בייַשפּיל פֿון לינעאַרע רעגרעסיע דיסקוסיע פֿראַגעס

לינעאַר רעגרעסיע בייַשפּיל פֿראגן און דיסקוסיע

לינעאַרע רעגרעסיע איז אַ סטאַטיסטישע מעטאָדע וואָס ווערט גענוצט צו באַשטימען די באַציִונג צווישן צוויי אָדער מער וועריאַבאַלן. די מעטאָדע ווערט ברייט גענוצט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער, אַרייַנגערעכנט עקאָנאָמיק, ביזנעס, געזעלשאַפֿטלעכע וויסנשאַפֿטן און די נאַטור-וויסנשאַפֿטן. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן לינעאַרע רעגרעסיע, ווי אַזוי עס צו רעכענען, און צושטעלן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען מיט דערקלערונגען צו העלפֿן לייענער פֿאַרשטיין דעם באַגריף אין טיפֿקייט.

פֿאַרשטיין לינעאַר רעגרעסיע

לינעאַרע רעגרעסיע איז אַן אַנאַליטישע מעטאָדע געניצט צו מאָדעלירן די באַציִונג צווישן איין אָדער מער אומאָפּהענגיקע וועריאַבלען (פּרעדיקטאָרס) און אַן אָפּהענגיקע וועריאַבלע (רעספּאָנס). פּשוטע לינעאַרע רעגרעסיע נעמט אַרײַן איין אומאָפּהענגיקע וועריאַבלע און איין אָפּהענגיקע וועריאַבלע, בשעת מערפאַכע לינעאַרע רעגרעסיע נעמט אַרײַן מער ווי איין אומאָפּהענגיקע וועריאַבלע.

די גלייכונג פון א פשוטער לינעארער רעגרעסיע ליניע איז:
\[Y = a + bX \]

וואו:
– \(Y \) איז די אפהענגיקע וועריאַבל.
– \(X \) איז די אומאפהענגיקע וועריאַבל.
– \(a \) איז דער אינטערסעפּשאַן, וואָס איז דער ווערט פון Y ווען X = 0.
– \(b \) איז דער רעגרעסיע קאָעפיציענט, דאָס הייסט, וויפיל Y ענדערט זיך אויב X ענדערט זיך מיט איין איינהייט.

לינעאַר רעגרעסיע טריט

1. זאַמלען דאַטן: ערשטנס, זאַמלען די דאַטן וואָס דאַרפֿן אַנאַליזירט ווערן.
2. פלאָט דאַטן: שאַפֿן אַ סקאַטער פּלאַנעווען צו זען אויב עס איז אַ לינעאַרע באַציִונג צווישן די וועריאַבאַלן.
3. רעכענען אויס דעם רעגרעסיע קאעפיציענט: ניצט די קלענסטע קוואדראטן מעטאד צו באשטימען די בעסטע ליניע.
4. טעסטן דעם מאָדעל: טעסטן די באַדייַטיקייט פון די רעגרעסיע קאָעפֿיציענטן מיט אַ ט-טעסט און באַשטימען דעם R-קוואַדראַט ווערט צו זען ווי גוט דער מאָדעל פּאַסט צו די דאַטן.

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

בייַשפּיל קשיא 1: פּשוט לינעאַר רעגרעסיע

פראגע:
א פארשער וויל וויסן די באַציִונג צווישן דער צאָל לערן-שעה (X) און סטודענטן'ס עקזאַמען-רעזולטאַטן (Y). די דאַטן וואָס ער באַקומט זענען ווי פאלגנד:

| לערן שעה (X) | עקזאַמען כעזשבן (Y) |
|——————–|——————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |

מאַכט אַ לינעאַרע רעגרעסיע גלייכונג פֿון די דאַטן!

פֿאַרעפֿנטלעכט:

1. אויסרעכענען דעם דורכשניט:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\באַר{י} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]

2. אויסרעכענען דעם רעגרעסיע קאעפיציענט \(b \):
\[
ב = \frac{\sum(X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum(X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
Σ(X_i – Σ(X})(Y_i – Σ(Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
\sum(X_i – \bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
ב = \frac{80}{26} \aprox 3.08
\]

3. אויסרעכענען דעם אינטערסעפּט \(a \):
\[
a = \bar{Y} – b \bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 × 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]

4. רעגרעסיע גלייכונג:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]

אַזוי, די לינעאַרע רעגרעסיע גלייכונג פֿאַר די דאַטן איז \(Y = 64.6 + 3.08X \). דאָס מיינט אַז יעדע נאָך שעה פון לערנען ווערט ערוואַרטעט צו פאַרגרעסערן די טעסט כעזשבן מיט 3.08 פונקטן.

בייַשפּיל קשיא 2: מאָדעל טעסט און ינטערפּרעטאַציע

פראגע:
ווייטער מיט די זעלבע דאטן, רעכנט אויס דעם R-קוואַדראַט (R²) ווערט צו מעסטן ווי גוט דער מאָדעל פּאַסט צו די דאטן. אויך, פּרובירט די באַדייטונג פון דעם רעגרעסיע קאָעפיציענט \(b \).

פֿאַרעפֿנטלעכט:

1. אויסרעכענען די גאַנצע סומע פון ​​קוואַדראַטן (SST), רעגרעסיע סומע פון ​​קוואַדראַטן (SSR), און טעות סומע פון ​​קוואַדראַטן (SSE):
\[
SST = \sum(Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]

\[
SSR = \sum(\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
וואו \( \hat{Y}_i \) איז דער פאראויסגעזאגטער ווערט פון דער רעגרעסיע גלייכונג:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\האָט {י} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
Y = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]

2. אויסרעכענען SSE:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]

3. אויסרעכענען R-קוואַדראַט:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \aprox 0.6
\]

אן R-קוואַדראַט ווערט פון 0.6 ווייזט אז דאס מאָדעל דערקלערט בערך 60% פון די וואַריאַציע אין די דאַטן. דאָס ווייזט אז די רעגרעסיע ליניע פּאַסט גאַנץ גוט צו די דאַטן.

4. ט-טעסט פֿאַר באַדייַטיקייט פֿון קאָעפֿיציענט \(b \):
\[
ט = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = √SSE/n-2 / √sum(X_i – √X)^2
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = 33.4 / 26 אַפּראָקס 1.13
\]
\[
ט = \frac{3.08}{1.13} \aprox 2.73
\]

מיט אַ t-סטאַטיסטיק פֿון 2.73, אויב מיר ניצן אַ געמיינזאַמען שוועל פֿאַר באַדייטונג (α = 0.05), פֿאַרגלייכן מיר עס מיט דער t-טאַבעלע. למשל, פֿאַר df = 3, איז דער קריטישער t אַפּראָקסימאַטיוו 2.353. דעמאָלט איז t-באַאָבאַכטעט > t-קריטיש, וואָס ווײַזט אָן אַז דער קאָעפֿיציענט איז באַדייטנדיק.

קעסימפּולאַן

אין דעם אַרטיקל, האָבן מיר באַהאַנדלט די גרונטפּרינציפּן פון לינעאַרער רעגרעסיע, ווי צו רעכענען דעם רעגרעסיע קאָעפיציענט און אינטערסעפּשאַן, און ווי צו אינטערפּרעטירן די רעזולטאַטן מיט בייַשפּיל פּראָבלעמען. אָפטע פּראַקטיק מיט פֿאַרשידענע דאַטן סעץ איז וויכטיק צו ווערן באַקאַנט אין ניצן דעם אופֿן. לינעאַרע רעגרעסיע איז אַ ווערטפול געצייַג אין דאַטן אַנאַליז און קען צושטעלן טיפע איינזיכטן אין די באַציִונגען צווישן וועריאַבאַלן.