בייַשפּיל פֿראַגן וועגן עקספּאָנענציעלע וווּקס
עקספּאָנענציעלע וואוקס איז אַ שליסל באַגריף אין פילע פעלדער, אַרייַנגערעכנט עקאָנאָמיק, ביאָלאָגיע, געשעפט און פיזיק. אין וואָכעדיק לעבן טרעפן מיר אָפט סיטואַציעס וואָס אַרייַננעמען עקספּאָנענציעלע וואוקס, אַזאַ ווי מענטשלעכע באַפעלקערונג וואוקס, די דעפּרעסיאַציע פון נאָמינאַל ווערטן רעכט צו ינפלאַציע, די פאַרשפּרייטונג פון ווירוסן און פילע אנדערע. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן פאַרשידענע בייַשפּיל פּראָבלעמען און סאַלושאַנז שייך צו עקספּאָנענציעלע וואוקס, און העלפֿן לייענער בעסער פֿאַרשטיין דעם באַגריף.
גרונטלעכע קאנצעפטן פון עקספּאָנענציעלע וואוקס
עקספּאָנענציעלע וואוקס ווערט דעפינירט ווי וואוקס וואָס פּאַסירט מיט אַ קאָנסטאַנטן קורס פּער איינהייט פון צייט. מאַטעמאַטיש, קען עקספּאָנענציעלע וואוקס ווערן דעפינירט דורך דער גלייכונג:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
וואו:
– \( N(t) \) איז די סומע אין צייט \( t \)
– \(N_0 \) איז די ערשטע נומער
– \(k \) איז די וואוקס ראטע
– \(t \) איז צייט
– \(e \) איז איילער'ס נומער (ארום 2.718)
אויב דער ווערט פון \(k \) איז פאזיטיוו, דאן האבן מיר עקספאנענציאלע וואוקס. פארקערט, אויב \(k \) איז נעגאטיוו, האבן מיר עקספאנענציאלע שרינקונג.
בייַשפּיל קשיא 1: באַפעלקערונג וווּקס
סאָאַל
א שטאָט האט אַן אָנהייב באַפעלקערונג פון 100,000 מענטשן. אויב די שטאָט'ס באַפעלקערונג וואַקסט מיט אַן עקספּאָנענציעלער קורס פון 2% פּער יאָר, וואָס וועט די שטאָט'ס באַפעלקערונג זיין נאָך 10 יאָר?
פּעניעלעסאַיאַן
ערשטנס, דאַרפֿן מיר אידענטיפֿיצירן די באַקאַנטע ווערטן:
– \(N_0 \) = 100,000
– \(k \) = 2% פּער יאָר = 0.02
– \(t \) = 10 יאָר
מיר וועלן ניצן די עקספּאָנענציעלע וווּקס פאָרמולע:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
שטעקט אריין די באקאנטע ווערטן אין דער פארמל:
[N(10) = 100,000 ⋅ e^{0.02 ⋅ 10}]
\[ N(10) = 100,000 ⋅ e^{0.2} \]
דער אומגעפערער ווערט פון \( e^{0.2} \) איז בערך 1.2214.
[N(10) = 100,000 ≈ 1.2214]
\[ N(10) = 122,140 \]
אַזוי, די באַפעלקערונג פון דער שטאָט נאָך 10 יאָר איז אַרום 122,140 מענטשן.
-
בייַשפּיל קשיא 2: ינוועסטמענט ווערט
סאָאַל
איר לייגט אריין $5,000 אין א קאנטע וואס צאלט 5% יערליכע אינטערעסן. וויפיל וועט אייערע שפאר-געלט זיין ווערט נאך 15 יאר?
פּעניעלעסאַיאַן
אידענטיפיצירן ווערטן:
– \(N_0 \) = 5,000
– \(k \) = 5% פּער יאָר = 0.05
– \(t \) = 15 יאָר
ניצן די עקספּאָנענציעלע וווּקס פאָרמולע:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
אַרייַן באַקאַנטע ווערטן:
[N(15) = 5,000 ⋅ e^{0.05 ⋅ 15}]
\[ N(15) = 5,000 ⋅ e^{0.75} \]
די אַפּראָקסימאַציע \( e^{0.75} \) איז אַרום 2.117.
[N(15) = 5,000 ≈ 2.117]
\[ N(15) = 10,585 \]
אַלזאָ, דער ווערט פֿון אייערע שפּאָרונגען נאָך 15 יאָר איז אַרום $10,585.
-
בייַשפּיל 3: קאַר דעפּרעסיאַציע
סאָאַל
דער ווערט פון אַ נייעם $30,000 אויטאָ פאַרקלענערט זיך עקספּאָנענציעל מיט אַ קורס פון 12% פּער יאָר. וויפיל וועט דער אויטאָ זיין ווערט נאָך 5 יאָר?
פּעניעלעסאַיאַן
אידענטיפיצירן ווערטן:
– \(N_0 \) = 30,000
– \(k \) = -12% פּער יאָר = -0.12
– \(t \) = 5 יאָר
ניצן די עקספּאָנענציעלע וווּקס פאָרמולע:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
אַרייַן באַקאַנטע ווערטן:
[N(5) = 30,000 ⋅ e^{-0.12 ⋅ 5}]
\[ N(5) = 30,000 ⋅ e^{-0.6} \]
די אַפּראָקסימאַציע \( e^{-0.6} \) איז אַרום 0.5488.
[N(5) = 30,000 ≈ 0.5488]
\[ N(5) = 16,464 \]
אַלזאָ, דער ווערט פֿון דעם אויטאָ נאָך 5 יאָר איז אַרום $16,464.
-
בייַשפּיל קשיא 4: פאַרשפּרייטונג פון ווירוסן
סאָאַל
א שטעטל מיט אן אנפאנגס-באפעלקערונג פון 200 מענטשן ווערט אנגעשטעקט מיט א ווירוס מיט אן עקספאנענציאלן וואוקס-ראטע פון 15% פער טאג. וואס איז די גאנצע צאל אנגעשטעקטע מענטשן נאך 7 טעג?
פּעניעלעסאַיאַן
אידענטיפיצירן ווערטן:
– \(N_0 \) = 200
– \(k \) = 15% פּער טאָג = 0.15
– \(t \) = 7 טעג
ניצן די עקספּאָנענציעלע וווּקס פאָרמולע:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
אַרייַן באַקאַנטע ווערטן:
[N(7) = 200 ⋅ e^{0.15 ⋅ 7}]
\[ N(7) = 200 ⋅ e^{1.05} \]
די אַפּראָקסימאַציע \( e^{1.05} \) איז אַרום 2.857.
[N(7) = 200 ≈ 2.857]
\[ N(7) = 571.4 \]
אַזוי, די גאַנצע צאָל מענטשן וואָס זענען געוואָרן אינפֿעקטירט נאָך 7 טעג איז אַרום 571 מענטשן.
-
דאָס זענען ביישפילן פון פּראָבלעמען און דיסקוסיעס שייך צו עקספּאָנענציעלן וואוקס. פֿאַרשטיין ווי צו סאָלווען עקספּאָנענציעלן וואוקס פּראָבלעמען קען זיין גאָר נוצלעך אין פֿאַרשידענע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין דער רעאַלער וועלט. מיט גענוג פּראַקטיק, קען מען דעם באַגריף לייכט באַהערשן און אָנווענדן ווי נויטיק.
