בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן לינעאַרע אומגלייַכקייט סיסטעמען

בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן לינעאַרע אומגלייַכקייט סיסטעמען

א סיסטעם פון לינעארע אומגלייכקייטן איז א צווייג פון מאטעמאטיק וואס באהאנדלט די באציאונגען צווישן עטלעכע לינעארע אומגלייכקייטן. די סיסטעם באשטייט פון צוויי אדער מער אומגלייכקייטן וואס דארפן ווערן אויסגעלייזט צו געפינען א לייזונג וואס באפרידיקט אלע אומגלייכקייטן גלייכצייטיג. דיסקוסיעס וועגן סיסטעמען פון לינעארע אומגלייכקייטן ווערן אָפט באגעגנט אין מאטעמאטיק קוריקולום אויף די מיטלשול און הויכשול לעוועלס, סיי אין עקזאַמען פראגעס און סיי אין טעגלעכע פראקטיק.

לינעאַרע אומגלייכקייט סיסטעמען האָבן פילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס, פון רעסורסן אָפּטימיזאַציע און פינאַנציעלע פּלאַנירונג ביז לאָגיסטיק. פֿאַרשטיין די קאָנצעפּטן איז ניט בלויז קריטיש פֿאַר סאָלווינג מאַטעמאַטיק פּראָבלעמען אין שולע, נאָר אויך צוגרייט סטודענטן צו סאָלווען וואָכעדיקע פּראָבלעמען לאָגיש און עפֿעקטיוו. אונטן זענען עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס וועגן לינעאַרע אומגלייכקייט סיסטעמען.

בייַשפּיל קשיא 1

פראגע:
באַשטימען די לייזונג-סכום פון דער פאלגענדער סיסטעם פון לינעאַרע אומגלייַכקייטן:
\[
\begin{ קאַסעס}
x + y ≤ 6
x – y ≤ 2
\ענד{ קאַסעס}
\]

פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. צייכנט אַ גרענעץ ליניע פֿאַר יעדער אומגלייַכקייט:

פֿאַר _(x + y = 6), צייכענען מיר די ליניע _(x + y = 6):
– ווען \(x = 0\), \(y = 6\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (0, 6).
– ווען \(y = 0\), \(x = 6\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (6, 0).

פֿאַר \(x – y \geq 2\), צייכענען מיר די ליניע \(x – y = 2\):
– ווען \(x = 2\), \(y = 0\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (2, 0).
– ווען \(y = -2\), \(x = 0\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (0, -2).

2. באַשטימען די זידלונג געגנט:

– די ליניע \(x + y = 6\) טיילט עס אין צוויי געגנטן, און מיר קאָנטראָלירן איין טעסט פונקט וואָס איז נישט אויף דער ליניע, למשל דער פונקט (0, 0):
\[
0 + 0 ≤ 6 ≤ (אמת)
\]
אַלזאָ, דער שטח וואָס באַפרידיקט איז אונטער אָדער צו דער לינקער זייט פון דער ליניע \(x + y = 6\).

– די ליניע \(x – y = 2\) טיילט דעם עקראַן ווידער אין צוויי געגנטן, און מיר קאָנטראָלירן דעם פּונקט (0, 0):
\[
0 – 0 ≈ 2 (פאַלש)
\]
אַלזאָ, די שטח וואָס באַפרידיקט איז העכער אָדער צו רעכטס פון דער ליניע \(x – y = 2\).

3. באַשטימען די דורכשניט פון די צוויי געגנטן:

די לייזונג צום סיסטעם איז דער ראיאן וואס באפרידיקט ביידע אומגלייכקייטן. מיר זוכן דעם קראָסינג טייל פון די צוויי ראיאן וואס קארעספאנדירט צו דער ריכטונג פון יעדער אומגלייכקייט.

באַשרייַבונג:
די לייזונג־סכום פֿון אַ סיסטעם פֿון לינעאַרע אומגלייכקייטן איז אַלע פּונקטן אין דער דורכשניט פֿון די צוויי געגנטן וואָס באַפֿרידיקן די באַדינגונגען _(x + y ≤ 6) און _(x – y ≤ 2)_.

בייַשפּיל קשיא 2

פראגע:
באַשטימען די לייזונג-סכום פון דער פאלגענדער סיסטעם פון לינעאַרע אומגלייכקייטן אין דעם ערשטן קוואַדראַנט:
\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y ≤ 12
x ≈ 0
y \geq 0 \\
\ענד{ קאַסעס}
\]

פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. צייכנט אַ גרענעץ ליניע פֿאַר יעדער אומגלייַכקייט:

פֿאַר 2x + 3y = 12), צייכענען מיר די ליניע 2x + 3y = 12):
– ווען \(x = 0\), \(y = 4\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (0, 4).
– ווען \(y = 0\), \(x = 6\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (6, 0).

2. באַשטימען די זידלונג געגנט:

– ליניע \(2x + 3y = 12\) און טעסט פונקט (0, 0):
\[
2(0) + 3(0) ≤ 12 (אמת)
\]
אַלזאָ, דער שטח וואָס באַפרידיקט איז אונטער אָדער צו דער לינקער זייט פון דער ליניע \(2x + 3y = 12\).

– \(x \geq 0\) און \(y \geq 0\) ווײַזן אָן אַז דער לייזונג־פּונקט איז אין ערשטן קוואַדראַנט.

3. באַשטימען די דורכשניט פון די צוויי געגנטן:

די לייזונג צו דער סיסטעם איז די שטח אין דעם ערשטן קוואַדראַנט וואָס איז אונטער אָדער צו דער לינקער זייט פון דער ליניע \(2x + 3y = 12\).

באַשרייַבונג:
די לייזונג-געזעמל פון אַ סיסטעם פון לינעאַרע אומגלייַכהייטן איז די פונקטן אין דעם ערשטן קוואַדראַנט וואָס באַפרידיקן ∫(2x + 3y ≤ 12).

בייַשפּיל קשיא 3

פראגע:
באַשטימען די לייזונג-סכום פון דער פאלגענדער סיסטעם פון לינעאַרע אומגלייַכקייטן:
\[
\begin{ קאַסעס}
y ≤ 2x – 3
y ≤ 1 - x + 1
\ענד{ קאַסעס}
\]

פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. צייכנט אַ גרענעץ ליניע פֿאַר יעדער אומגלייַכקייט:

פֿאַר \(y \geq 2x – 3\), צייכענען מיר די ליניע \(y = 2x – 3\):
– ווען \(x = 0\), \(y = -3\) פּראָדוצירט עס דעם פּונקט (0, -3).
– ווען \(y = 0\), \(x = 1,5\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (1.5, 0).

פֿאַר θ⁻¹ - x + 1), צייכענען מיר די ליניע θ⁻¹ = - x + 1):
– ווען \(x = 0\), \(y = 1\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (0, 1).
– ווען \(y = 0\), \(x = 1\) פּראָדוצירט דעם פּונקט (1, 0).

2. באַשטימען די זידלונג געגנט:

– די ליניע _(y \geq 2x – 3\) ווערט געטעסט מיטן פונקט (0, 0):
\[
0 ≈ 2(0) – 3 ≈ (אמת)
\]
אַלזאָ, די שטח וואָס באַפרידיקט איז העכער אָדער צו רעכטס פון דער ליניע \(2x – 3\).

– די ליניע \(y \leq -x + 1\) ווערט געטעסט מיטן פונקט (0, 0):
\[
0 ≤ -0 + 1 ≤ (אמת)
\]
אַלזאָ, דער שטח וואָס באַפרידיקט איז אונטער אָדער צו דער לינקער זייט פון דער ליניע \(-x + 1\).

3. באַשטימען די דורכשניט פון די צוויי געגנטן:

די לייזונג צום סיסטעם איז דער ראיאן וואס באפרידיקט ביידע אומגלייכקייטן. מיר זוכן דעם ראיאן פון דורכשניט צווישן די צוויי אומגלייכקייטן.

באַשרייַבונג:
די לייזונג־סכום פֿון אַ סיסטעם פֿון לינעאַרע אומגלייכקייטן איז די פּונקטן אין דער דורכשניט פֿון דער געגנט וואָס באַפֿרידיקן Σελ²⁻³ און Σελ⁻³ + 1.

דורך פֿאַרשטיין ווי צו סאָלווען סיסטעמען פֿון לינעאַרע אומגלייכקייטן, האָפֿט מען אַז סטודענטן וועלן ווערן מער באַגאַבט אין סאָלווען מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען און אָנווענדן די קאָנצעפּטן צו וואָכעדיקע סיטואַציעס. האָפֿנטלעך וועלן די בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס העלפֿן סטודענטן לערנען און פֿאַרשטיין די גרונט קאָנצעפּטן פֿון סיסטעמען פֿון לינעאַרע אומגלייכקייטן.