בייַשפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן וועקטאָר־סוטראַקציע

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון וועקטאָר סובטראַקציע

הקדמה

אין מאטעמאטיק און פיזיק, זענען וועקטאָרן אַ יסודותדיקער באַגריף וואָס ווערט גענוצט צו דערקלערן פילע נאַטירלעכע און אינזשענירישע דערשיינונגען. א וועקטאָר איז אַ קוואַנטיטעט וואָס האט ביידע גרייס און ריכטונג. עטלעכע וויכטיקע ביישפילן פון וועקטאָרן זענען דיספּלייסמאַנט, גיכקייט, אַקסעלעראַציע און קראַפט. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן וועקטאָר סובטראַקציע, כאָטש דעם טעמע ווערט אָפט באַטאָנט אין דעם קאָנטעקסט פון וועקטאָר קאָמבינאַציע.

וועקטאָר סובטראַקציע איז אַ פונדאַמענטאַלע אָפּעראַציע וואָס איז קריטיש אין וועקטאָר אַנאַליז. כּדי צו פֿאַרטיפֿן זיך טיפֿער אין דעם באַגריף, לאָמיר איבערקוקן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס פֿאַרבונדן מיט וועקטאָר סובטראַקציע.

וועקטאָר סובטראַקציע

די וועקטאָר סובטראַקציע {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} איז דעפינירט ווי די אָפּעראַציע פון ​​צולייגן דעם וועקטאָר {\displaystyle \mathbf{A}} מיטן וועקטאָר {\displaystyle -\mathbf{B}}, וואו {\displaystyle -\mathbf{B}} איז אַ וועקטאָר מיט דער זעלבער מאַגניטוד ווי {\displaystyle \mathbf{B}} אָבער מיט דער פאַרקערטער ריכטונג. מאַטעמאַטיש, קען דאָס געשריבן ווערן ווי:

{\displaystyle \mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{א} + (-\mathbf{ב})}

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

פראגע 1: אפציען צוויי-דימענסיאנעלע וועקטאָרן

לאָמיר זאָגן אַז עס זענען דאָ צוויי וועקטאָרן אין קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן:
‏\ ...

פֿאַרעפֿנטלעכט:

דער ערשטער שריט איז צו געפינען דעם נעגאַטיוון וועקטאָר פון {\displaystyle \mathbf{B}}, נעמליך:

B = (-1, -2)

דערנאך, לייג צו דעם וועקטאָר {\displaystyle \mathbf{A}} מיט {\displaystyle -\mathbf{B}}:

{\displaystyle \mathbf{א} - \mathbf{ב} = (4, 3) + (-1, -2)}

דורכפירן וועקטאָר אַדיציע דורך צולייגן יעדן x און y קאָמפּאָנענט:

{\displaystyle \mathbf{א} - \mathbf{ב} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{א} - \mathbf{ב} = (3, 1)}

אַלזאָ, דער רעזולטאַט פֿון אַראָפּרעכענען די וועקטאָרן A – B איז דער וועקטאָר (3, 1).

פראגע 2: אפציען דריי-דימענסיאנעלע וועקטאָרן

געגעבן צוויי וועקטאָרן אין דריי-דימענסיאָנאַלע קאָאָרדינאַטן:
‏\\P = (2, -4, 6)} און ‏\\Q = (-3, 5, 7)}. רעכנט אויס ‏\\P – ‏\\Q}.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

דער ערשטער שריט איז צו געפינען דעם נעגאַטיוון וועקטאָר פֿון {\displaystyle \mathbf{Q}}:

{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}

דערנאך, לייג צו דעם וועקטאָר {\displaystyle \mathbf{P}} מיט {\displaystyle -\mathbf{Q}}:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

דורכפירן וועקטאָר אַדיציע דורך צולייגן יעדן x, y, און z קאָמפּאָנענט:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} - \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

אַלזאָ, דער רעזולטאַט פֿון אַראָפּרעכענען די וועקטאָרן P – Q איז דער וועקטאָר (5, -9, -1).

פראגע 3: וועקטאָר סובטראַקציע אין דער קאָמפּלעקסער פלאַך

לאָמיר זאָגן אַז עס זענען דאָ צוויי וועקטאָרן רעפּרעזענטירט דורך קאָמפּלעקסע נומערן:
‏M = 3 + 4i און N = 1 + 2i. רעכנט אויס M – N.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

דער ערשטער שריט איז צו געפינען דעם נעגאַטיוון וועקטאָר פון {\displaystyle \mathbf{N}}:

{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2י}

דערנאך, לייג צו דעם וועקטאָר {\displaystyle \mathbf{M}} מיט {\displaystyle -\mathbf{N}}:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 - 2i)}

דורכפירן וועקטאָר אַדיציע דורך צולייגן יעדן רעאַלן און ימאַדזשינערן קאָמפּאָנענט:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4י + (-2י))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

אַלזאָ, דער רעזולטאַט פֿון אַראָפּרעכענען די וועקטאָרן {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} איז די קאָמפּלעקסע נומער 2 + 2i.

פראגע 4: וועקטאָר סובטראַקציע אין פּאָלאַר קאָאָרדינאַט סיסטעם

לאָמיר זאָגן אַז עס זענען דאָ צוויי וועקטאָרן אין פּאָלאַרע קאָאָרדינאַטן:
האט אַ מאַגניטוד פון 5 און אַ ווינקל פון 30°,
און V האט אַ מאַגניטוד פון 3 און אַ ווינקל פון 150°.
רעכנט אויס U – V.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

דער ערשטער שריט איז צו פארוואנדלען די וועקטאָרן {\displaystyle \mathbf{U}} און {\displaystyle \mathbf{V}} צו קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן.
פֿאַר {\displaystyle \mathbf{U}}:
U_x = 5 γ(30^π) = 5 (γ(3/2) = 5 γ 0.866 = 4.33
U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

אַזוי אין קאַרטעזיש איז (4.33, 2.5).

פֿאַר {\displaystyle \mathbf{V}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

אַזוי V אין קאַרטעזיש איז (-2.598, 1.5).

דער נעקסטער שריט, רעכענען אויס די וועקטאָר סובטראַקציע אין קאַרטעזיש:

\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

וואָס מיינט דורך צולייגן דעם נעגאַטיוו פֿון וועקטאָר:

\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}

U – V = (6.928, 1)

אַלזאָ, דער רעזולטאַט פון אַראָפּרעכענען דעם וועקטאָר {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} אין קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן איז (6.928, 1).

קעסימפּולאַן

וועקטאָר סובטראַקציע איז אַ וויכטיקע מאַטעמאַטישע אָפּעראַציע אין פילע פעלדער וואָס נוצן וועקטאָר אַנאַליז. צי אין צוויי-דימענסיאָנאַלע, דריי-דימענסיאָנאַלע, קאָמפּלעקסע אָדער פּאָליאַרע קאָאָרדינאַט סיסטעמען, בלייבט דער גרונטפּרינציפּ דער זעלביקער: צולייגן איין וועקטאָר צום נעגאַטיוו פון אַן אַנדערן. די ביישפילן אויבן אילוסטרירן פאַרשידענע וועגן צו צולייגן די אָפּעראַציע אין פאַרשידענע קאָנטעקסטן, און העלפֿן אונדז פֿאַרשטיין דעם באַגריף טיפֿער און פּראַקטישער.