט אַז \(a\) מוז אויך זײַן גראָדע. לאָמיר זאָגן אַז \(a = 2k\), מיר האָבן:
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
זינט \(b^2\) איז א גראדע נומער, דאן מוז \(b\) אויך זיין א גראדע נומער. דאס מיינט אז \(a\) און \(b\) זענען ביידע גראדע נומערן, וואס סותר די ארגינעלע הנחה אז \(\frac{a}{b}\) איז אין זיין פשוטסטער פארעם. דעריבער, \(\sqrt{2}\) קען נישט זיין א ראציאנעלע נומער, און דעריבער איז עס איראציאנעל.
3. מאַטעמאַטישע אינדוקציע
דעפֿיניציע און ביישפילן
מאַטעמאַטישע אינדוקציע איז אַ באַווייַז מעטאָדע געניצט צו באַווייַזן סטייטמאַנץ וואָס אַרייַננעמען גאַנצע צאָלן. דער פּראָצעס באַשטייט פון צוויי טריט: די אינדוקציע באַזע און דער אינדוקציע שריט.
קאָנטעקסט:
באַווײַזט אַז די סומע פֿון דער ערשטער סעריע פֿון גאַנצע צאָלן ∫(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
באַווייַז:
– אינדוקציע באזיס:
פֿאַר \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
ריכטיק.
– אינדוקציע טריט:
גיי אויס פון דעם אויסזאג אז די אויסזאג איז ריכטיג פאר א נומער \(k\). דאס הייסט,
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
מיר דאַרפֿן באַווײַזן אַז עס איז אויך אמת פֿאַר ∫k + 1−1. מיר לייגן ∫k + 1−1 צו ביידע זײַטן פֿון דער גלייכונג:
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
אַזוי, די אויסזאָג איז אמת פֿאַר ∫k + 1−1. אַזוי, לויטן פּרינציפּ פֿון מאַטעמאַטישער אינדוקציע, איז די אויסזאָג אמת פֿאַר אַלע פּאָזיטיווע גאַנצע צאָלן ∫n−1.
4. באַווייַז מיט ספּעציפֿישע ביישפילן
דעפֿיניציע און ביישפילן
די מעטאָדע באַשטייט פון באַווייַזן דורך אויסקלייבן ספּעציפֿישע ביישפילן וואָס טרעפן אַלע די באדינגונגען געגעבן אין דער אויסזאָג און ווייַזן אַז די אויסזאָג איז אמת. אָבער, די מעטאָדע ווערט געוויינטלעך געניצט צו באַווייַזן אַז אַ אויסזאָג איז פאַלש.
קאָנטעקסט:
באַווײַזט אַז עס זענען דאָ נומערן וואָס קענען נישט אויסגעדריקט ווערן ווי די סומע פון צוויי פערפעקטע קוואַדראַטן.
באַווייַז:
פרובירט ניצן ביישפּיל \(3\):
לאָמיר זאָגן אַז \(3\) קען אויסגעדריקט ווערן ווי די סומע פון צוויי פערפעקטע קוואַדראַטן, נעמלעך \(a^2 + b^2 = 3\). נאָך פּרובירן אַלע קאָמבינאַציעס פון די גאַנצע צאָלן \(a\) און \(b\),
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (אוממעגלעך).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (אוממעגלעך).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (אוממעגלעך).
4. נעגאַטיווע נומערן אדער נומערן גרעסער ווי 2 זענען אויך נישט מעגלעך.
דאָס ווײַזט אַז \(3\) קען נישט אויסגעדריקט ווערן ווי די סומע פֿון צוויי קוואַדראַטישע נומערן. אַזוי, עס זענען דאָ נומערן וואָס קענען נישט אויסגעדריקט ווערן ווי די סומע פֿון צוויי פֿולקאָמע קוואַדראַטישע נומערן.
קעסימפּולאַן
באווייזן אין מאטעמאטיק פארלאנגען פארשידענע מעטאדאלאגיעס און סיסטעמאטישע טריט לויטן טיפ אויסזאג וואס ווערט באוויזן. דירעקטער באווייז, אומדירעקטע באווייז (קאנטראפאזיטיוו און קעגנזאץ), מאטעמאטישע אינדוקציע, און ספעציעלע ביישפילן זענען עטלעכע פון די הויפט באווייז מעטאדן וואס ווערן גענוצט אין פארשידענע סיטואציעס. פארשטיין די מעטאדן וועט פארשטארקן די יסודות פון מאטעמאטיק און העלפן אייך אויספארשן טיפער די פארשידענע צווייגן פון מאטעמאטיק.
מיט פּראַקטיק און אַ טיפן פֿאַרשטאַנד, וועלן מאַטעמאַטישע באַווײַז מעטאָדן ווערן אַ געצייַג וואָס וועט שטענדיק זײַן גרייט צו ווערן גענוצט בײַם סאָלווען קאָמפּליצירטע מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען.
