בייַשפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן אַ סיסטעם פֿון לינעאַרע גלייכונגען

בייַשפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן אַ סיסטעם פֿון לינעאַרע גלייכונגען

סיסטעמען פון לינעארע גלייכונגען (SLE) איז א יסודות'דיגער קאנצעפט וואס ווערט אָפט געלערנט אין מאטעמאטיק אויף ביידע צווייטיקע און דריטע לעוועלס. באַהערשן SLE איז קריטיש צוליב זיין ברייטע אנווענדונג אין פארשידענע פעלדער, פון פיזיק און עקאנאמיק ביז אינזשעניריע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע ביישפילן פון סיסטעמען פון לינעארע גלייכונגען און זייערע לייזונגען. מיר וועלן נוצן סובסטיטוציע, עלימינאציע, און מאַטריץ מעטאָדן צו פארגרינגערן פארשטאנד.

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

בייַשפּיל קשיא 1: סאַבסטיטוציע מעטאָד

פראגע:
לייזט אויס די פאלגנדע סיסטעם פון גלייכונגען ניצנדיק די סובסטיטוציע מעטאָדע:

1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)

לייזונג:

1. דער ערשטער שריט איז צו לייזן איינע פון ​​די גלייכונגען פאר איינע פון ​​די וועריאַבלען. למשל, מיר קענען לייזן די צווייטע גלייכונג פאר \(x\):

\[ x – 2y = -3 \]
\[x = 2y – 3 \]

2. שטעל אריין \(x = 2y – 3\) אין דער ערשטער גלייכונג:

\[ 2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[ 4y – 6 + 3y = 8 \]
\[ 7y – 6 = 8 \]
\[ 7y = 14 \]
\[ y = 2 \]

3. איצט, שטעלט אריין \(y = 2\) אין דער גלייכונג \(x = 2y – 3\):

\[x = 2(2) – 3 \]
\[x = 4 – 3 \]
\[x = 1 \]

אַלזאָ, די לייזונג צו דער סיסטעם פֿון גלייכונגען איז \(x = 1 \) און \(y = 2 \).

בייַשפּיל קשיא 2: עלימינאַציע מעטאָד

פראגע:
לייזט אויס די פאלגנדע סיסטעם פון גלייכונגען ניצנדיק די עלימינאציע מעטאד:

1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)

לייזונג:

1. דער ערשטער שריט איז צו מאַכן דעם קאָעפיציענט פון איינער פון די וועריאַבלען די זעלבע אין ביידע גלייכונגען. מיר קענען טאפלען די צווייטע גלייכונג מיט 2 צו מאַכן דעם קאָעפיציענט פון \(y\) די זעלבע:

\[ 2(5x – y) = 2(9) \]
\[ 10x – 2y = 18 \]

2. לייג צו די צוויי גלייכונגען צו עלימינירן \(y\):

\[ 3x + 2y + 10x - 2י = 12 + 18 \]
\[ 13x = 30 \]
[x = \frac{30}{13} \]

3. אריינשטעלן \( x = \frac{30}{13} \) אין דער ערשטער גלייכונג:

[3(30%) + 13) + 2y = 12]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – \frac{90}{13} \]
[2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]

אַלזאָ, די לייזונגען צו דער סיסטעם פֿון גלייכונגען זײַנען \(x = \frac{30}{13} \) און \(y = \frac{33}{13} \).

בייַשפּיל קשיא 3: מאַטריץ מעטאָד (גאַוסיש עלימינאַציע)

פראגע:
לייזט אויס די פאלגנדע סיסטעם פון גלייכונגען ניצנדיק די מאַטריץ מעטאָדע:

1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)

לייזונג:

1. פארגרעסערטע מאַטריץ פאָרעם פון דער סיסטעם פון גלייכונגען:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 1 און 1 און | און 6 \\
2 און -1 און 3 און | און 14 \\
4 און 2 און -1 און | און 2
\ענד{pmatrix} \]

2. גאַוסישער עלימינאַציע פּראָצעס:

– ענדערן די צווייטע ריי צום רעזולטאַט פון דער צווייטער ריי מינוס צוויי מאָל די ערשטע ריי:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 1 און 1 און | און 6 \\
0 און -3 און 1 און | און 2 \\
4 און 2 און -1 און | און 2
\ענד{pmatrix} \]

– ענדערן די דריטע ריי צום רעזולטאַט פון דער דריטער ריי מינוס פיר מאָל די ערשטע ריי:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 1 און 1 און | און 6 \\
0 און -3 און 1 און | און 2 \\
0 און -2 און -5 און | און -22
\ענד{pmatrix} \]

– ענדערן די דריטע ריי צום רעזולטאַט פון דער דריטער ריי פּלוס צוויי דריטל פון דער צווייטער ריי:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 1 און 1 און | און 6 \\
0 און -3 און 1 און | און 2 \\
0 און 0 און -4 און | און -20
\ענד{pmatrix} \]

– ענדערן די דריטע ריי צום רעזולטאַט פון דער דריטער ריי צעטיילט דורך -4:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 1 און 1 און | און 6 \\
0 און -3 און 1 און | און 2 \\
0 און 0 און 1 און | און 5
\ענד{pmatrix} \]

– קאָנווערטירן די צווייטע ריי צו דעם רעזולטאַט פון דער צווייטער ריי פּלוס די דריטע ריי:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 1 און 1 און | און 6 \\
0 און -3 און 0 און | און -3 \\
0 און 0 און 1 און | און 5
\ענד{pmatrix} \]

– ענדערן די צווייטע ריי צום רעזולטאַט פון דער צווייטער ריי צעטיילט דורך -3:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 1 און 1 און | און 6 \\
0 און 1 און 0 און | און 1 \\
0 און 0 און 1 און | און 5
\ענד{pmatrix} \]

– ענדערן די ערשטע ריי צום רעזולטאַט פון דער ערשטער ריי מינוס די צווייטע ריי און די דריטע ריי:

\[ \begin{pmatrix}
1 און 0 און 0 און | און 0 \\
0 און 1 און 0 און | און 1 \\
0 און 0 און 1 און | און 5
\ענד{pmatrix} \]

אַלזאָ, די לייזונגען צו דער סיסטעם פֿון גלייכונגען זײַנען \(x = 0 \), \(y = 1 \), און \(z = 5 \).

קעסימפּולאַן

פֿאַרשטיין די מעטאָדן פֿאַר סאָלווען סיסטעמען פֿון לינעאַרע גלייכונגען איז קריטיש צו באַהערשן מאַטעמאַטיק. סאַבסטיטוציע, עלימינאַציע, און מאַטריץ מעטאָדן פאָרשלאָגן פֿאַרשידענע צוגאַנגען צו געפֿינען די ריכטיקע לייזונג. מיט קאָנסיסטענט פּראַקטיק און אַ גוטן פֿאַרשטאַנד פֿון די קאָנצעפּטן, קען יעדער באַהערשן די טעקניקס און זיי אָנווענדן אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון קאָנטעקסטן. האָפֿנטלעך, די ביישפּילן וואָס ווערן דיסקוטירט אין דעם אַרטיקל וועלן העלפֿן לייענער בעסער פֿאַרשטיין און באַהערשן סיסטעמען פֿון לינעאַרע גלייכונגען.