פונקציעס און נישט-פונקציעס

פונקציעס און נישט-פונקציעס: פארשטיין קאנצעפטן אין מאטעמאטיק

אין מאטעמאטיק, טרעפן מיר אָפט אַבסטראַקטע באַגריפן וואָס דאַרפן אַ טיפן פארשטאנד. איין אַזאַ פונדאַמענטאַל אָבער וויכטיק באַגריף איז די "פונקציע". דער באַגריף איז נישט בלויז דאָמינאַנט אין מאטעמאטיק, נאָר אויך געפֿונען אין פֿאַרשידענע פֿעלדער ווי פֿיזיק, קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט און עקאָנאָמיק. אָבער, עס קומט אָפט אויף צומישעניש ווען מען אונטערשיידט צווישן פֿונקציעס און נישט-פֿונקציעס. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן אין טיפקייט וואָס אַ פֿונקציע איז, אירע כאַראַקטעריסטיקס און ווי אַזוי צו אונטערשיידן עס פֿון נישט-פֿונקציעס.

וואָס איז אַ פֿונקציע?

אין פּשוטע ווערטער, איז אַ פֿונקציע אַ באַציִונג וואָס פֿאַרבינדט יעדן עלעמענט אין איין סכום מיט פּונקט איין עלעמענט אין אַן אַנדער סכום. לאָמיר קוקן אויף איר פֿאָרמאַלער דעפֿיניציע:

פֿאָרמאַלע דעפֿיניציע פֿון פֿונקציע:
א פונקציע f פון א סכום A צו א סכום B איז א כלל וואס פארבינדט יעדן עלעמענט אין A מיט פונקט איין עלעמענט אין B. עס ווערט געשריבן אלס \(f : A \rightarrow B \).

מיט אנדערע ווערטער, אויב מיר האבן צוויי פארשידענע עלעמענטן אין סעט א, טארן זיי נישט זיין פארבינדן מיטן זעלבן עלעמענט אין סעט ב.

א פשוטער ביישפּיל פון א פונקציע איז א מענטש'ס קערפער טעמפּעראַטור (דאָמעין/סעט A) און איר מעסטונג אין גראַד צעלזיוס (קייט/סעט B). יעדער מענטש איז פארבונדן מיט אן איינציקן קערפער טעמפּעראַטור ווערט. אַזוי, אין דעם אַנאַלאָגיע, די פונקציע פֿאַרבינדט יחידים (דאָמעין עלעמענטן) צו קערפער טעמפּעראַטור ווערטן (קאָדאָמעין עלעמענטן).

פונקציאָנעלע קעראַקטעריסטיקס

אין פארשטיין דעם קאנצעפט, זענען דא עטלעכע ספעציפישע אייגנשאפטן וואס א באציאונג מוז דערפילן כדי צו ווערן באטראכט אלס א פונקציע:

1. באַציִונגען צווישן גרופּעס:
א פונקציע מוז פֿאַרבינדן יעדן עלעמענט אין דעם דאָמעין (מקור סעט) מיט פּונקט איין עלעמענט אין דעם קאָדאָמעין (ציל סעט). אויב אַן עלעמענט אין דעם דאָמעין איז פֿאַרבונדן מיט מער ווי איין עלעמענט אין דעם קאָדאָמעין, דאַן איז עס נישט קיין פונקציע.

2. סינגולאַריטעט:
אַן עלעמענט אין דעם דאָמעין קען נאָר זיין פֿאַרבונדן מיט איין ווערט אין דעם קאָדאָמעין. למשל, אויב f(a) = 3 און f(a) = 5 אין דער זעלבער צייט, דעמאָלט איז f נישט קיין פֿונקציע.

3. דאָמעין נישט ליידיק:
אין אַ פונקציע, מוז יעדער עלעמענט אין דעם דאָמעין האָבן אַ קאַונטערפּאַרט אין דעם קאָדאָמעין, דאָס הייסט, דער דאָמעין קען נישט זיין ליידיק.

נישט קיין פונקציע

א באַציִונג וואָס טרעפֿט נישט די דריי אויבנדערמאָנטע כאַראַקטעריסטיקס ווערט געזאָגט צו זיין נישט-פֿונקציאָנעל. כּדי דאָס צו פֿאַרשטיין ווייטער, לאָמיר באַטראַכטן עטלעכע קאָנקרעטע ביישפּילן.

1. איין עלעמענט אין דעם דאָמעין איז פֿאַרבונדן מיט מער ווי איין עלעמענט אין דעם קאָדאָמעין:
למשל, שטעלט זיך פאר אז מיר האבן א באציאונג וואו סטודענטן (דאמעין) זענען פארבונדן מיט זייערע עקזאמען רעזולטאטן (קאדאמעין). אויב א סטודענט קען באקומען מער ווי איין רעזולטאט אויף איין עקזאמען (למשל, א 75 און א 90 אויף דער זעלבער עקזאמען), איז די באציאונג נישט קיין פונקציע.

2. נישט אַלע דאָמעין עלעמענטן האָבן אַ פּאָר:
ווי דערמאנט, אין א פונקציע, מוזן אלע עלעמענטן פון דעם דאמעין האבן א קאנטערפארט אין דעם קא-דאמעין. אויב וועלכער עלעמענט האט נישט קיין קאנטערפארט, דאן איז די באציאונג נישט קיין פונקציע.

פארוואס איז פארשטיין פונקציע וויכטיג?

א טיפע פארשטענדעניש פון די פונקציעס איז נישט נאר וויכטיג אין ריינער מאטעמאטיק, נאר אויך אין אנווענדונגען אין פארשידענע אנדערע פעלדער:

1. קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט:
פונקציעס זענען די יסוד פון פּראָגראַמירן, די מכשירים וואָס מיר נוצן צו בויען סטרוקטורירטע אַלגעריטמען. ימפּלעמענטירן פונקציעס דערמעגלעכט אונדז צו שרייבן מער מאָדולאַר און גרינגער-צו-פֿאַרשטיין קאָד.

2. פיזיק:
אסאך נאַטירלעכע קאָנסטאַנטן און פיזישע געזעצן ווערן אויסגעדריקט אין טערמינען פון פונקציעס. למשל, ניוטאָנס געזעץ פון קילן קען אויסגעדריקט ווערן ווי אַ פונקציע פון ​​טעמפּעראַטור קעגן צייט.

3. עקאנאמיע:
פונקציעס ווערן גענוצט אין עקאנאמישע מאדעלן צו פאראויסזאגן די באציאונג צווישן פארשידענע וועריאַבלען ווי איינקונפט און קאנסומאציע.

פונקציע רעפּרעזענטאַציע

פונקציעס קענען רעפּרעזענטירט ווערן אין פֿאַרשידענע פֿאָרמען, לויט די באַדערפֿנישן און קאָנטעקסט:

1. טיש:
פונקציעס קענען רעפּרעזענטירט ווערן דורך טאַבעלעס וואָס ווײַזן פּאָרן פון דאָמעין און קאָדאָמעין עלעמענטן. למשל, אַ טאַבעלע וואָס ווײַזט די טעגלעכע טעמפּעראַטור (דאָמעין) און די צאָל אייז קרעם קאָנעס וואָס ווערן פארקויפט (קאָדאָמעין).

2. גראַפיק:
פונקציע גראַפיקס זענען איינע פון ​​די מערסט עפעקטיווע וועגן צו רעפּרעזענטירן פונקציעס. אויף אַ גראַף, ווערט דער דאָמעין אָפט באַצייכנט מיט דער x-אַקס און דער קאָדאָמעין מיט דער y-אַקס. אַ פונקציע איז אַ גראַף וואָס גייט דורכ דעם ווערטיקאַלן ליניע טעסט - דאָס הייסט, יעדע ווערטיקאַלע ליניע שניידט דעם גראַף אין פּונקט איין פּונקט.

3. גלייכונג:
די אַלגעברעישע פֿאָרעם פֿון אַ פֿונקציע איז דער מערסט געוויינטלעכער וועג אין מאַטעמאַטיק אויסצודריקן אַ פֿונקציע. למשל, די לינעאַרע פֿונקציע \(f(x) = mx + c \) אָדער די קוואַדראַטישע פֿונקציע \(f(x) = ax^2 + bx + c \).

ביישפילן פון פונקציעס און נישט-פונקציעס

לאָמיר קוקן אויף עטלעכע ביישפילן צו קריסטאַליזירן אונדזער פארשטאנד פון פונקציעס:

בייַשפּיל 1:
– פונקציע: מיר האָבן אַ סכום A = {1, 2, 3} און אַ סכום B = {4, 5, 6}. די פונקציע \(f \) דעפינירט אַז \(f(1) = 4 \), \(f(2) = 5 \), און \(f(3) = 6 \).
– נישט קיין פונקציע: אויב \(f \) דעפינירט אז \(f(1) = 4 \) און \(f(1) = 5 \), איז די דאזיגע באציאונג קלאר נישט קיין פונקציע ווייל איין עלעמענט אין דעם דאמעין איז פארבונדן צו מער ווי איין עלעמענט אין דעם קא-דאמעין.

בייַשפּיל 2:
– פונקציע: א סטודענט (דאָמעין) איז פֿאַרבונדן מיט זייער טעסט כעזשבן (קאָדאָמעין).
– נישט קיין פונקציע: דער זעלבער סטודענט קען נישט האבן צוויי פארשידענע סקאָרס אויף איין עקזאַמען. אויב עס זענען דא צוויי סקאָרס, איז די באַציִונג נישט קיין פונקציע.

קעסימפּולאַן

אויב מיר משפטן לויט דער אויבנדערמאנטער דערקלערונג, קענען מיר זען אז א פונקציע איז א יסודות'דיגער באגריף אין מאטעמאטיק וואס געפינט אסאך אנווענדונגען אין פארשידענע דיסציפלינען. א פונקציע פארבינדט יעדן עלעמענט אין דער דאמען-גרופע מיט פונקט איין עלעמענט אין דער קא-דאמאין-גרופע. אויב א באציאונג קען נישט דערפילן די אייגנשאפטן, איז עס נישט קיין פונקציע. פארשטיין דעם חילוק צווישן א פונקציע און א נישט-פונקציע גיט א שטארקע יסוד פאר ווייטערדיגע מאטעמאטישע שטודיעס און פראקטישע אנווענדונגען אין טעגליכן לעבן.