ביישפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן דער דעריוואַטיוו פֿון אַן אַלגעברעיִשער פֿונקציע
די דעריוואַטיוו אין קאַלקולוס איז אַ יסודותדיקער באַגריף געניצט צו באַשרײַבן ווי אַ פֿונקציע ענדערט זיך, אָדער די סלאָופּ פֿון אַ פֿונקציע אין אַ פּונקט. דעריוואַטיוון זענען נוצלעך אין פֿאַרשידענע פֿעלדער ווי פֿיזיק, עקאָנאָמיק און אינזשעניריע ווײַל זיי צושטעלן אינפֿאָרמאַציע וועגן דעם ראַטע פֿון ענדערונג. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בײַשפּילן פֿון דעריוואַטיוון פֿון אַלגעבראַישע פֿונקציעס און ווי זיי צו סאָלווען.
בייַשפּיל 1: דעריוואַטיוו פון פּאָלינאָם פונקציע
פראגע: געגעבן די פונקציע \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). באשטימט די דעריוואטיוו פון דער פונקציע!
לייזונג:
ניצנדיק די גרונט-רעגולאציע פון דעריוואטיוון פאר פאלינאמיאלע פונקציעס, נעמליך \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), וועלן מיר אויסרעכענען די דעריוואטיוו פון יעדן טערמין פון דער פונקציע איינס נאכן אנדערן.
\[
\begin{אויסגלייַכן}
f(X) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0 \\
פֿ'(x) און = 9x^2 – 10x + 2.
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
אַלזאָ, די דעריוואַטיוו פֿון \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) איז \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
בייַשפּיל 2: דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע מיט בראָכצאָליקע עקספּאָנענטן
פראגע: באשטימט די דעריוואטיוו פון דער פונקציע \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
לייזונג:
ניצנדיק די זעלבע כלל פון דעריוואַציע, דאָס איז \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{אויסגלייַכן}
g(x) און = x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
ג'(x) און = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
אַלזאָ, די דעריוואַטיוו פֿון \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) איז \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
בייַשפּיל 3: דעריוואַטיוון פון עקספּאָנענציעלע און טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס
פראגע: באשטימט די דעריוואטיוו פון דער פונקציע ∫(h(x) = e^x ∫sin(x)∫).
לייזונג:
צו לייזן דעם דעריוואַט, דאַרפן מיר די פּראָדוקט־רעגולאַציע, וואָס זאָגט \((uv)' = u'v + uv'\). אַננעמען \(u(x) = e^x \) און \(v(x) = \sin(x) \), דאַן:
\[
\begin{אויסגלייַכן}
u'(x) &= e^x, & \text{ווייל די דעריוואטיוו פון } e^x \text{ איז } e^x \\
ווײַל די דעריוואַטיוו פֿון \sin(x) \text{ איז \cos(x). v'(x) & = \cos(x).
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
ניצן די דעריוואַטעד הערשן פֿאַר פּראָדוקטן:
\[
\begin{אויסגלייַכן}
ה'(x) & = (e^x ⋅sin(x))'
&= e^x (sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)'
&= e^x ∫cos(x) + sin(x) ∫e^x
און = e^x (θελ(x) + sin(x)).
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
אַלזאָ, די דעריוואַטיוו פֿון h(x) = e^x און sin(x) איז h'(x) = e^x (cos(x) + sin(x)).
בייַשפּיל 4: דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע ניצנדיק די קייט-רעגולאַציע
פראגע: באַשטימען די דעריוואַטיוו פון דער פונקציע \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
לייזונג:
כדי צו לייזן דעם דעריוואַטיוו, דאַרפן מיר די קייט-רעגולאַציע, נעמלעך \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) ⋅ g'(x)\). אַננעמען \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) און \( f(u) = u^5 \), דאַן:
\[
\begin{אויסגלייַכן}
k(x) און = (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) און = 3x^2 – x + 4, און \text{so} \\
k(x) און = f(u(x)) = u^5
k'(x) & = 5u^4 ⋅ u'(x) \
u'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
ניצן די קייטן-רעגולאציע:
\[
\begin{אויסגלייַכן}
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 ⋅ (6x – 1)
און = 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
אַלזאָ, די דעריוואַטיוו פֿון \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) איז \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
בייַשפּיל 5: דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע מיט טריגאָנאָמעטרישע אידענטיטעטן
פראגע: באַשטימען די דעריוואַטיוו פון דער פונקציע \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
לייזונג:
מיר וועלן ניצן די דעריוואַטיווע כלל פֿאַר פּראָדוקטן. אַננעמען אַז u(x) = sin(x) און v(x) = cos(x)), דאַן:
\[
\begin{אויסגלייַכן}
u'(x) & = \cos(x), \
v'(x) & = -\sin(x).
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
ניצן די דעריוואַטעד הערשן פֿאַר פּראָדוקטן:
\[
\begin{אויסגלייַכן}
m'(x) & = (\sin(x) \cdot \cos(x))'
&= (\sin(x))' ∫קאָס(x) + \sin(x) ∫(\cos(x))'
&= ∫קאָס(x)∫קאָס(x) + ∫סינוס(x)∫(-סינוס(x))
&= θελη(x) – θελη(x).
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
ניצנדיק די טריגאָנאָמעטרישע אידענטיטעט \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
אַלזאָ, די דעריוואַטיוו פֿון ∫m(x) = sin(x)₂cos(x)₂ איז ∫m'(x) = ∫cos(2x)₂.
קעסימפּולאַן
די דעריוואַטיוו פֿון אַן אַלגעברעיִשער פֿונקציע איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין קאַלקולוס וואָס איז זייער וויכטיק און נוצלעך אין פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס. פֿאַרשידענע כּללים פֿון דעריוואַציע, ווי די גרונטלעכע דעריוואַטיוו־רעגולאַציע, די פּראָדוקט־רעגולאַציע, די קייט־רעגולאַציע, און די כּללים פֿאַר טריגאָנאָמעטרישע דעריוואַטיוון, העלפֿן אַלע אין רעכענען די דעריוואַטיוון פֿון מער קאָמפּליצירטע פֿונקציעס. דורך פֿאַרשטיין די אויבן דערמאָנטע ביישפּילן און פּראַקטיצירן פּראָבלעמען, קענען מיר פֿאַרבעסערן אונדזער פֿאַרשטאַנד און פֿעיִקייטן אין נעמען דעריוואַטיוון פֿון אַלגעברעיִשע פֿונקציעס.
