בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די אַפּליקאַציע פֿון אינטעגראַלן אין דעם פֿעלד פֿון עקאָנאָמיק און געשעפֿט
הקדמה
אינטעגראלן זענען א שליסל קאנצעפט אין קאלקולוס און האבן אסאך אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער, אריינגערעכנט עקאנאמיק און ביזנעס. אין דעם קאנטעקסט ווערן אינטעגראלן אפט גענוצט צו אנאליזירן גאנצן פראפיט, קאסטן, איינקונפט, און קאנסומאציע און פראדוקציע פונקציעס. פארשטיין די אנווענדונג פון אינטעגראלן אין עקאנאמיק און ביזנעס העלפט נישט נאר לייזן טעכנישע פראבלעמען נאר גיט אויך טיפערע איינזיכטן אין מארקעט דינאמיק, באשלוס-מאכן, און סטראטעגישע פלאנירונג.
אינטעגראלע אַפּליקאַציעס אין עקאָנאָמיק און געשעפט
1. רעכענען אויס דעם גאַנצן איינקונפט
כדי צו רעכענען די גאַנצע איינקונפט, דאַרפן מיר אָפט צוזאַמענרעכענען די קליינע איינקונפטן וואָס מיר באַקומען פון דעם פארקויף פון יחידישע איינהייטן פון אַ פּראָדוקט. אויב דער פּרייז פון אַ פּראָדוקט ווערייִרט לויט דער פאַרקויפטער קוואַנטיטעט, מוז מען אינטעגרירן די פּרייז-קוואַנטיטעט פונקציע כדי צו באַשטימען די גאַנצע איינקונפט.
פראבלעמען ביישפיל:
לאָמיר זאָגן אַז דער פּרייַז \(p \) פֿון אַ פּראָדוקט איז אָפּהענגיק פֿון דער קוואַנטיטעט פֿון דעם פֿאַרקויפֿטן פּראָדוקט \(q \), וואָס ווערט געגעבן דורך דער פֿאָלגנדיקער פֿונקציע:
\[ p(q) = 100 – 2q \]
רעכנט אויס די גאַנצע איינקונפט אויב 10 איינהייטן סחורה ווערן פארקויפט.
לייזונג:
גאַנץ איינקונפט \(R \) איז דער אינטעגראַל פון פּרייַז איבער קוואַנטיטעט ריינדזשינג פון 0 ביז \(Q \) וניץ.
[R = \int_{0}^{Q} p(q) \, dq \]
מיט \(p(q) = 100 – 2q \) און \(Q = 10 \):
[R = \int_{0}^{10} (100 – 2q) \, dq \]
אַזוי, מיר רעכענען דעם אינטעגראַל:
\[ R = \[ 100q – q^2 \רעכטס]_{0}^{10} \]
אָפּשאַצן די גרענעצן פון די אינטעגראַל:
[R = (100 × 10 – 10²) – (100 × 0 – 0²)]
\[ = 1000 – 100 \]
\[ = 900 \]
אַלזאָ, די גאַנצע הכנסה אויב מען פארקויפט 10 סחורות איז 900.
2. רעכענען אויס די גאַנצע קאָסטן
די נוצן פון אינטעגראלן אין רעכענען גאַנץ פּראָדוקציע קאָסטן איז זייער נוצלעך, ספּעציעל ווען מאַרדזשינאַל קאָסטן זענען נישט קאָנסטאַנט און אָפענגען אויף די פּראָדוצירטע קוואַנטיטעט. מאַרדזשינאַל קאָסטן קענען זיין באַשריבן ווי די דעריוואַט פון גאַנץ קאָסטן, און צו געפֿינען גאַנץ קאָסטן דאַרפֿן מיר אינטעגרירן.
פראבלעמען ביישפיל:
אויב די מאַרדזשינאַלע קאָסטן \(MC \) פֿאַר פּראָדוצירן \(q \) איינהייטן פֿון אַ פּראָדוקט ווערט געגעבן דורך:
\[ MC(q) = 50 + 3q^2 \]
רעכנט אויס די גאַנצע קאָסטן אויב 5 איינהייטן פון סחורה ווערן פּראָדוצירט, אַננעמענדיג פעסטע קאָסטן \(C \) פון 200.
לייזונג:
גאַנץ קאָסטן \(TC \) איז דער אינטעגראַל פון מאַרדזשינאַל קאָסטן פּלוס פיקסירטע קאָסטן:
[ TC = \int_{0}^{Q} MC(q) \, dq + C \]
מיט \(MC(q) = 50 + 3q^2 \) און \(Q = 5 \):
\[ TC = \int_{0}^{5} (50 + 3q^2) \, dq + 200 \]
מיר רעכענען דעם אינטעגראל:
\[ TC = \[ 50q + q^3 \רעכטס]_{0}^{5} + 200 \]
אָפּשאַצן די גרענעצן פון די אינטעגראַל:
[TC = (50 ⋅ 5 + 5^3) – (50 ⋅ 0 + 0^3) + 200]
\[ = (250 + 125 רעכטס) + 200 \]
\[ = 375 + 200 \]
\[ = 575 \]
אַזוי, די גאַנצע קאָסטן צו פּראָדוצירן 5 איינהייטן פון סחורה איז 575.
3. אויסרעכענען רעסורסן קאנסומאציע
אינטעגראלן ווערן אויך גענוצט צו רעכענען דעם גאנצן פארברויך אדער באניץ פון א רעסורס איבער א געגעבענער צייט-פעריאד. דאס איז ספעציעל רעלאוואנט אין ביזנעס קאנטעקסטן וואס האבן צו טון מיט רעסורסן ווי ענערגיע, מאטעריאלן אדער מענטשן.
פראבלעמען ביישפיל:
די טעגלעכע ענערגיע קאנסומאציע ראטע \(E \) אין א פאבריק גייט נאך די פאלגנדע עקספאנענציעלע פונקציע:
\[ E(t) = 10e^{0.1t} \]
רעכנט אויס דעם גאַנצן ענערגיע קאָנסומאַציע פֿאַר 10 טעג.
לייזונג:
דער גאַנצער ענערגיע קאָנסומפּציע \(C \) איבער דער צייט [0, T] איז דער אינטעגראַל פון יענע ענערגיע קאָנסומפּציע ראַטעס:
\[ C = \int_{0}^{T} E(t) \, dt \]
מיט \(E(t) = 10e^{0.1t} \) און \(T = 10 \):
\[ C = \int_{0}^{10} 10e^{0.1t} \, dt \]
צו רעכענען דעם אינטעגראל, קענען מיר ניצן די סובסטיטוציע טעכניק:
זאָל u = 0.1t, דעמאָלט (du = 0.1, dt), אדער (dt = \frac{du}{0.1}),
\[ C = \int_{0}^{1} 10e^{u} \frac{du}{0.1} \]
\[ = 100 \ינט_{0}^{1} ע^{ו} \, דו \]
\[ = 100 \left[e^{u} \right]_{0}^{1} \]
אָפּשאַצן די גרענעצן פון די אינטעגראַל:
\[ C = 100 \left( e^{1} – e^{0} \right) \]
\[ = 100 \לינקס( e – 1 \רעכטס) \]
מיט (e = אומגעפער 2.718):
\[ C \אומגעפער 100 (2.718 – 1) \]
\[ = 100 \מאל 1.718 \]
\[ = 171.8 \]
אַזוי, די גאַנצע ענערגיע קאַנסאַמשאַן פֿאַר 10 טעג איז 171.8 וניץ פון ענערגיע.
קעסימפּולאַן
דער באַגריף פֿון אינטעגראַלן איז קריטיש אין עקאָנאָמיק און געשעפֿט, ווײַל עס דערמעגלעכט אַנאַליסטן און באַשלוס-נעמער צו רעכענען און פֿאָרויסזאָגן וויכטיקע וועריאַבלען ווי הכנסות, קאָסטן און קאָנסומאַציע. פֿאַרשטיין ווי צו נוצן אינטעגראַלן אין די פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן קען צושטעלן אַ קאָנקורענץ-פֿאָרטייל און אַ בעסערן אײַנבליק אין געשעפֿטלעכע אָפּעראַציעס. האָפֿנטלעך וועלן די בײַשפּיל פּראָבלעמען אײַך העלפֿן פֿאַרשטיין די פּראַקטישע אַפּליקאַציעס פֿון אינטעגראַלן אין עקאָנאָמיק און געשעפֿט.
