גרונטלעכע קאנצעפטן פון עוקלידישע געאמעטריע
עוקלידישע געאמעטריע איז א צווייג פון מאטעמאטיק וואס שטודירט די פארעם, גרייס, פאזיציע, און אייגנשאפטן פון פלאץ באזירט אויף געדאנקען וואס זענען פארמולירט געווארן דורך עוקליד (אומגעפער דעם 3טן יארהונדערט פאר דער ציווילער רעכענונג) אין זיין מאנומענטאלן ווערק, עלעמענטן. פאר יארהונדערטער איז די געאמעטריע געווען די הויפט באזע פארן פארשטיין צוויי-דימענסיאנאלן (פלאך) און דריי-דימענסיאנאלן (פלאך) פלאץ ווי מיר באגעגענען עס אין טעגליכן לעבן. ווען מיר צייכענען א גלייכע ליניע מיט א ליניאל, מעסטן די ווינקלען פון א דרייעק, אדער רעכענען די שטח פון א רעכטעק, ניצן מיר אין עיקר די פרינציפן פון עוקלידישע געאמעטריע. דער ארטיקל דיסקוטירט די גרונט קאנצעפטן פון עוקלידישע געאמעטריע, אירע פונדאמענטאלע אביעקטן, אקסיאמען, און עטלעכע פון די וויכטיגע טעארעמען וואס פארמען איר יסוד.
1. פונקטן, ליניעס און פלאכן: גרונטלעכע אביעקטן
עוקלידישע געאמעטריע איז געבויט פון דריי גרונטלעכע אביעקטן: פונקטן, ליניעס און פלאכן.
1. א פונקט איז דער פשוטסטער אביעקט וואס ווייזט נאר פאזיציע און האט נישט קיין דימענסיעס (נישט קיין לענג, ברייט, אדער הייך). פונקטן ווערן געווענליך סימבאליזירט מיט גרויסע אותיות ווי A, B, אדער C.
2. א ליניע איז א סכום פונקטן וואס ציט זיך אומענדלעך אין צוויי ריכטונגען און האט איין דימענסיע, נעמליך לענג. אין אידעאלער געאמעטריע, האט א ליניע נישט קיין גרעב. א ליניע קען ווערן דעפינירט דורך צוויי באזונדערע פונקטן, למשל, א ליניע וואס גייט דורך A און B ווערט גערופן ליניע AB.
3. א פלאך איז א פלאכע אויבערפלאך וואס ציט זיך אומענדלעך אין אלע ריכטונגען, האט צוויי דימענסיעס (לענג און ברייט), און קיין גרעב נישט. א פלאך קען ווערן דעפינירט דורך דריי פונקטן וואס זענען נישט אין א גלייכער ליניע.
כאָטש אין צייכענונגען אויף פּאַפּיר דערשייַנען ליניעס צו האָבן גרעב און פלאכן דערשייַנען צו האָבן גרענעצן, אין דעם עוקלידישן מאַטעמאַטישן באַגריף, זענען אַלע די אידעאַליזאַציעס.
2. עוקליד'ס פּאָסטולאַטן און די ראָלע פֿון אַקסיאָמען
די כאַראַקטעריסטיק פון עוקלידישע געאמעטריע איז איר דעדוקטיווע נאַטור: אָנהייבן פון גרונטלעכע סטעיטמענטס וואָס ווערן אנגענומען אָן באַווייַז (אַקסיאָמען אָדער פּאָסטולאַטן), און דערנאָך זיי אויספירן אין טעאָרעמען דורך לאָגישן באַווייַז.
אוקליד האט פאָרמולירט פינף באַרימטע פּאָסטולאַטן. אין אַ מער קורצער מאָדערנער פאָרעם, קען מען פֿאַרשטיין די פּאָסטולאַטן ווי:
1. צוויי באַזונדערע פונקטן באַשטימען פּונקט איין גלייכע ליניע.
2. א ליניע סעגמענט קען פארלענגערט ווערן קאנטינעווערליך צו פארמירן א גלייכע ליניע.
3. מיט א געוויסן צענטער און ראדיוס קען מען מאכן א קרייז.
4. אַלע רעכטע ווינקלען זענען גלייך.
5. פּאַראַלעל פּאָסטולאַט: אויב אַ ליניע שניידט צוויי אַנדערע ליניעס אַזוי אַז די סומע פון די אינעווייניקסטע ווינקלען אויף איין זייט איז ווייניקער ווי 180°, דעמאָלט וועלן די צוויי ליניעס זיך שניידן אויף יענער זייט אויב מען פֿאַרלענגערט זיי.
דאס פינפטע פּאָסטולאַט איז דאָס מערסטע קאָנטראָווערסיאַל, ווײַל עס דערשיינט ווייניקער "פּשוט" ווי די אַנדערע פֿיר. פֿאַרזוכן צו באַווײַזן עס פֿון די אַנדערע פּאָסטולאַטן האָבן פֿאַר יאָרהונדערטער דורכגעפֿאַלן, און דאָס האָט לעצטנס געעפֿנט דעם וועג פֿאַר דער געבורט פֿון נישט-אויקלידישער געאָמעטריע. אָבער ווי לאַנג ווי דער פינפֿטער פּאָסטולאַט ווערט אָנגענומען, בלייבן מיר אין דער אויקלידישער ראַם.
3. דער באַגריף פון פּאַראַלעלע און פּערפּענדיקולערע ליניעס
אין עוקלידישער געאמעטריע, ווערן צוויי ליניעס אין א פלאך געזאגט צו זיין פאראלעל אויב זיי שניידן זיך קיינמאל נישט אפילו אויב זיי ווערן פארלענגערט אויף אומבאגרעניצטע צייט. א וויכטיגע אייגנשאפט: דורך א פונקט אינדרויסן פון א ליניע, איז דא נאר איין ליניע פאראלעל צו יענער ליניע (לויטן פאראלעלן פאסטולאט).
דערווייל, צוויי ליניעס ווערן געזאגט צו זיין פּערפּענדיקולאַר אויב זיי שניידן זיך ביי א 90° ווינקל. דער באַגריף פון פּערפּענדיקולאַריטעט איז אַ וויכטיקע יסוד פֿאַר אויפשטעלן קאָאָרדינאַט סיסטעמען, קאַנסטרויִרן פלאַך פיגורן, און מעסטן ווינקלען.
4. ווינקלען און זייערע מעסטונגען
א ווינקל ווערט געשאפן דורך צוויי שטראַלן וואָס טרעפן זיך אין אַן אָנהייבפּונקט (דער שפּיץ). ווינקלען ווערן געמאָסטן אין גראַדן (°) אָדער ראַדיאַנען. אין גרונטלעכער עוקלידישער געאָמעטריע, עטלעכע פון די מערסט אָפט דיסקוטירטע טיפּן ווינקלען אַרייַננעמען:
– שפּיצער ווינקל: 0° < ווינקל < 90°
– רעכטער ווינקל: ווינקל = 90°
– אומקלאָרער ווינקל: 90° < ווינקל < 180°
– גלייכער ווינקל: ווינקל = 180°
די באַציִונג צווישן ווינקלען איז אויך וויכטיק, למשל, סופּלעמענטאַרע ווינקלען (סומע 180°), סופּלעמענטאַרע ווינקלען (סומע 90°), און קעגנגעזעצטע ווינקלען (גלייך אין גרייס).
5. פלאַך פֿאָרמען: דרייַעקן, קוואַדרילעיטאַלן און קרייזן
א. דרייעק
א דרייעק איז א פלאכע פיגור באגרענעצט דורך דריי זייטן. אין אוקלידישער געאמעטריע, האבן דרייעקן א יסודות'דיגע אייגנשאפט: די סומע פון די אינעווייניגסטע ווינקלען פון א דרייעק איז 180°. דאס איז אנדערש אין נישט-אוקלידישער געאמעטריע.
טריאַנגלעס קענען קלאַסיפֿיצירט ווערן באַזירט אויף זייערע זייטן:
– גלייכזײַטיק: אַלע דריי זײַטן זײַנען די זעלבע לענג
– גלייכצעליק: צוויי זייטן זענען די זעלבע לענג
– צופֿעליק: אַלע זײַטן זײַנען אַנדערש
און באזירט אויף דעם ווינקל:
– שאַרף, רעכט ווינקלדיק, שטומפּ
א בארימטער טעארעם אין טרייענגלעך איז דער פיטאגאראסער טעארעם, וואס גילט פאר רעכטע טרייענגלעך:
(a^2 + b^2 = c^2)
מיט \(c\) די היפּאָטענוז.
ב. קוואדרילאַטעראַל
א קוואדריזיטל האט פיר זייטן. עטלעכע וויכטיגע קוואדריזיטלען:
– קוואַדראַט: אַלע זייטן זענען די זעלבע לענג, אַלע ווינקלען זענען 90°
– רעכטעק: 90° ווינקלען, קעגנגעזעצטע זייטן זענען די זעלבע לענג
– פּאַראַלעלאָגראַם: קעגנגעזעצטע זייטן זענען פּאַראַלעל און די זעלבע לענג
– ראָמבוס: אַלע זייטן זענען די זעלבע לענג
– טראַפּעז: האט אַ פּאָר פּאַראַלעלע זייטן
יעדער האט זיינע אייגענע אייגנארטיגע ווינקלדיקע און דיאַגאָנאַלע אייגנשאַפטן, וואָס קענען באַוויזן ווערן מיטן עוקלידישן צוגאַנג.
ג. קרייז
א קרייז איז א סכום פונקטן גלייך ווייט פון א צענטראלן פונקט. וויכטיגע קאנצעפטן וועגן קרייזן שליסן איין:
– ראַדיוס (r), דיאַמעטער (2r)
– ארומקרייז: \(K = 2\π/r\)
– שטח: \(L = π/r²\)
חוץ דעם, זענען דא די קאנצעפטן פון בויגן, אקארד, אקארד, סעקציע, ווי אויך צענטראלע ווינקלען און ארומקרייזלעכע ווינקלען.
6. קאָנגרוענץ און קאָנגרוענץ
צוויי פֿאָרמען ווערן געזאָגט קאָנגרוענט אויב זיי זענען פּונקט די זעלבע אין פֿאָרעם און גרייס (זיי קענען ווערן איבערגעלייגט דורך טראַנסלאַציע, ראָטאַציע, אָדער אָפּשפּיגלונג). למשל, צוויי קאָנגרוענטע דרייַעקן האָבן די זעלבע קאָרעספּאָנדירנדיקע זייטן און ווינקלען.
צוויי פיגורן ווערן געזאגט צו זיין ענלעך אויב זיי האבן די זעלבע פאָרעם אבער קענען זיין אַנדערש אין גרייס; די פאַרהעלטעניש פון קאָרעספּאָנדירנדיקע זייטן איז קאָנסטאַנט. ענלעכקייט איז זייער וויכטיק אין מאַפּינג, צייכענונג וואָג, אַרכיטעקטור, און אינדירעקטע מעסטונג (למשל, מעסטן די הייך פון אַ בוים ניצן זיין שאָטן).
7. געאמעטרישע טראנספארמאציעס אין עוקלידישן ספעיס
עוקלידישע געאמעטריע שטודירט אויך טראנספארמאציעס וואס באווארענען געוויסע אייגנשאפטן. גרונטלעכע טראנספארמאציעס שליסן איין:
– טראַנסלאַציע (פֿאַרשייבונג): באַוועגט אַלע פּונקטן מיטן זעלבן וועקטאָר
– ראָטאַציע (rotate): דרייען אַ פאָרעם אַרום דעם צענטער פונקט פון ראָטאַציע
– אָפּשפּיגלונג (שפּיגל): אָפּשפּיגלען אַ פֿאָרעם קעגן אַ ליניע (אין אַ פלאַך) אָדער פלאַך (אין פּלאַץ)
– דיליישאַן (זום אריין/אויס): ענדערט די גרייס מיט א סקאלע פאקטאר
טראַנספאָרמאַציעס ווי טראַנסלאַציע, ראָטאַציע און אָפּשפּיגלונג באַוואָרענען דיסטאַנסן און ווינקלען (איזאָמעטריע), בשעת דילאַציע באַוואָרענט די פאָרעם אָבער ענדערט די גרייס.
8. פארוואס איז עוקלידישע געאמעטריע וויכטיג?
עוקלידישע געאמעטריע איז נישט נאר וויכטיג אלס א מאטעמאטישע טעאריע, נאר אויך אלס א פראקטיש געצייג אין פארשידענע פעלדער: ציווילע אינזשעניריע, ארכיטעקטור, פראדוקט דיזיין, קאמפיוטער גראפיקס, מאפע, און אפילו קלאסישע פיזיק. פלאץ וואס מיר באטראכטן אלס "נארמאל" אויף א טעגליכן פארנעם קען בכלל גוט מאדעלירט ווערן דורך עוקלידישע געאמעטריע. כאטש פלאץ קען געבויגן ווערן (נישט-עוקלידיש) אויף א קאסמישן פארנעם אדער אין דער טעאריע פון רעלאטיוויטעט, בלייבט עוקלידישע געאמעטריע די גרינגסטע צו פארשטיין און מערסטנס גענוצטע אנפאנגס-פאנדמענט.
קלאָוזינג
די גרונטלעכע קאנצעפטן פון עוקלידישע געאמעטריע הייבן זיך אן מיט גרונטלעכע אביעקטן—פונקטן, ליניעס און פלאכן—און אנטוויקלען זיך דורך פאסטולאטן און באווייזן וואס שטעלן פעסט וויכטיגע טעארעמען וועגן ווינקלען, פאראלעלע ליניעס און פארשידענע פלאכע פיגורן ווי טרייענגלעך, קוואדרילעיטערס און קרייזן. מיט איר לאגישן און סטרוקטורירטן ראם, איז עוקלידישע געאמעטריע איינע פון די גרעסטע אינטעלעקטועלע דערגרייכונגען אין דער געשיכטע פון מאטעמאטיק, ווי אויך א פראקטיש געצייג וואס בלייבט רעלאוואנט היינט. פארשטיין אירע גרונטלעכע איז א שטארקער אנפאנגספונקט פאר שטודירן מער פארגעשריטענע מאטעמאטיק, אריינגערעכנט אנאליטישע געאמעטריע , טריגאנאָמעטריע און נישט-עוקלידישע געאמעטריע.
