בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן

בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן

טריגאָנאָמעטריע איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס באַהאַנדלט די באַציִונג צווישן לענג און ווינקלען אין טריאַנגלען. טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציעס שפּילן אַ שליסל ראָלע אין פֿאַרשידענע פֿעלדער ווי אינזשעניריע, פֿיזיק, אַסטראָנאָמיע, און אפילו וואָכעדיק לעבן. דער אַרטיקל וועט איבערקוקן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען צו העלפֿן אײַך פֿאַרשטיין די גרונט קאָנצעפּטן פֿון טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציעס.

טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן אין רעכטע דרייַעקן

לאָמיר אָנהייבן מיט פֿאַרשטיין די גרונטלעכע פּראָפּאָרציעס אין אַ רעכטן דרייַעק. די פּראָפּאָרציעס זענען באַקאַנט ווי סינוס (sin), קאָסינוס (cos), און טאַנגענט (tan). אין אַ רעכטן דרייַעק, זענען דאָ דריי וויכטיקע זייטן וואָס מיר דאַרפֿן צו ידענטיפיצירן:

1. קעגנגעזעצטע זײַט: די זײַט גלייך קעגן איבער דעם ווינקל וואָס מיר באַטראַכטן.
2. שכנותדיקע זייט: די זייט וואָס איז לעבן דעם ווינקל וואָס מיר באַטראַכטן.
3. היפּאָטענוז: די לענגסטע זײַט אין אַ רעכטן דרייַעק קעגן דעם רעכטן ווינקל.

בייַשפּיל קשיא 1

געגעבן אַ רעכטן דרייַעק מיט ווינקל θ, וואו די פאַרקערטע זײַט צו ווינקל θ האט אַ לענג פון 3 איינהייטן, די שכנותדיקע זײַט האט אַ לענג פון 4 איינהייטן, און די היפּאָטענוז האט אַ לענג פון 5 איינהייטן. געפינט די ווערטן פון sin, cos, און tan פון ווינקל θ.

לייזונג:
כדי צו געפֿינען די סינוס, קאָסינוס, און טאַנגענט ווערטן פֿון ווינקל θ, ניצן מיר די גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציע פֿאָרמולעס:

– סינוס (זינד) θ = פראָנט זייַט / ​​היפּאָטענוסע
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]

– קאָסינוס (קאָס) θ = זײַט זײַט / היפּאָטענוז
[\cos θ = \frac{4}{5} \]

– טאַנגענט (טאַן) θ = פראָנט זייט / זייט
[טאן θ = \frac{3}{4} \]

טריגאָנאָמעטרישע באַציִונגען פון אַנדערע ווינקלען

טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן קענען אויך ווערן געווענדט צו אַנדערע ווינקלען אין פֿאַרשידענע טיפּן טריאַנגלען, אַרייַנגערעכנט גלייכזײַטיקע טריאַנגלען און רעגולערע טריאַנגלען. עס איז וויכטיק צו פֿאַרשטיין גרונטלעכע כּללים ווי די סינוס-רעגולאַציע און די קאָסינוס-רעגולאַציע, וואָס גילטן צו טריאַנגלען וואָס זענען נישט רעכטע טריאַנגלען.

בייַשפּיל קשיא 2

געגעבן אַ דרייַעק ABC מיט זייטן a = 7 ס״מ, b = 24 ס״מ, און ווינקל C = 90°. געפינט די לענג פון זייט c און די ווערטן פון ווינקלען A און B.

לייזונג:

זינט ווינקל C איז אַ רעכטער ווינקל, קענען מיר נוצן דעם פּיטהאַגאָראַס טעאָרעם צו געפֿינען די לענג פֿון זײַט c (די היפּאָטענוז):

[c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[c = \sqrt{49 + 576} \]
\[c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]

ווייטער, צו באַשטימען דעם ווערט פון ווינקלען A און B, קענען מיר נוצן גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן.

פֿאַר ווינקל A, ניצן מיר קאָסינוס:
\[ \cos A = \frac{\text{די שכנותדיקע זייט}}{\text{היפּאָטענוזע}} = \frac{24}{25} \]
[A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

פֿאַר ווינקל B, ניצן מיר דעם סינוס:
\[ \sin B = \frac{\text{אווערווערס זייט}}{\text{היפאטענוזע}} = \frac{24}{25} \]
[B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

ווייל אין אַ רעכטן דרייַעק מוז די סומע פון ​​די ווינקלען אַחוץ דעם רעכטן ווינקל זיין 90°:
\[ A + B = 90° \]
\[ א = 90° – ב \]

סינוס הערשן

די סינוס כלל ווערט אויסגעדריקט ווי פאלגנד:

[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

בייַשפּיל קשיא 3

געגעבן אַ דרייַעק מיט זײַט a = 8 ס״מ, זײַט b = 15 ס״מ, און ווינקל C = 60°. געפינט ווינקל A און די לענג פון זײַט c ניצנדיק די סינוס־רעגול.

לייזונג:

ערשטנס, ניצט די רעגל פון סינוסן צו געפינען איינעם פון די אנדערע ווינקלען (למשל, ווינקל A):
[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
[\frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]

מיר דאַרפֿן ערשט אויסרעכענען דעם ווערט פֿון c. ווײַל ווינקל C איז 60°, קענען מיר ניצן די קאָסינוס־רעגל:

[c² = a² + b² – 2ab ∫cos(C)]
[c² = 8² + 15² – 2 ⋅ 8 × 15 × ∫(60°)]
\[c^2 = 64 + 225 – 240 ⋅ 0.5 \]
\[c^2 = 289 – 120 \]
\[c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]

איצט קענען מיר געפֿינען ווינקל A:
[\frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
זינט \(\sin 60° = \sqrt{3}/2\):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
[8 ⋅ קוואדראט־פונקט 3 = 26 ⋅ סינוס א]
[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]

צום סוף, ניצנדיק דעם אומגעקערטן סינוס:
[A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]

קאָסינוס רעגל

די קאָסינוס כלל זאגט:
[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C]

בייַשפּיל קשיא 4

געגעבן אַ דרייַעק מיט זײַט a = 9 ס״מ, זײַט b = 12 ס״מ, און זײַט c = 15 ס״מ. געפינט ווינקל C.

לייזונג:

צו געפינען ווינקל C, ניצן מיר די קאָסינוס כלל:
[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C]
[15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ קאָס C]
\[ 225 = 81 + 144 - 216 \קאָס C \]
\[ 225 = 225 - 216 \קאָס C \]
[0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]

פון דאָ ווייסן מיר אַז ווינקל C איז 90° ווײַל cos 90° = 0.

דאָס זענען עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען צו העלפֿן אײַך פֿאַרשטיין טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציעס. ווײַטערדיקע פּראַקטיק מיט אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון פּראָבלעמען וועט שטאַרק העלפֿן פֿאַרשטאַרקן אײַער פֿאַרשטאַנד פֿון די קאָנצעפּטן. מיר האָפן אַז דער אַרטיקל איז געווען נוצלעך אין אײַער לערנען!