בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון איין טיפּ טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן: tan θ
טריגאָנאָמעטריע איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס שטודירט די פֿאַרבינדונג צווישן ווינקלען און זײַט־לענג אין טרייענגלעך. איין אָפֿט דיסקוטירטע טריגאָנאָמעטרישע פֿאַרהעלטעניש איז דער טאַנגענט (טאַן). אין דעם אַרטיקל וועלן מיר זיך קאָנצענטרירן אויף ניצן דעם טאַן־פֿאַרהעלטעניש אין פֿאַרשידענע טיפּן פּראָבלעמען און דיסקוטירן עטלעכע בײַשפּילן וואָס האָבן צו טאָן מיט טאַן θ.
דעפֿיניציע פֿון טאַן θ
דער טאַנגענט פֿון אַ ווינקל θ ווערט דעפֿינירט ווי די פּראָפּאָרציע פֿון דער לענג פֿון דער אַנדערער זײַט צו דער לענג פֿון דער שכנותדיקער זײַט אין אַ רעכטן דרייַעק. מאַטעמאַטיש ווערט דאָס געשריבן ווי:
\[ \tan θ = \frac{\text{קעגנגעזעצטע זייט}}{\text{שכנותדיקע זייט}} \]
אין דעם איינהייטס־קרייז, קען מען אויך אינטערפּרעטירן טאַן ווי די פאַרהעלטעניש צווישן דער y קאָאָרדינאַט (פראָנט־זייט) און דער x קאָאָרדינאַט (זייט־זייט) פון אַ פּונקט אויפן קרייז וואָס איז איין איינהייט אַוועק פונעם צענטער.
די טאַן פונקציע אין מאטעמאטיק און פיזיק
טריגאָנאָמעטריע, באַזונדערס די טאַן פונקציע, ווערט גענוצט אין אַ פאַרשיידנקייט פון מאַטעמאַטישע און פיזישע אַפּליקאַציעס. למשל, אין קלאַסישער פיזיק, ווערט די טאַן פונקציע גענוצט אין דער אַנאַליז פון פּראָיעקטיל באַוועגונג, און אין אינזשעניריע, ווערט עס גענוצט צו רעכענען דעם ווינקל פון ינלענשאַן אָדער גראַדיענט פון אַ ייבערפלאַך.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
דאָ זענען עטלעכע בייַשפּיל פֿראַגעס און זייערע דיסקוסיעס צו פֿאַרשטיין די נוצן פֿון tan θ טיפֿער.
פראגע 1: אויסרעכענען דעם טאן θ פון א רעכטן דרייעק
געגעבן: א רעכטער דרייעק האט א לענג פון דער פראנט זייט קעגן ווינקל θ פון 4 ס״מ און א לענג פון דער זייט נעבן ווינקל θ פון 3 ס״מ. רעכנט אויס דעם ווערט פון tan θ.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניץ די דעפֿיניציע פֿון טאַן:
\[ \tan θ = \frac{\text{פראָנט זײַט}}{\text{זײַט זײַט}} \]
פאַרבייטן די באַקאַנטע ווערטן:
[טאן θ = \frac{4}{3} \]
אַזוי, דער ווערט פון tan θ איז ≥ 4/3.
פראגע 2: באַשטימען די לענג פון אַ זײַט ניצנדיק tan θ
געגעבן: א רעכטער דרייעק מיט ווינקל θ איז באקאנט אז tan θ = 0.75. די לענג פון דער זייט נעבן ווינקל θ איז 8 ס״מ. רעכנט אויס די לענג פון דער קעגנגעזעצטער זייט קעגנגעזעצטער ווינקל θ.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניצט די דעפֿיניציע פֿון "טאַן" צו געפֿינען די לענג פֿון דער אַנדערער זײַט:
\[ \tan θ = \frac{\text{פראָנט זײַט}}{\text{זײַט זײַט}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{פראָנט זײַט}}{8} \]
טאפלט ביידע זייטן מיט 8 צו לייזן די גלייכונג.
\[ \text{פראָנט זײַט} = 0.75 \מאל 8 \]
\[ \text{פראָנט זײַט} = 6 ס״מ \]
אַזוי, די לענג פון די פראָנט זייט איז 6 סענטימעטער.
פראגע 3: אויסרעכענען ווינקל θ אויב tan θ איז באקאנט
געגעבן: א רעכט-רעכטער דרייעק איז באַקאַנט אַז tan θ = 1. נאָמען דעם ווינקל θ.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער טאנ פון א ווינקל איז גלייך צו 1 ווען די פארקערטע זייט און די ארומיגע זייט זענען גלייך אין לענג. אין גרונטלעכער טריגאנאָמעטריע, פאסירט דאס ביי א 45° ווינקל.
דעריבער, דער ווערט פון θ איז 45°.
פראגע 4: ניצן טאן θ אין אלגעברע פראבלעמען
געגעבן: א שטריק ווערט געבונדן פון דער שפּיץ פון אַ שטאַנג וואָס איז 15 מעטער הויך צו אַ פּונקט אויף דער ערד וואָס איז 20 מעטער פון דער באַזע פון דער שטאַנג. רעכנט אויס tan θ, וואו θ איז דער ווינקל געפאָרעמט דורך דעם שטריק און שטאַנג.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניץ די דעפֿיניציע פֿון טאַן:
\[ \tan θ = \frac{\text{פראנט זייט (פּאָל הייך)}}{\text{זייט זייט (האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ)}} \]
[טאן θ = \frac{15}{20} \]
פאַרפּשוטערן דעם בראָכצאָל:
[טאן θ = \frac{3}{4} \]
אַזוי, דער ווערט פון tan θ איז ≥ 3/4.
פראגע 5: באַשטימען הייך פֿון ווייטקייט און ווינקל פֿון ינלענשאַן
געגעבן: אן אבזערוואטאר שטייט 100 מעטער פון א הויכן בנין. די tan θ פון דער אבזערוואציע פון דעם אבזערוואטאר'ס פאזיציע ביזן שפיץ פונעם בנין איז \(\tan 30^\circ\). באשטימט די הייך פונעם בנין.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט אַז \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{פראנט זייט (געביידע הייך)}}{\text{זייט זייט (דיסטאַנץ)} } \]
שטעקט אריין די באקאנטע ווערטן אין דער גלייכונג
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{געביידע הייך}}{100} \]
טאפלט ביידע זייטן מיט 100 צו איזאלירן די הייך.
[ געביידע הייך = 100 / 3 ]
[ געביידע הייך = 100 × 3 / 3 ]
געביידע הייך ≈ 57.73 מעטער
אַזוי, די הייך פון דעם בנין איז אַרום 57.73 מעטער.
פראגע 6: באַשטימען דעם ווינקל פֿון הייך און דיסטאַנץ
געגעבן: איר ווייסט אז די הייך פון א טורעם איז 50 מעטער און די האריזאנטאלע דיסטאנץ פון דעם אבזערוואציע פונקט ביזן דנאָ פון טורעם איז 70 מעטער. באשטימט דעם ווינקל פון הייך צו דער שפּיץ פון טורעם.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
\[ \tan θ = \frac{\text{טורעם הייך}}{\text{האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ}} \]
[טאן θ = \frac{50}{70} \]
[טאן θ = \frac{5}{7} \]
צו געפֿינען θ, ניצן מיר די אינווערסע טאַנגענט פונקציע (tan⁻¹) אדער אַרקטאַן.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
ניצנדיק אַ קאַלקולאַטאָר אָדער טריגאָנאָמעטריע טאַבעלע, קענען מיר געפֿינען דעם ווערט פֿון θ.
\[ θ ≈ 35.54° \]
אַלזאָ, דער הייך־ווינקל צום שפּיץ פֿונעם טורעם איז בערך 35.54°.
קעסימפּולאַן
טריגאָנאָמעטריע איז אַ שטאַרק געצייַג אין פילע פעלדער פון וויסנשאַפֿט. דער טאַנגענט, למשל, איז אַ פּשוט אָבער שטאַרק פאַרהעלטעניש וואָס קען געניצט ווערן צו סאָלווען פֿאַרשידענע פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט ווינקלען און זייט לענג. דורך פֿאַרשטיין איר דעפֿיניציע און ווי אַזוי צו נוצן עס, קענען מיר סאָלווען אַ ברייטע קייט פון געאָמעטריע און פיזיק פּראָבלעמען. דורך פּראַקטיצירן פּראָבלעמען ווי דער בייַשפּיל אויבן, קענען מיר ווערן מער באַגאַבט אין נוצן טאַן θ אין טעגלעכע חשבונות.
