בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון לאָגאַריטמישע אייגנשאַפֿטן
מאטעמאטיק ווערט אָפט באַטראַכט ווי איינע פון די מערסט אַרויסרופנדיקע סוביעקטן. צווישן די פֿאַרשידענע טעמעס אין מאטעמאטיק, זענען לאָגאַריטמען איין באַגריף מיט אַ צאָל קאָמפּליצירטע אָבער פֿאַרכאַפּנדיקע כּללים צו לערנען. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע ביישפילן פון לאָגאַריטם פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען, מיט אַ פאָקוס אויף די אייגנשאַפֿטן פון לאָגאַריטמען.
הקדמה צו די אייגנשאפטן פון לאגאריטמען
לאגאריטמען זענען די אינווערסע פונקציעס פון עקספאנענטן. למשל, אויב מיר האבן די גלייכונג _a^b = c_, דאן איז דער לאגאריטם פון _c_ צו באזע _a_ _b_, וואס קען אויסגעדריקט ווערן אלס _log_a(c) = b_. עטלעכע גרונטלעכע אייגנשאפטן פון לאגאריטמען וואס מיר וועלן נוצן ביים דיסקוטירן פראבלעמען זענען:
1. אייגנשאפטן פון מולטיפליקאציע:
\[\log_b(MN) = \log_b(M) + \log_b(N)\]
2. אייגנשאפטן פון דיוויזיע:
\[\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b(M) – \log_b(N)\]
3. אייגנשאפטן פון עקספּאָנענטן:
\[\log_b(M^n) = n \cdot \log_b(M)\]
4. נאַטור פון דער באַזע פון ענדערונג:
\[\log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)}\]
דורך פארשטיין די אייגנשאפטן, קענען מיר גרינגער לייזן פארשידענע לאגאריטם פראבלעמען.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
פראגע 1: אייגנשאפטן פון מולטיפליקאציע
באַשטימט דעם ווערט פון ∫(\log_2(8) + ∫log_2(4)).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר ווייסן אַז 8 = 2^3 און 4 = 2^2.
– (\(\log_2(8) = \log_2(2^3) = 3\log_2(2) = 3 ⋅ 1 = 3)
– (\(\log_2(4) = \log_2(2^2) = 2\log_2(2) = 2 ⋅ 1 = 2)
אזוי:
\[
\log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5
\]
פראגע 2: אייגנשאפטן פון דיוויזיע
באַשטימט דעם ווערט פון ∫(\log_3(27) – ∫log_3(3)\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר ווייסן אַז \(27 = 3^3\).
– (\(\log_3(27) = \log_3(3^3) = 3\log_3(3) = 3 ⋅ 1 = 3)
– (\(\log_3(3) = \log_3(3^1) = 1\log_3(3) = 1 ⋅ 1 = 1)
אזוי:
\[
\log_3(27) – \log_3(3) = 3 – 1 = 2
\]
פראגע 3: אייגנשאפטן פון עקספאנענטן
באַשטימט דעם ווערט פֿון \(\log_5(25^3)\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר ווייסן אז \(25 = 5^2\), דאן \(25^3 = (5^2)^3 = 5^6\).
– (\(\log_5(25^3) = \log_5(5^6) = 6 \cdot \cdot 5(5) = 6 \cdot 1 = 6\)
אזוי:
\[
\log_5(25^3) = 6
\]
פראגע 4: די נאטור פון דער באזע פון ענדערונג
באַשטימט דעם ווערט פון \(\log_2(32)\) ניצנדיק די ענדערונג פון באַזע אייגנשאַפט.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר ווייסן אַז \(32 = 2^5\).
ניצן די עקספּאָנענטיאַציע אייגנשאַפט:
– (\(\log_2(32) = \log_2(2^5) = 5 \cdot \log_2(2) = 5 \cdot 1 = 5\)
מיר קענען אויך נוצן די "change base" אייגנשאפט:
\[
\log_2(32) = \frac{\log_{10}(32)}{\log_{10}(2)}
\]
רעכענען מיט אַ קאַלקולאַטאָר:
– \(\log_{10}(32) \אומגעפער 1.50515\)
– \(\log_{10}(2) \אומגעפער 0.30103\)
אזוי:
\[
\log_2(32) = \frac{1.50515}{0.30103} \aprox 5
\]
פראגע 5: קאמבינאציע פון לאגאריטמישע אייגנשאפטן
באַשטימט דעם ווערט פֿון ∫(\log_3(9) ≥ ∫log_3(27)).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר ווייסן אַז 9 = 3^2 און 27 = 3^3.
– (\(\log_3(9) = \log_3(3^2) = 2\log_3(3) = 2 ⋅ 1 = 2)
– (\(\log_3(27) = \log_3(3^3) = 3\log_3(3) = 3 ⋅ 1 = 3)
אזוי:
\[
∫לאָג_3(9) ∫לאָג_3(27) = 2 ∫3 = 6
\]
פּראָבלעם 6: באַניץ אין גלייכונג
אויב \(\log_5(x) = 2\), באַשטימט דעם ווערט פון \(x\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿון דער גלייכונג \(\log_5(x) = 2\), קענען מיר עס איבערשרייבן אין עקספּאָנענציעלער פֿאָרעם:
\[
5^2 = x \implices x = 25
\]
אזוי, דער ווערט פון \(x\) איז \(25\).
קעסימפּולאַן
אין דעם אַרטיקל, האָבן מיר דיסקוטירט עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען וואָס נוצן פֿאַרשידענע אייגנשאַפֿטן פֿון לאָגאַריטמען. פֿאַרשטיין און באַהערשן די אייגנשאַפֿטן פֿון לאָגאַריטמען איז וויכטיק פֿאַר לייזן פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט לאָגאַריטמען מער עפֿעקטיוו.
דאס מאַטעריאַל וועגן לאָגאַריטמען איז נישט נאָר וויכטיק אין אַן אַקאַדעמישן קאָנטעקסט, נאָר עס האט אויך פילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין די פעלדער פון וויסנשאַפֿט און טעכנאָלאָגיע. למשל, לאָגאַריטמען ווערן גענוצט אין דער ריכטער סקאַלע צו מעסטן די שטאַרקייט פון ערדציטערנישן, אין דער pH סקאַלע צו מעסטן די זויערקייט אָדער אַלקאַליניטי פון לייזונגען, און אין דאַטן קאַמפּרעשאַן אַלגעריטמען.
דורך שטודירן די ביישפיל פראבלעמען און זייערע דיסקוסיעס, ווערט ערווארטעט פון לייענער בעסער צו פארשטיין ווי לאגאריטמען ארבעטן און אנווענדן דעם קאנצעפט צו פארשידענע סיטואציעס. פארגעסט נישט צו ווייטער פראקטיצירן מיט אנדערע לאגאריטם פראבלעמען צו ווערן מער באקאנט מיטן קאנצעפט און אייגנשאפטן פון לאגאריטמען.
