וועקטאָרן זענען אַ וויכטיקער באַגריף אין פיזיק, גענוצט צו רעפּרעזענטירן קוואַנטיטעטן מיט ביידע ריכטונג און מאַגניטוד. אין פיזיק, ווערן וועקטאָרן אָפט גענוצט צו באַשרײַבן פֿאַרשידענע דערשיינונגען ווי קראַפט, גיכקייט, אַקסעלעראַציע און מער. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן עטלעכע ביישפילן פון פיזיק וועקטאָר פּראָבלעמען, צוזאַמען מיט זייערע לייזונגען און דערקלערונגען.
1. וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע
בייַשפּיל קשיא 1:
צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{A}\) און \(\mathbf{B}\) ווערן געגעבן ווי פאלגנד:
\[
\mathbf{א} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
רעכענען אויס:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)
לייזונג:
צו צולייגן צוויי וועקטאָרן, צולייגן מיר זייערע קאָמפּאָנענטן באַזונדער.
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 - 2) \ מאַטהבף {איך} + (4 + 5) \ מאַטהבף {דזש}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{א} + \mathbf{ב} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{א} – \mathbf{ב} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 - (-2)) \ מאַטהבף {איך} + (4 - 5) \ מאַטהבף {דזש}
\]
\[
= (3 + 2) \ מאַטהבף {איך} + (-1) \ מאַטהבף {דזש}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
אַזוי, דער רעזולטאַט איז:
\[
\mathbf{א} - \mathbf{ב} = 5\mathbf{i} - \mathbf{j}
\]
2. סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע (פּונקט פּראָדוקט)
בייַשפּיל קשיא 2:
צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{C}\) און \(\mathbf{D}\) ווערן געגעבן ווי פאלגנד:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{ד} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
רעכנט אויס דעם סקאַלאַרן פּראָדוקט (פּונקט פּראָדוקט) פֿון √C און √D).
לייזונג:
דער סקאלארער פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{C}\) און \(\mathbf{D}\) איז:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4
\]
\[
= קסנומקס + קסנומקס
\]
\[
= קסנומקס
\]
אַלזאָ, דער רעזולטאַט פֿון דעם סקאַלאַרן פּראָדוקט פֿון \(\mathbf{C}\) און \(\mathbf{D}\) איז 26.
3. קראָס פּראָדוקט
בייַשפּיל קשיא 3:
צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{E}\) און \(\mathbf{F}\) ווערן געגעבן ווי פאלגנד:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{ק}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{ק}
\]
רעכנט אויס דעם קראָס-פּראָדוקט פֿון \(\mathbf{E}\) און \(\mathbf{F}\).
לייזונג:
דאָס קראָס־פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן E און F קען מען אויסרעכענען מיטן מאַטריץ־דעטערמינאַנט:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{ק} \\
1 און 2 און 3 \\
4 & 5 & 6
\ענד{vmatrix}
\]
רעכנט אויס דעם דעטערמינאנט פון דער מאַטריץ:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2) \cdot
\]
\[
= \mathbf{i} (12 - 15) - \mathbf{j} (6 - 12) + \mathbf{ק} (5 - 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) - \mathbf{j} (-6) + \mathbf{ק} (-3)
\]
\[
= -3 \ מאַטהבף {איך} + 6 \ מאַטהבף {דזש} - 3 \ מאַטהבף {ק}
\]
אַלזאָ, דער רעזולטאַט פֿון דעם קראָס־פּראָדוקט פֿון \(\mathbf{E}\) און \(\mathbf{F}\) איז:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{ק}
\]
4. וועקטאָר מאַגניטוד
בייַשפּיל קשיא 4:
געגעבן דעם וועקטאָר \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\). רעכנט אויס די מאַגניטוד (לענג) פון דעם וועקטאָר \(\mathbf{G}\).
לייזונג:
די מאַגניטוד פון דעם וועקטאָר \(\mathbf{G}\) קען אויסגערעכנט ווערן מיט דער פאָרמולע:
\[
|\מאַטבף{ג}| = \סקרט{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= 25 קוואדראט־צייט
\]
\[
= קסנומקס
\]
אַלזאָ, די מאַגניטוד פֿון דעם וועקטאָר \(\mathbf{G}\) איז 5.
5. וועקטאָר רעזאָלוציע
בייַשפּיל קשיא 5:
דער וועקטאָר H האט אַ מאַגניטוד פון 10 איינהייטן און פאָרמירט אַ ווינקל פון 30° מיט דער x-אַקס. באַשטימט די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר H אויף די x- און y-אַקסן.
לייזונג:
די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר H אויף די x (H_x) און y (H_y) אַקסן קענען אויסגערעכנט ווערן ניצנדיק טריגאָנאָמעטריע:
\[
\מאַטבף{ה}קס = |\מאַטבף{ה}| \קאָס(\טהעטאַ)
\]
\[
\מאַטבף{ה}י = |\מאַטבף{ה}| \ זינד (\ טעטאַ)
\]
מיט \(|\mathbf{H}| = 10\) און \(\theta = 30°\):
\[
H_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
H_y = 10 \sin(30°)
\]
די ווערטן פון \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) און \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
H_y = 10 ⋅ 1/2 = 5
\]
אַזוי, די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר H זענען:
\[
H_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
H_y = 5
\]
קעסימפּולאַן
אין דעם אַרטיקל, האָבן מיר דיסקוטירט עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט וועקטאָרן אין פיזיק, פון וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע, סקאַלאַרע און קראָס-מולטיפּליקאַציע, ביז וועקטאָר מאַגניטוד און רעזאָלוציע. פֿאַרשטיין דעם באַגריף און די אַרבעט פון וועקטאָרן איז קריטיש אין פיזיק ווייל פילע נאַטירלעכע דערשיינונגען קענען דערקלערט ווערן מיט וועקטאָרן. האָפֿנטלעך וועלן די בייַשפּיל פּראָבלעמען אײַך העלפֿן פֿאַרשטיין דעם באַגריף פון וועקטאָרן טיפֿער.
