גרונטלעכע קאנצעפטן פון עוקלידישע געאמעטריע
עוקלידישע געאמעטריע איז א צווייג פון מאטעמאטיק וואס שטודירט די פארעם, גרייס, פאזיציע, און אייגנשאפטן פון פלאץ באזירט אויף געדאנקען וואס זענען פארמולירט געווארן דורך עוקליד (אומגעפער דעם 3טן יארהונדערט פאר דער ציווילער רעכענונג) אין זיין מאנומענטאלן ווערק, עלעמענטן. פאר יארהונדערטער איז די געאמעטריע געווען די הויפט באזע פארן פארשטיין צוויי-דימענסיאנאלן (פלאך) און דריי-דימענסיאנאלן (פלאך) פלאץ ווי מיר באגעגענען עס אין טעגליכן לעבן. ווען מיר צייכענען א גלייכע ליניע מיט א ליניאל, מעסטן די ווינקלען פון א דרייעק, אדער רעכענען די שטח פון א רעכטעק, ניצן מיר אין עיקר די פרינציפן פון עוקלידישע געאמעטריע. דער ארטיקל דיסקוטירט די גרונט קאנצעפטן פון עוקלידישע געאמעטריע, אירע פונדאמענטאלע אביעקטן, אקסיאמען, און עטלעכע פון די וויכטיגע טעארעמען וואס פארמען איר יסוד.
1. פונקטן, ליניעס און פלאכן: גרונטלעכע אביעקטן
עוקלידישע געאמעטריע איז געבויט פון דריי גרונטלעכע אביעקטן: פונקטן, ליניעס און פלאכן.
1. א פונקט איז דער פשוטסטער אביעקט וואס ווייזט נאר פאזיציע און האט נישט קיין דימענסיעס (נישט קיין לענג, ברייט, אדער הייך). פונקטן ווערן געווענליך סימבאליזירט מיט גרויסע אותיות ווי A, B, אדער C.
2. א ליניע איז א סכום פונקטן וואס ציט זיך אומענדלעך אין צוויי ריכטונגען און האט איין דימענסיע, נעמליך לענג. אין אידעאלער געאמעטריע, האט א ליניע נישט קיין גרעב. א ליניע קען ווערן דעפינירט דורך צוויי באזונדערע פונקטן, למשל, א ליניע וואס גייט דורך A און B ווערט גערופן ליניע AB.
3. א פלאך איז א פלאכע אויבערפלאך וואס ציט זיך אומענדלעך אין אלע ריכטונגען, האט צוויי דימענסיעס (לענג און ברייט), און קיין גרעב נישט. א פלאך קען ווערן דעפינירט דורך דריי פונקטן וואס זענען נישט אין א גלייכער ליניע.
כאָטש אין צייכענונגען אויף פּאַפּיר דערשייַנען ליניעס צו האָבן גרעב און פלאכן דערשייַנען צו האָבן גרענעצן, אין דעם עוקלידישן מאַטעמאַטישן באַגריף, זענען אַלע די אידעאַליזאַציעס.
2. עוקליד'ס פּאָסטולאַטן און די ראָלע פֿון אַקסיאָמען
די כאַראַקטעריסטיק פון עוקלידישע געאמעטריע איז איר דעדוקטיווע נאַטור: אָנהייבן פון גרונטלעכע סטעיטמענטס וואָס ווערן אנגענומען אָן באַווייַז (אַקסיאָמען אָדער פּאָסטולאַטן), און דערנאָך זיי אויספירן אין טעאָרעמען דורך לאָגישן באַווייַז.
אוקליד האט פאָרמולירט פינף באַרימטע פּאָסטולאַטן. אין אַ מער קורצער מאָדערנער פאָרעם, קען מען פֿאַרשטיין די פּאָסטולאַטן ווי:
1. צוויי באַזונדערע פונקטן באַשטימען פּונקט איין גלייכע ליניע.
2. א ליניע סעגמענט קען פארלענגערט ווערן קאנטינעווערליך צו פארמירן א גלייכע ליניע.
3. מיט א געוויסן צענטער און ראדיוס קען מען מאכן א קרייז.
4. אַלע רעכטע ווינקלען זענען גלייך.
5. פּאַראַלעל פּאָסטולאַט: אויב אַ ליניע שניידט צוויי אַנדערע ליניעס אַזוי אַז די סומע פון די אינעווייניקסטע ווינקלען אויף איין זייט איז ווייניקער ווי 180°, דעמאָלט וועלן די צוויי ליניעס זיך שניידן אויף יענער זייט אויב מען פֿאַרלענגערט זיי.
דאס פינפטע פּאָסטולאַט איז דאָס מערסטע קאָנטראָווערסיאַל, ווײַל עס דערשיינט ווייניקער "פּשוט" ווי די אַנדערע פֿיר. פֿאַרזוכן צו באַווײַזן עס פֿון די אַנדערע פּאָסטולאַטן האָבן פֿאַר יאָרהונדערטער דורכגעפֿאַלן, און דאָס האָט לעצטנס געעפֿנט דעם וועג פֿאַר דער געבורט פֿון נישט-אויקלידישער געאָמעטריע. אָבער ווי לאַנג ווי דער פינפֿטער פּאָסטולאַט ווערט אָנגענומען, בלייבן מיר אין דער אויקלידישער ראַם.
3. דער באַגריף פון פּאַראַלעלע און פּערפּענדיקולערע ליניעס
אין עוקלידישער געאמעטריע, ווערן צוויי ליניעס אין א פלאך געזאגט צו זיין פאראלעל אויב זיי שניידן זיך קיינמאל נישט אפילו אויב זיי ווערן פארלענגערט אויף אומבאגרעניצטע צייט. א וויכטיגע אייגנשאפט: דורך א פונקט אינדרויסן פון א ליניע, איז דא נאר איין ליניע פאראלעל צו יענער ליניע (לויטן פאראלעלן פאסטולאט).
דערווייל, צוויי ליניעס ווערן געזאגט צו זיין פּערפּענדיקולאַר אויב זיי שניידן זיך ביי א 90° ווינקל. דער באַגריף פון פּערפּענדיקולאַריטעט איז אַ וויכטיקע יסוד פֿאַר אויפשטעלן קאָאָרדינאַט סיסטעמען, קאַנסטרויִרן פלאַך פיגורן, און מעסטן ווינקלען.
4. ווינקלען און זייערע מעסטונגען
א ווינקל ווערט געשאפן דורך צוויי שטראַלן וואָס טרעפן זיך אין אַן אָנהייבפּונקט (דער שפּיץ). ווינקלען ווערן געמאָסטן אין גראַדן (°) אָדער ראַדיאַנען. אין גרונטלעכער עוקלידישער געאָמעטריע, עטלעכע פון די מערסט אָפט דיסקוטירטע טיפּן ווינקלען אַרייַננעמען:
– שפּיצער ווינקל: 0° < ווינקל < 90° - רעכטער ווינקל: ווינקל = 90° - אומגעשטערטער ווינקל: 90° < ווינקל < 180° - גלייכער ווינקל: ווינקל = 180° די באַציִונג צווישן ווינקלען איז אויך וויכטיק, למשל, סאַפּלעמענטאַרע ווינקלען (סומע 180°), סאַפּלעמענטאַרע ווינקלען (סומע 90°), און קעגנגעזעצטע ווינקלען (גלייך). 5. פלאַכע פֿאָרמען: דרייַעקן, קוואַדרילאַטעראַלן, און קרייזן a. דרייַעקן א דרייַעק איז אַ פלאַכע פֿאָרעם באַגרענעצט דורך דרייַ זייטן. אין עוקלידישער געאָמעטריע, האט אַ דרייַעק אַ יסודותדיקע אייגנשאַפֿט: די סומע פֿון די ווינקלען אין אַ דרייַעק איז 180°. דאָס איז אַנדערש אין נישט-עוקלידישער געאָמעטריע. טרייענגלעך קענען קלאסיפיצירט ווערן באזירט אויף זייטן: - גלייכזייטיג: אלע דריי זייטן זענען גלייך - גלייכצעליק: צוויי זייטן זענען גלייך - יעדע: אלע זייטן זענען אנדערש און באזירט אויף ווינקלען: - שאַרפֿ, רעכט, אומגעשטערט א באַוואוסטער טעאָרעם אין טרייענגלעך איז דער פּיטהאַגאָרעאַן טעאָרעם, וואָס גילט פֿאַר רעכטע טרייענגלעך: \(a^2 + b^2 = c^2\) וואו \(c\) איז די היפּאָטענוז. ב. קוואַדרילעיטן א קוואַדרילעיטער האט פיר זייטן. עטלעכע וויכטיקע קוואַדרילעיטן: - קוואַדראַט: אלע זייטן זענען גלייך, אלע ווינקלען זענען 90° - רעכטעק: ווינקלען זענען 90°, קעגנגעזעצטע זייטן זענען גלייך - פּאַראַלעלאָגראַם: קעגנגעזעצטע זייטן זענען פּאַראַלעל און גלייך - ראָמבוס: אלע זייטן זענען גלייך - טראַפּעזאָיד: האט איין פּאָר פּאַראַלעלע זייטן יעדער האט זיינע אייגענע אייגנאַרטיקע אייגנשאַפֿטן פון ווינקלען און דיאַגאָנאַלן, וואָס קענען באַוויזן ווערן דורך דעם עוקלידישן צוגאַנג. ג. קרייז א קרייז איז אַ סכום פונקטן גלייך ווייט פון אַ צענטראלן פונקט. וויכטיגע קאנצעפטן אין קרייזן שליסן איין: - ראדיוס (r), דיאמעטער (2r) - ארומקרייז: \(K = 2πr\) - שטח: \(L = \πr^2\) דערצו, זענען דא די קאנצעפטן פון בויגן, קארדן, סעקטארן, סעגמענטן, ווי אויך צענטראלע ווינקלען און ארומקרייז ווינקלען. 6. ענלעכקייט און קאנגרוענץ צוויי פארמען ווערן געזאגט צו זיין קאנגרוענט אויב זייער פארעם און גרייס זענען פונקט די זעלבע (קענען זיין איבערגעלייגט דורך טראנסלעישאן, ראטאציע, אדער רעפלעקציע). למשל, צוויי קאנגרוענטע דרייעקן האבן די זעלבע קארעספאנדירנדע זייטן און ווינקלען.
צוויי פֿאָרמען ווערן געזאָגט ענלעך אויב זיי האָבן די זעלבע פֿאָרעם אָבער קענען זיין אַנדערש אין גרייס; די פּראָפּאָרציע פֿון די קאָרעספּאָנדירנדיקע זייטן איז קאָנסטאַנט. ענלעכקייט איז זייער וויכטיק אין מאַפּינג, צייכענען וואָג, אַרכיטעקטור און אומדירעקטע מעסטונג (למשל מעסטן די הייך פֿון אַ בוים מיט זיין שאָטן). 7. געאָמעטרישע טראַנספֿאָרמאַציעס אין עוקלידישן פּלאַץ עוקלידישע געאָמעטריע שטודירט אויך טראַנספֿאָרמאַציעס וואָס באַוואָרענען געוויסע אייגנשאַפֿטן. גרונטלעכע טראַנספֿאָרמאַציעס אַרייַננעמען: - טראַנסלאַציע (פֿאַרשייבונג): באַוועגן אַלע פּונקטן דורך דעם זעלבן וועקטאָר - ראָטאַציע (דראַטירן): ראָטירן אַ פֿאָרעם אַרום אַ צענטער פּונקט פֿון ראָטאַציע - אָפּשפּיגלונג (שפּיגל): אָפּשפּיגלען אַ פֿאָרעם אויף אַ ליניע (אין אַ פלאַך) אָדער פלאַך (אין פּלאַץ) - דילאַציע (זום אַרײַן/אויס): ענדערן גרייס דורך אַ וואָג פֿאַקטאָר טראַנספֿאָרמאַציעס ווי טראַנסלאַציע, ראָטאַציע און אָפּשפּיגלונג באַוואָרענען דיסטאַנסן און ווינקלען (איזאָמעטריעס), בשעת דילאַציע באַוואָרענט די פֿאָרעם אָבער ענדערט גרייס. 8. פֿאַרוואָס איז עוקלידישע געאָמעטריע וויכטיק? עוקלידישע געאָמעטריע איז נישט בלויז וויכטיק ווי אַ מאַטעמאַטישע טעאָריע, נאָר אויך ווי אַ פּראַקטיש געצייַג אין פֿאַרשידענע פֿעלדער: ציוויל אינזשעניריע, אַרכיטעקטור, פּראָדוקט פּלאַן, קאָמפּיוטער גראַפיקס, מאַפּינג און אפילו קלאַסישע פֿיזיק. די פּלעצער וואָס מיר באַטראַכטן ווי "נאָרמאַל" אויף אַ וואָכעדיקן סקאַלע קענען בכלל גוט מאָדעלירט ווערן דורך עוקלידישע געאָמעטריע. כאָטש אויף אַ קאָסמישן סקאַלע אָדער אין דער טעאָריע פון רעלאַטיוויטעט, קען דער פלאץ זיין געבויגן (נישט-עוקלידישע), בלייבט די עוקלידישע געאָמעטריע די גרינגסטע צו פֿאַרשטיין און מערסט אָפֿט גענוצטע אָנהייב-פֿונדאַמענט. מסקנא די גרונט-קאָנצעפּטן פון עוקלידישע געאָמעטריע הייבן זיך אָן מיט גרונט-אָביעקטן - פּונקטן, ליניעס און פּלענער - און דערנאָך אַנטוויקלען זיי זיך דורך פּאָסטולאַטן און באַווײַזן וואָס באַשטעטיקן וויכטיקע טעאָרעמען וועגן ווינקלען, פּאַראַלעלע ליניעס און פֿאַרשידענע פּלענער ווי טרייענגלעך, קוואַדרילאַטעראַלן און קרייזן. מיט איר לאָגישן און סטרוקטורירטן ראַם, איז די עוקלידישע געאָמעטריע איינע פון די גרעסטע אינטעלעקטועלע דערגרייכונגען אין דער געשיכטע פון מאַטעמאַטיק, ווי אויך אַ פּראַקטיש געצייַג וואָס בלייבט באַטייַטיק היינט. פֿאַרשטיין די גרונט-פּרינציפּן איז אַ שטאַרקער ערשטער שריט צו שטודירן מער אַוואַנסירטע מאַטעמאַטיק, אַרייַנגערעכנט אַנאַליטיש געאָמעטריע, טריגאָנאָמעטריע און נישט-עוקלידישע געאָמעטריע.
