בייַשפּיל פֿראַגן וואָס דיסקוטירן עקספּאָנענציעלע פֿאַרפוילן

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון עקספּאָנענציעלער פֿאַרפֿאַל

עקספּאָנענציעלע פאַרפוילן איז אַ נאַטירלעכע דערשיינונג געפֿונען אין פֿאַרשידענע דיסציפּלינעס ווי פֿיזיק, כעמיע, ביאָלאָגיע און עקאָנאָמיק. אַלס אַ מאַטעמאַטיש מאָדעל, באַשרײַבט עקספּאָנענציעלע פאַרפוילן דעם פּראָצעס דורך וועלכן אַ געגעבענע קוואַנטיטעט פֿאַרקלענערט זיך פּראָפּאָרציאָנעל צו איר איצטיקער קוואַנטיטעט. אין מאַטעמאַטיק פֿאָלגט עקספּאָנענציעלע פאַרפוילן די אַלגעמיינע פֿאָרעם:

\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

די מאנא:
– \( N(t) \) איז די סומע וואָס איז געבליבן אין צייט \(t \),
– \(N_0 \) איז די ערשטע נומער,
– \( \lambda \) איז די פאַרפוילן קאָנסטאַנט (אָפט גערופן די פאַרפוילן קורס),
– \(t \) איז צייט,
– \(e \) איז די באַזע פֿון דעם נאַטירלעכן לאָגאַריטם (אומגעפער 2.718).

אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע ביישפילן פון עקספּאָנענציעלע פאַרפוילן פּראָבלעמען צוזאַמען מיט זייערע לייזונגען צו העלפן פֿאַרשטיין דעם באַגריף טיפֿער.

בייַשפּיל קשיא 1: ראַדיאָאַקטיוו פאַרפוילן

פראגע:
א ראַדיאָאַקטיווע סובסטאַנץ האט אַ האַלב-לעבן פון 5 יאָר. אויב עס זענען געווען אָנהייב 100 גראַם פון דער סובסטאַנץ, ווי פיל וואָלט זיין איבערגעבליבן נאָך 15 יאָר?

פֿאַרעפֿנטלעכט:
ראַדיאָאַקטיווער פאַרפויל קען מאָדעלירט ווערן מיט דער עקספּאָנענציעלער פאַרפויל פאָרמולע. די האַלב-לעבן (\(t_{1/2} \)) איז די צייט וואָס איז נויטיק פֿאַר האַלב פון דער סומע ראַדיאָאַקטיוו מאַטעריאַל צו פאַרפוילן. עס איז באַקאַנט אַז \(t_{1/2} = 5 \) יאָר.

ערשט דאַרפֿן מיר געפֿינען די פֿאַרפוילונג קאָנסטאַנטע \( \lambda \) מיט דער פֿאָרמל:
\[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
[ \lambda = \frac{\ln2}{5} \approx 0.1386 \text{ יאָר}^{-1} \]

אזוי, די עקספּאָנענציעלע פאַרפוילן פאָרמולע איז:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \× 15} \]

איצט, מיר רעכענען דעם ווערט:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \מאל 0.125 \]
\[ N(t) \approx 12.5 \text{ גראַם} \]

אַזוי, נאָך 15 יאָר, בלייבט איבער אַרום 12.5 גראַם ראַדיאָאַקטיוו מאַטעריאַל.

בייַשפּיל 2: קאַפּאַסיטאָר פאַרפוילן

פראגע:
א קאַפּאַסיטאָר מיט אַן אָנהייב־לאָדונג (Q_0 = 200 \text{C} \) ווערט ערלויבט זיך אויסצולאָדן אין אַ קרייז. די צייט־קאָנסטאַנט איז ( \tau = 4 \text{s} \). וויפֿל לאָדונג בלייבט נאָך 10 סעקונדעס?

פֿאַרעפֿנטלעכט:
אין פאַל פון קאַפּאַסיטאָר טשאַרדזש דיקיי, איז דער עקספּאָנענציעלער מאָדעל געניצט:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/τ} \]

געגעבן (Q(0) = 200 C) און (tau = 4 s). מיר דאַרפן געפֿינען (Q(10)):
\[ ק(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ ק(10) = 200 e^{-2.5} \]

אויסרעכענען עקספּאָנענציעלע ווערטן:
\[ Q(10) = 200 \× 0.0821 \]
\[ ק(10) \אומגעפער 16.42 \טעקסט{ C} \]

אַלזאָ, נאָך 10 סעקונדעס, איז די פֿאַרבליבענע אָפּצאָל אויף דעם קאַפּאַסיטאָר בערך 16.42 צעלזיוס.

בייַשפּיל קשיא 3: כעמישער פאַרפוילן

פראגע:
אַ כעמישע מאַטעריאַל האָט אַ פאַרפוילן קאָנסטאַנט פֿון (\lambda = 0.05 \text{ טעג}^{-1} \). ווי לאַנג וועט עס נעמען פֿאַר דער כעמישע מאַטעריאַל צו פֿאַרקלענערן זיך צו 25% פֿון איר אָריגינעלער מאָס?

פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר הייבן אָן מיט דער אַלגעמיינער פֿאָרמולע פֿאַר עקספּאָנענציעלער פֿאַרקלענערונג:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

מיר ווילן אַז N(t) זאָל זײַן 25% פֿון \( N_0 \), אַזוי אַז:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]

עלימינירן \(N_0 \) פון ביידע זייטן:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]

ניצן נאַטירלעכע לאָגאַריטמען צו סאָלווען עקספּאָנענציעלע פאַלן:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 ט \]

לייזן פֿאַר \(t \):
\[t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ ט \אומגעפער 27.726 \טעקסט{ טעג} \]

אַלזאָ, די צייט וואָס עס נעמט פֿאַר דער כעמישע מאַטעריאַל צו רעדוצירן זיך צו 25% פֿון איר אָנהייבנדיקער מאָס איז אַרום 27.726 טעג.

בייַשפּיל קשיא 4: באַקטיריעל פּאָפּולאַציע פאַרפוילן

פראגע:
א באַקטיריעלע פּאָפּולאַציע פאַרקלענערט זיך מיט אַן עקספּאָנענציעלער טעמפּאָ אַזוי אַז נאָך 3 שעה איז די פּאָפּולאַציע האַלב פון איר אָנהייב־צאָל. אויב די אָנהייב־פּאָפּולאַציע איז געווען 8000 באַקטיריעס, ווי פיל באַקטיריעס בלייבן איבער נאָך 9 שעה?

פֿאַרעפֿנטלעכט:
מען ווייסט אז די האַלב-לעבן \(t_{1/2} = 3 \) שעה. ערשטנס געפינען מיר די פאַרפוילן קאָנסטאַנט \(\lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln2}{3} \approx 0.231 \text{ שעה}^{-1} \]

דערנאך ניצן מיר די עקספּאָנענציעלע פאַרפוילן פאָרמולע:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \× 9} \]

אויסרעכענען עקספּאָנענציעלע ווערטן:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 \מאל 0.125 \]
\[ N(9) \אומגעפער 1000 \]

אַזוי, נאָך 9 שעה, וועלן בלייבן אַרום 1000 באַקטעריעס.

קעסימפּולאַן

דער עקספּאָנענציעלער פאַרפויל מאָדעל גיט אַן עפעקטיוון צוגאַנג צו סאָלווען פּראָבלעמען פֿאַרבונדן מיט פאַרפויל פּראָצעסן אין אַ פאַרשיידנקייט פון וויסנשאַפֿטלעכע און אינזשעניריע אַפּלאַקיישאַנז. דורך פֿאַרשטיין גרונטלעכע קאָנצעפּטן ווי פאַרפויל קאָנסטאַנטן, האַלב-לעבן, און די נוצן פון עקספּאָנענציעלע פאָרמולעס, קענען מיר רעכענען די ענדערונג אין אַ קוואַנטיטעט איבער צייט מיט רעלאַטיוו גרינגקייט. די פּראַקטיק פּראָבלעמען דיסקוטירט אויבן זאָל העלפֿן אונדז פֿאַרשטיין און צולייגן דעם קאָנצעפּט פון עקספּאָנענציעלער פאַרפויל צו מער קאָמפּליצירטע סיטואַציעס.