בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג

בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג: טעאָריע, אַפּליקאַציעס און ביישפילן

הקדמה

די בינאמיאלע פארטיילונג איז א יסודות'דיגע קאנצעפט אין סטאטיסטיק און ווארשיינליכקייט טעאריע. אלס איינע פון ​​די מערסט גענוצטע דיסקרעטע פארטיילונגען, אָפערט די בינאמיאלע פארטיילונג פילע אנווענדונגען אין פעלדער ווי מעדיצין, עקאנאמיק, ביאלאגיע, און די סאציאלע וויסנשאפטן. דער ארטיקל וועט דיסקוטירן די בינאמיאלע פארטיילונג אין טיפקייט, אריינגערעכנט איר דעפיניציע, שליסל אייגנשאפטן, פארבונדענע פארמלען, און עטלעכע פראקטישע אנווענדונג ביישפילן.

פֿאַרשטיין בינאָמיאַל פֿאַרשפּרייטונג

די בינאמיאלע פארטיילונג באשרייבט דעם רעזולטאט פון n בערנולי שטודיעס, וואו יעדער שטודיעס האט נאר צוויי מעגלעכע רעזולטאטן: "הצלחה" אדער "דורכפאל." למשל, אין א מטבע ווארף, די מעגלעכע רעזולטאטן זענען "קאפ" אדער "קאפ".

די צוויי הויפּט פּאַראַמעטערס אין דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג זענען:
1. n (נומער פון פּראָבעס)
2. p (ווארשיינלעכקייט פון הצלחה אין יעדן פארזוך)

מער פאָרמעל, קען די צאָל פון סוקסעסן אין n פּראָבעס באַשריבן ווערן דורך דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג \(B(n, p) \).

וואַרשיינלעכקייט מאַסע פונקציע (PMF)

די וואַרשיינלעכקייט מאַסע פונקציע פון ​​דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז פאָרמולירט ווי:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
וואו:
– \( \binom{n}{k} \) איז אַ קאָמבינאַציע פֿון n אויסגעקליבענע k,
– \(p \) איז די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אין אַן איינציקן פּראָצעס,
– \(k \) איז די צאָל פון סוקסעסן,
– \(n \) איז די גאַנצע צאָל פּראָבעס.

הויפּט אייגנשאַפטן פון בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג

די בינאמיאלע פארטיילונג האט עטלעכע שליסל אייגנשאפטן:
1. דורכשניט (Average): באַקומען דורך טאפלען די צאָל פון פּראָבעס מיט די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אין יעדער פּראָבע. די דורכשניט איז ε = np).
2. וואַריאַנס: די וואַריאַנס פון דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז דער פּראָדוקט פון דער צאָל פּראָבעס, די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה, און די וואַרשיינלעכקייט פון דורכפאַל, דאָס הייסט, ∫(∫sigma² = np(1 – p)).
3. סימעטריע און סקעווקייט: ווען \(p = 0.5 \), איז די בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג סימעטריש. פֿאַר \(p < 0.5 \), איז די פאַרשפּרייטונג סקעוו צו רעכטס, און פֿאַר \(p > 0.5 \), איז די פאַרשפּרייטונג סקעוו צו לינקס.
4. ווערט גרענעצן: דער בינאמיאלער ווערט (k) גייט פון 0 ביז n.

בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג און די צענטראַלע לימיט טעאָרעם

די בינאמיאלע פארטיילונג שפילט א וויכטיגע ראלע אין דעם צענטראלן גרעניץ טעארעם. ווען די צאל פארזוכן (n) ווערט זייער גרויס, וועט די בינאמיאלע פארטיילונג זיך דערנענטערן צו א נארמאלע פארטיילונג מיט א דורכשניט (mu = np) און א סטאנדארט דעוויאציע (sigma = np(1 – p)).

פאַל בייַשפּיל ניצן בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג

דיסקוסיעס וועגן דער בינאמיאלער פארטיילונג וועלן זיין גרינגער צו פארשטיין דורך פראקטישע ביישפילן פון פארשידענע פעלדער. דא זענען עטלעכע פראקטישע אנווענדונגען:

בייַשפּיל 1: פּראָדוקט טעסטינג

לאָמיר זאָגן אַז אַן עלעקטראָניק פירמע האָט אַ פּראָדוקציע ליניע וואו די וואַרשיינלעכקייט פון אַ דעפעקטיוון פּראָדוקט איז 0.01. אויב די פירמע דורכקוקט 100 פּראָדוקטן, וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט צו געפֿינען פּונקט 2 דעפעקטיווע פּראָדוקטן?

ניצן די בינאמיאלע פארטיילונג פארמולע:
[P(X = 2) = 100(2)^2 (0.01)^98)]

דורך אויסרעכענען די קאָמבינאַציעס \(\binom{100}{2}\), און דערנאָך טאפלען מיט די איבערבלייבנדע ווארשיינלעכקייטן, באַקומען מיר דאָס ענדגילטיקע רעזולטאַט.

בייַשפּיל 2: מעדיצינישע פאָרשונג

אין אַ קלינישער פּראָבע פֿון אַ מעדיצין פֿאַר אַ געוויסער קראַנקייט, איז די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ פּאַציענט וועט ווערן געהיילט מיט דער מעדיצין 0.8. אויב מען טעסטירט 10 פּאַציענטן, וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז לפּחות 8 פּאַציענטן וועלן ווערן געהיילט?

כדי צו געפֿינען די וואַרשיינלעכקייט, דאַרפֿן מיר צוזאַמענרעכענען די וואַרשיינלעכקייטן פֿון 8, 9 און 10 פּאַציענטן וואָס וועלן זיך אויסהיילן:
\[ פּ(רענטגענ \געק 8) = פּ(רענטגענ = 8) + פּ(רענטגענ = 9) + פּ(רענטגענ = 10) \]

דורך ניצן די בינאמיאלע פארמולע פאר יעדן ווערט פון k (8, 9, און 10), און דערנאך צולייגן די רעזולטאטן.

בייַשפּיל 3: באַשלוסן אין עקאָנאָמיק

אין אַ מאַרקעט אַנקעטע, 60% פון קאָנסומערס האָבן ליב געהאַט אַ נייעם פּראָדוקט. אויב מען נעמט אַ צופֿעליקע מוסטער פון 20 קאָנסומערס, וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז לפּחות 15 פון זיי האָבן ליב געהאַט דעם פּראָדוקט?

מיר דאַרפֿן די בינאָמיאַל פֿאַרטיילונג צו רעכענען די וואַרשיינלעכקייט פֿון אַ צאָל לייקס פֿון 15 ביז 20:
\[ פּ(רענטגענ \געק 15) = פּ(רענטגענ = 15) + פּ(רענטגענ = 16) + פּ(רענטגענ = 17) + פּ(רענטגענ = 18) + פּ(רענטגענ = 19) + פּ(רענטגענ = 20) \]

ניצנדיק די זעלבע מעטאָדע, רעכענען מיר אויס און לייגן צונויף די וואַרשיינלעכקייטן.

ניצן טעכנאָלאָגיע אין בינאָמיאַל דיסטריביושאַן קאַלקולאַציעס

אין דער דיגיטאַלער תקופה, ווערן בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג קאַלקולאַציע אַפּליקאַציעס נישט בלויז געטאָן מאַנועל, נאָר אויך ניצן ווייכווארג ווי R, פּיטהאָן, אָדער געוויסע סטאַטיסטישע קאַלקולאַטאָרן.

דאָ איז אַ בייַשפּיל פון ניצן פּיטהאָן צו רעכענען די בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג:

"פּיטהאָן
פֿון scipy.stats אימפארט בינאָם

n = 10 נומער פון פּראָבעס
p = 0.8 וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה
k = 8 ערוואַרטעטע צאָל פון סוקסעסן

וואַרשיינלעכקייט פון פּונקט 8 סוקסעסן
פּראָב_8 = בינאָם.פּמף(ק, נ, פּ)

וואַרשיינלעכקייט פון לפּחות 8 סוקסעסן
פּראָב_גע_8 = 1 – binom.cdf(ק-1, n, פּ)

דרוק(f”ווארשיינלעכקייט פון פונקט 8 סוקסעסן: {prob_8}”)
דרוק(f”ווארשיינלעכקייט פון לפחות 8 סוקסעסן: {prob_ge_8}”)
““

קעסימפּולאַן

די בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג איז אַ וויכטיקער יסוד אין סטאַטיסטיק און וואַרשיינלעכקייט. דורך פֿאַרשטיין די בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג, קענען מיר אָנווענדן פֿאַרשידענע וואַרשיינלעכקייט מאָדעלן צו פאַקטישע סיטואַציעס וואָס אַרייַנציען איבערגעחזרטע עקספּערימענטן מיט צוויי רעזולטאַטן. די מעגלעכקייט צו נוצן טעקנאַלאַדזשיקאַלע מכשירים מאַכט דעם קאַלקולאַציע פּראָצעס מער עפֿעקטיוו און פּינקטלעך. די בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג איז נישט בלויז טעאָרעטיש וויכטיק, נאָר האט אויך פילע באַטייַטיקע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט און אינדוסטריע.

האָפֿנטלעך גיט דער אַרטיקל אַ טיפֿערן פֿאַרשטאַנד פֿון דער בינאָמיאַלער פֿאַרטיילונג און ינספּירירט ווייטערדיקע אויספֿאָרשונג אין די פֿעלדער פֿון סטאַטיסטיק און וואַרשיינלעכקייט.