בייַשפּיל פֿראַגעס דיסקוטירן די גלייכונג פֿון אַ טאַנגענט ליניע צו אַ קרייז
הקדמה
די גלייכונג פון א טאנגענט צו א קרייז איז א וויכטיגע טעמע אין אנאליטישע געאמעטריע. פארשטיין ווי אזוי צו באשטימען די גלייכונג פון א טאנגענט צו א קרייז קען העלפן לייזן א ברייטע פארשיידנקייט פון מאטעמאטישע פראבלעמען אויף מיטל- ביז פארגעשריטענע לעוועלס. דער ארטיקל וועט דיסקוטירן פארשידענע ביישפיל פראבלעמען און מעטאדן פארן באשטימען די גלייכונג פון א טאנגענט צו א קרייז.
דעפֿיניציע און גרונט־טעאָריע
א קרייז אין דער קאָאָרדינאַט־פלאַך קען געוויינטלעך רעפּרעזענטירט ווערן דורך אַ קוואַדראַטישע גלייכונג:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
וואו \((a, b)\) איז דער צענטערפונקט פון דעם קרייז און \(r\) איז דער ראַדיוס פון דעם קרייז.
א טאנגענט צו א קרייז פון אן אויסערליכן פונקט איז א ליניע וואס רירט דעם קרייז אין פונקט איין פונקט. אויב מיר נעמען אן אז די ליניע האט די גלייכונג:
\[ y = mx + c \]
דעמאָלט קען די באַדינגונג אַז די ליניע \(y = mx + c\) וועט זיין אַ טאַנגענט צום קרייז אויסגעדריקט ווערן אין דער פאלגענדער פֿאָרעם:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
וואו \(m\) איז דער גראַדיענט פון דער טאַנגענט ליניע און \(c\) איז אַ קאָנסטאַנט.
טאַנגענט ליניע גלייכונג פאָרמולע
פֿאַר אַ טאַנגענט צו אַ קרייז מיט צענטער _(0,0)_) און ראַדיוס _(r_), איז זײַן גלייכונג בײַם פּונקט _(x_1, y_1)_) אויף דעם קרייז:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
אבער אויב דער צענטער פון דעם קרייז איז אין פונקט \((a, b)\), דעמאָלט איז די גלייכונג:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיעס
פראגע 1
א קרייז מיטן צענטער ביי \((3, 4)\) און א ראדיוס פון 5 איינהייטן. באשטימט די גלייכונג פון דער טאנגענט ליניע פון דעם פונקט \((6, 8)\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
אין דעם פראבלעם, ווערט אונז געגעבן א קרייז מיט א צענטער פון \((3, 4)\), א ראדיוס פון 5, און מיר מוזן געפינען די גלייכונג פון דער טאנגענט ליניע פון דעם פונקט \((6, 8)\). דא זענען די טריט צו עס לייזן:
1. באַשטעטיק אַז דער פּונקט \((6, 8)\) איז נישט אינעווייניק פֿון קרייז: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
אַזוי דער פּונקט איז אויף דעם קרייז, אַזוי קען מען עס נוצן צו געפֿינען די טאַנגענט ליניע.
2. ניצן די פאָרמולע:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(רענטגענ – 3) + (8 – 4)(י – 4) = 5^2
\]
3. פאַרפּשוטערן די גלייכונג:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. אַנטוויקלען:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y - 25 = 50
\]
די גלייכונג פון דער באקומענער טאנגענט ליניע איז:
\[
3x + 4y = 50
\]
פראגע 2
קרייז מיט גלייכונג \[x^2 + y^2 = 16\]. באַשטימט די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע פֿון דעם פּונקט \((4, 0)\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
א קרייז מיטן צענטער ביי \((0, 0)\) און א ראַדיוס פון 4 איינהייטן. דער געגעבענער אויסערלעכער פונקט איז \((4, 0)\).
1. ניצן די פֿאָרמולע פֿאַר אַ קרייז מיטן צענטער \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. ווערט סובסטיטוציע:
\[
4x + 0 ⋅ y = 4^2
\]
3. פאַרפּשוטערן:
\[
4 קס = 16
\]
\[
רענטגענ = קסנומקס
\]
וואָס מיינט, די טאַנגענט גלייכונג וואָס מיר האָבן איז:
\[
רענטגענ = קסנומקס
\]
פראגע 3
פֿאָרמירט אַ ליניע וואָס איז אַ טאַנגענט צום קרייז \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) בײַם פּונקט \((-1, 5)\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
א קרייז מיטן צענטער ביי \((-2, 3)\) און א ראדיוס פון 3 איינהייטן. דער טאַנגענציע־פונקט איז \((-1, 5)\).
1. באַשטעטיק אַז דער פּונקט ליגט אויף דעם קרייז:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{נישט אויף קרייז}
\]
אזוי, קען זיין א טעות אין די איינגאבע פון די פראגע אדער פונקט. אויב \((-2, 6)\) ווערט געגעבן אלס דער פונקט פון טאנגענץ:
2. פאַרפּשוטערן:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
סובסטיטוציע:
\[
(-2-(-2))(קס+2) + (6-3)(י-3) = 9\]
רעזולטאַט:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
י = 6
עס ווייזט זיך ארויס אז פונקט און פערס.:
y = 6 איז זיכער גילטיק.
מסקנא טשעק קאמבינאציע, מעמערייז, 2 וועגן צו ציילן.
גילטיק/פאַלש..יאָס פּלוס קיצער גאַר. טד 2; פאָרעם וואַלידירן מיט (גריד). פּליס פּערימעטער אַלע קאַווערידזש בטנס.
דאָס איז אַלץ, אַ דאַנק און איך האָף אַז דאָס איז נוצלעך פֿאַר מײַנע פֿרײַנד.
דערצו, לערנט זיך דעם באַגריף פון פארשטארקן פארשטאנד.
די וואָס פריער האָבן נישט פֿאַרשטאַנען, אויב גאָט וויל, וועלן האָבן מער דעטאַלירטע קריטישע כירורגישע טריט.
\[
.פאַקטן(n+x)=qa.\קאָליר{פאַרהיט}-פו.
"
