בייַשפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן צולייגן צוויי וועקטאָרן מיטן פּאַראַלעלאָגראַם־מעטאָד

בייַשפּיל קשיא דיסקוטירן די אַדיציע פון ​​צוויי וועקטאָרן ניצן די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָד

וועקטאָר אַדיציע איז אַ וויכטיקער באַגריף אין פיזיק און מאַטעמאַטיק, אָפט געניצט צו באַשרייבן נאַטירלעכע דערשיינונגען און וואָכעדיקע לעבן פּראָבלעמען. עס זענען עטלעכע מעטאָדן פֿאַר אַדיציע צוויי וועקטאָרן, איינער פון וועלכע איז די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָדע. די מעטאָדע איז נישט בלויז אינטואיטיוו, נאָר אויך גיט אַ שטאַרקע וויזואַליזאַציע פון ​​ווי צוויי וועקטאָרן פאַרבינדן זיך צו שאַפֿן אַ רעזולטאַט וועקטאָר. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר קוקן אויף עטלעכע ביישפילן פון וועקטאָר אַדיציע ניצנדיק די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָדע, צוזאַמען מיט זייערע לייזונגען.

וואָס איז אַ וועקטאָר?

איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראבלעמען, דארפן מיר פארשטיין די גרונט-דעפיניציע פון ​​א וועקטאָר. א וועקטאָר איז א קוואַנטיטעט וואָס האט ביידע מאַגניטוד (לענג) און ריכטונג. קלאַסישע ביישפילן פון וועקטאָרן זענען גיכקייט, אַקסעלעראַציע, קראַפט און דיספּלייסמאַנט. א וועקטאָר קען ווערן רעפּרעזענטירט ווי זיינע קאָמפּאָנענטן (i, j, k) אין קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן אָדער ווי זיין לענג און ריכטונג (ווינקל).

פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָד

די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָדע איז איין וועג צו צולייגן צוויי וועקטאָרן. אין דעם מעטאָדע, רעפּרעזענטירן מיר צוויי וועקטאָרן ווי צוויי זייטן פון אַ פּאַראַלעלאָגראַם. דער רעזולטאַט וועקטאָר איז די דיאַגאָנאַל פון דעם פּאַראַלעלאָגראַם אָנהייבנדיק פון דעם אָנהייבפּונקט פון די צוויי וועקטאָרן. מאַטעמאַטיש, אויב מיר האָבן צוויי וועקטאָרן \(\vec{A}\) און \(\vec{B}\), איז דער רעזולטאַט \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).

די שריט-ביי-שריט מעטאָדע פֿאַר ניצן די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָדע איז ווי גייט:
1. צייכנט דעם וועקטאָר \(\vec{A}\) פֿון דעם אָנהייבפּונקט.
2. פֿון דעם סוף פֿון וועקטאָר \(\vec{A}\), צייכנט דעם וועקטאָר \(\vec{B}\).
3. צייכנט אַ ליניע פּאַראַלעל צום וועקטאָר \(\vec{B}\) פֿון דעם אָנהייבפּונקט \(\vec{A}\).
4. צייכנט אַ ליניע פּאַראַלעל צו וועקטאָר \(\vec{A}\) פֿון דעם סוף פֿון וועקטאָר \(\vec{B}\).
5. צייכנט אַ דיאַגאָנאַל פֿון דעם אָנהייב־פּונקט צום אַנדערן ווינקל כּדי צו באַקומען דעם רעזולטאַט־וועקטאָר \(\vec{R}\).

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

פראגע 1

לאָמיר זאָגן מיר האָבן צוויי וועקטאָרן \(\vec{A}\) און \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) האט אַ לענג (מאַגניטוד) פון 5 איינהייטן און אַ ריכטונג פון 0° (אָדער צוזאמען די positive x-אַקס),
– \(\vec{B}\) האט אַ לענג פון 3 איינהייטן און אַ ריכטונג פון 90° (אָדער צוזאמען די positive y-אַקס).

וואָס איז דער רעזולטאַט ווערט פון צולייגן די צוויי וועקטאָרן ניצנדיק די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָדע?

פֿאַרעפֿנטלעכט:

1. צייכנט דעם וועקטאָר \(\vec{A}\) אויף דער פּאָזיטיווער x-אַקס מיט אַ לענג פֿון 5 איינהייטן.
2. פֿון דעם סוף פֿון וועקטאָר \(\vec{A}\), צייכנט דעם וועקטאָר \(\vec{B}\) אויף דער פּאָזיטיווער y-אַקס מיט אַ לענג פֿון 3 איינהייטן.
3. פֿון דעם אָנהייבפּונקט \(\vec{A}\), צייכנט אַ ליניע פּאַראַלעל צו \(\vec{B}\).
4. פֿון דעם סוף פֿון \(\vec{B}\), צייכנט אַ ליניע פּאַראַלעל צו \(\vec{A}\).
5. דער רעזולטאַט איז אַ פּאַראַלעלאָגראַם מיט אַ דיאַגאָנאַל וואָס איז דער רעזולטאַט וועקטאָר \(\vec{R}\).

זינט \(\vec{A}\) און \(\vec{B}\) זענען פּערפּענדיקולאַר צו יעדן אַנדערן, קענען מיר נוצן דעם פּיטהאַגאָראַס טעאָרעם צו רעכענען די לענג פון דעם רעזולטאַט וועקטאָר:

[R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \aprox 5.83 \]

די ריכטונג פון דעם רעזולטאנטן וועקטאָר קען אויסגערעכנט ווערן ניצנדיק טריגאָנאָמעטריע. אויב θ איז דער ווינקל צווישן דעם רעזולטאנט און θ):

[טאן(טהעטאַ) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]

אַזוי:

[טהעטאַ = טאַן^{-1}(פֿראַק{3}{5}רעכטס) אַפּראָקס. 30.96^צירק]

אזוי, דער רעזולטירנדיקער וועקטאָר \(\vec{R}\) האט א מאַגניטוד פון בערך 5.83 איינהייטן און א ריכטונג פון בערך 30.96° פון \(\vec{A}\).

פראגע 2

צוויי וועקטאָרן \(\vec{C}\) און \(\vec{D}\) ווערן געגעבן ווי פאלגנד:
– \(\vec{C}\) מיט אַ לענג פֿון 4 איינהייטן און אַ ריכטונג פֿון 45°.
– \(\vec{D}\) מיט אַ לענג פֿון 6 איינהייטן און אַ ריכטונג פֿון 120°.

באַשטימט דעם רעזולטאַט וועקטאָר \(\vec{R}\) פֿון דער אַדיציע פֿון די צוויי וועקטאָרן.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

צו צולייגן צוויי וועקטאָרן וואָס זענען נישט פּערפּענדיקולאַר צו יעדן אַנדערן אָדער אין פֿאַרשידענע פֿאָרמען, קענט איר נוצן קאַרטעזישע קאָמפּאָנענטן.

1. צעטייל \(\vec{C}\) און \(\vec{D}\) אין x און y קאָמפּאָנענטן.

פֿאַר \(\vec{C}\):
[C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]

פֿאַר \(\vec{D}\):
[D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 ⋅(-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 ⋅ \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]

2. צולייגן די x און y קאָמפּאָנענטן פון ביידע וועקטאָרן:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]

3. רעכנט אויס די מאַגניטוד און ריכטונג פון דעם רעזולטאַט וועקטאָר \(\vec{R}\):
[R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \aprox 8.03 \]

[טהעטאַ = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \aprox \tan^{-1}(-47.24) \]

זינט דער רעזולטאַט איז נעגאַטיוו, לייגן מיר צו 180° צו באַקומען דעם ווינקל אין דער ריכטיקער קוואַדראַנט סיסטעם:
[ θικονονονον (-1) (47.24) + 180°C θικον ...

אַלזאָ, דער רעזולטאַט וועקטאָר \(\vec{R}\) האט אַ מאַגניטוד פון בערך 8.03 איינהייטן און אַ ריכטונג פון בערך 271.93°, אָדער מיר קענען זאָגן בערך 91.93° פון דער נעגאַטיווער x-אַקס אין דעם פערטן קוואַדראַנט.

קלאָוזינג

די פּאַראַלעלאָגראַם מעטאָדע איז אַן עפעקטיווער און וויזועלער וועג צו צולייגן צוויי וועקטאָרן. כאָטש די מעטאָדע קען אויסזען פּשוט פֿאַר פּשוטע וועקטאָרן, איז וויכטיק צו פֿאַרשטיין אַז פֿאַר מער קאָמפּליצירטע וועקטאָרן דאַרפֿן מיר אָפֿט נוצן קאַרטעזישע קאָמפּאָנענטן און מער אַוואַנסירטע אַלגעברײַשע טעכניקן צו באַקומען גענויע רעזולטאַטן. האָפֿנטלעך, די ביישפּילן אויבן געבן אַ קלאָר בילד פֿון ווי די מעטאָדע קען ווערן געווענדט אין פֿאַרשידענע סיטואַציעס.