וועקטאָר קאָמפּאָנענטן: באַסיקס, דעפֿיניציעס און אַפּליקאַציעס
וועקטאָרן זענען אַ יסודותדיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק, פיזיק און אינזשעניריע. אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע פֿעלדער ווערן זיי אָפֿט גענוצט צו באַשרײַבן קוואַנטיטעטן וואָס האָבן סײַ גרייס און סײַ ריכטונג. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר אויספֿאָרשן די קאָמפּאָנענטן פֿון אַ וועקטאָר: דעפֿינירן וואָס אַ וועקטאָר איז, ווי אַזוי צו צעטיילן אַ וועקטאָר אין זײַנע קאָמפּאָנענטן, און אויספֿאָרשן די פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס און אימפּליקאַציעס פֿון וועקטאָרן אין וואָכעדיקן לעבן און וויסנשאַפֿט.
פֿאַרשטיין וועקטאָרן
א וועקטאָר איז אַ קוואַנטיטעט וואָס האט נישט נאָר אַ ווערט (מאַגניטוד) נאָר אויך אַ ריכטונג. נישט ווי סקאַלאַרן, וואָס האָבן נאָר אַ ווערט (ווי טעמפּעראַטור אָדער מאַסע), האָבן וועקטאָרן ביידע הויפּט כאַראַקטעריסטיקס און ווערן גענוצט צו רעפּרעזענטירן דערשיינונגען וואו ריכטונג איז אַ שליסל עלעמענט, ווי גיכקייט, קראַפט און דיספּלייסמאַנט.
מאטעמאטיש, קען א וועקטאָר אין צוויי-דימענסיאָנעלן (2D) פּלאַץ אויסגעדריקט ווערן ווי \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\), וואו \(v_x\) און \(v_y\) זענען די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר \(\mathbf{v}\) אין די x- און y-ריכטונגען. אין דריי-דימענסיאָנעלן (3D) פּלאַץ, קען א וועקטאָר אויסגעדריקט ווערן ווי \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}\).
וועקטאָר רעפּרעזענטאַציע און קאָמפּאָנענטן
כדי צו פֿאַרשטיין דעם באַגריף פֿון וועקטאָר קאָמפּאָנענטן, דאַרפֿן מיר וויסן אַז וועקטאָרן קענען ווערן צעטיילט אין טיילן וואָס קאָרעספּאָנדירן צו יעדער קאָאָרדינאַט אַקס. למשל, אין צוויי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ, קען אַ וועקטאָר \(\mathbf{v}\) ווערן צעטיילט אין צוויי קאָמפּאָנענטן: \(v_x\) (די קאָמפּאָנענט אין דער x-ריכטונג) און \(v_y\) (די קאָמפּאָנענט אין דער y-ריכטונג).
געאמעטריש, אויב מיר צייכענען א וועקטאָר אויף דער קאַרטעזיאַנישער קאָאָרדינאַט־פלאַך, קען מען עס פאַרגלייכן מיט אַן פײַל וואָס ווײַזט פֿון דעם אָנהייב _(0,0)_) צום פּונקט _((v_x, v_y)_). די קאָמפּאָנענטן _(v_x_) און _(v_y_) קען מען זען ווי די לענג פֿון די פּראָיעקציעס פֿונעם וועקטאָר אויף די x־ און y־אַקסן.
אין דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ, קען מען צעטיילן אַ וועקטאָר אין דריי קאָמפּאָנענטן: \(v_x\) (די x-ריכטונג קאָמפּאָנענט), \(v_y\) (די y-ריכטונג קאָמפּאָנענט), און \(v_z\) (די z-ריכטונג קאָמפּאָנענט). מיט אַנדערע ווערטער, קען מען רעפּרעזענטירן אַ וועקטאָר אין דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ דורך אַן פײַל וואָס ווײַזט פֿון דעם אָנהייב \((0,0,0)\) צום פּונקט \((v_x, v_y, v_z)\).
מאַגניטוד און ריכטונג פון וועקטאָרן
צו רעכענען די גרייס אדער לענג פון א וועקטאָר \(\mathbf{v}\), ניצן מיר די פאָרמולע:
\[
|\מאַטבף{וו}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
פֿאַר צוויי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ, און:
\[
|\מאַטבף{וו}| = \סקרט{וו_קס^2 + וו_י^2 + וו_ז^2}
\]
פֿאַר דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ. די וועקטאָר קוואַנטיטעט ווערט אָפט באַצייכנט ווי זיין מאַגניטוד און ווייזט ווי לאַנג דער וועקטאָר איז.
די ריכטונג פון אַ וועקטאָר קען אויסגעדריקט ווערן אין טערמינען פון זיין ווינקל אין באַצוג צו די קאָאָרדינאַט אַקסן. אין צוויי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ, קען די ריכטונג פון אַ וועקטאָר \(\mathbf{v}\) וואָס פאָרמירט אַ ווינקל \(\theta\) מיט דער x-אַקס אויסגערעכנט ווערן מיט טריגאָנאָמעטריע:
\[
טהעטאַ = טאַן^{-1}(\frac{v_y}{v_x} רעכטס)
\]
אין דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ, איז באַשטימען ריכטונג מער קאָמפּליצירט, ווײַל מיר מוזן נעמען אין באַטראַכט די ווינקלען מיט יעדער קאָאָרדינאַט אַקס. טיפּישערװײַז, ווערט אַ ספֿערישע סיסטעם גענוצט צו אויסדריקן ריכטונג אין דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ.
אָפּעראַציעס אויף וועקטאָרן
צוגאב און סובטראַקציע
צולייגן צוויי וועקטאָרן ווערט געטאָן דורך צולייגן די יחיד קאָמפּאָנענטן פון ביידע וועקטאָרן. למשל, אויב \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix}\) און \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\), דאַן:
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{bmatrix}
\]
וועקטאָר סובטראַקציע ווערט אויסגערעכנט אויף אַ ענלעכן וועג:
\[
\mathbf{u} – \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_x – v_x \\ u_y – v_y \end{bmatrix}
\]
סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע
טאפלען א וועקטאָר מיט א סקאַלאַר (אַן איינציקע נומער) ווערט געטאָן דורך טאפלען יעדן קאָמפּאָנענט פון דעם וועקטאָר מיטן סקאַלאַר. למשל, אויב \(k\) איז אַ סקאַלאַר און \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\), דאַן:
\[
k \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} k \cdot v_x \\ k \cdot v_y \end{bmatrix}
\]
פּונקט און קראָס מולטיפּליקאַציע
אין דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ, זענען דאָ צוויי טיפּן וועקטאָר מוּטפּליקאַציע: פּונקט מוּטפּליקאַציע און קראָס מוּטפּליקאַציע.
1. פּונקט-מולטיפּליקאַציע:
דער פּונקט־פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix}\) און \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}\) ווערט דעפֿינירט ווי:
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = ו_קס וו_קס + ו_י וו_י + ו_ז וו_ז
\]
דער רעזולטאַט פון אַ פּונקט פּראָדוקט איז אַ סקאַלאַר. דער פּונקט פּראָדוקט ווערט אָפט געניצט צו באַשטימען ווי פיל צוויי וועקטאָרן זענען פּאַראַלעל אָדער אָרטאָגאָנאַל צו יעדער אַנדערער.
2. קראָס-מאַלטיפּליקאַציע:
דער קראָס־פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן אין אַ דריי־דימענסיאָנעלן אָרט פּראָדוצירט אַ נײַעם וועקטאָר וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו ביידע אָריגינעלע וועקטאָרן. אויב \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix}\) און \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}\), דאַן ווערט דער קראָס־פּראָדוקט דעפֿינירט ווי:
\[
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{ק} \\
u_x און u_y און u_z \\
v_x און v_y און v_z
\ענד{vmatrix}
\]
וועקטאָר נאָרמאַליזאַציע
נאָרמאַליזאַציע איז דער פּראָצעס פון קאָנווערטירן אַ וועקטאָר אין אַ יוניט וועקטאָר (אַ וועקטאָר פון לענג 1) מיט דער זעלבער ריכטונג. דער יוניט וועקטאָר \(\mathbf{\hat{v}}\) פון \(\mathbf{v}\) ווערט באַקומען דורך צעטיילן יעדן פון זיינע קאָמפּאָנענטן מיט דער לענג (מאַגניטוד) פון דעם וועקטאָר:
\[
\mathbf{\hat{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}
\]
אַפּליקאַציעס פון וועקטאָרן אין וואָכעדיק לעבן און וויסנשאַפֿט
וועקטאָרן האָבן פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיק לעבן און וויסנשאַפֿט. דאָ זענען עטלעכע ביישפילן:
1. פיזיק:
אין פיזיק, ווערן וועקטאָרן גענוצט צו באַשרײַבן פֿאַרשידענע קוואַנטיטעטן ווי גיכקייט, אַקסעלעראַציע, קראַפט און מאָמענטום. למשל, די באַוועגונג פֿון אַן אָביעקט קען אַנאַליזירט ווערן מיט גיכקייט און אַקסעלעראַציע וועקטאָרן.
2. טעכניק:
אין אינזשעניריע, ווערן וועקטאָרן גענוצט פֿאַר סטרוקטורעלע אַנאַליז, מאַשין פּלאַן, און פֿאַרשידענע אַנדערע אינזשעניריע אַפּליקאַציעס. למשל, שפּאַנונג און שפּאַנונג אַנאַליז אין אַ מאַטעריאַל אָפט ינוואַלווז די נוצן פון וועקטאָרן.
3. קאָמפּיוטער גראַפיקס:
וועקטאָרן ווערן אויך גענוצט אין קאָמפּיוטער גראַפיקס צו באַשרײַבן די פּאָזיציע, אָריענטאַציע און באַוועגונג פון אָביעקטן. אין גראַפיקס פּראָגראַמירן ווערן וועקטאָרן גענוצט פֿאַר טראַנספאָרמאַציעס ווי טראַנסלאַציע, ראָטאַציע און סקיילינג.
4. נאַוויגאַציע:
וועקטאָרן ווערן גענוצט אין נאַוויגאַציע סיסטעמען צו באַשטימען די ריכטונג און דיסטאַנץ צווישן צוויי פונקטן. GPS און אַנדערע נאַוויגאַציע סיסטעמען נוצן וועקטאָרן צו רעכענען רוטעס און דירעקטירן באַניצער.
5. עקאנאמיע:
אין עקאָנאָמיק, קען מען ניצן וועקטאָרן צו באַשרײַבן קאָנסומער פּרעפֿערענצן אָדער ינוועסטמענט פּאָרטפֿאָליאָס. מולטיוואַריאַבאַל דאַטן אַנאַליז נעמט אויך אָפֿט אײַן די נוצן פֿון וועקטאָרן.
קעסימפּולאַן
וועקטאָרן זענען אַ זייער וויכטיקער און פילזײַטיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק און פילע אַנדערע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט. דורך פֿאַרשטיין די קאָמפּאָנענטן פֿון וועקטאָרן און די פֿאַרשידענע אָפּעראַציעס וואָס קענען דורכגעפֿירט ווערן אויף זיי, קענען מיר אָנווענדן דעם באַגריף צו סאָלווען אַ ברייטע קייט פֿון פּראַקטישע און וויסנשאַפֿטלעכע פּראָבלעמען. מיט זייער שטאַרקער מאַטעמאַטישער רעפּרעזענטאַציע, צושטעלן וועקטאָרן אַן עפֿעקטיוו געצייַג פֿאַר באַשרײַבן און אַנאַליזירן אַ ברייטע קייט פֿון דערשיינונגען וואָס אַרייַננעמען קוואַנטיטעטן מיט ריכטונגען.
