ביישפילן פון פראגעס און דיסקוסיעס וועגן אפעראציעס אויף קאמפלעקסע נומערן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ פֿאַרברייטערונג פֿון דעם באַגריף פֿון רעאַלע נומערן צו אַרייננעמען אימאַגינערע נומערן. די אַלגעמיינע פֿאָרעם פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער איז a + bi, וואו a און b זענען רעאַלע נומערן, און i איז אַן אימאַגינערע איינהייט מיט דער אייגנשאַפֿט i² = -1. אָפּעראַציעס אויף קאָמפּלעקסע נומערן אַרייננעמען אַדיציע, סובטראַקציע, טאַפּליקאַציע און דיוויזיע. דער אַרטיקל וועט צושטעלן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס פֿאַר פֿאַרשידענע אָפּעראַציעס אויף קאָמפּלעקסע נומערן.
צוגאב און סובטראקציע פון קאמפלעקסע נומערן
בייַשפּיל קשיא 1
לייג צו די פאלגענדע קאָמפּלעקסע נומערן: (3 + 4i) און (1 + 2i).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
צולייגן קאָמפּלעקסע נומערן ווערט געטאָן דורך צולייגן זייערע רעאַלע און אימאַגינערע טיילן באַזונדער.
\[ (3 + 4י) + (1 + 2י) = (3 + 1) + (4י + 2י) = 4 + 6י \]
אַלזאָ, דער רעזולטאַט פון צולייגן (3 + 4i) און (1 + 2i) איז 4 + 6i.
בייַשפּיל קשיא 2
נעמט אַראָפּ די קאָמפּלעקסע נומער (2 + 5i) פֿון (6 + 3i).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
סובטראקציע פון קאמפלעקסע נומערן ווערט געטאן דורך סובטראקירן דעם רעאלן טייל און דעם אימאגינערן טייל באזונדער.
\[ (6 + 3י) - (2 + 5י) = (6 - 2) + (3י - 5י) = 4 - 2י \]
אַלזאָ, דער רעזולטאַט פֿון אַראָפּרעכענען (2 + 5i) פֿון (6 + 3i) איז 4 – 2i.
מולטיפּליקאַציע פון קאָמפּלעקסע נומערן
בייַשפּיל קשיא 3
טאפלט די פאלגנדע קאמפלעקסע נומערן: (2 + 3i) און (4 + i).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מאַלטיפּליקירן קאָמפּלעקסע נומערן ווערט געטאָן ניצנדיק פאַרשפּרייטונגען אָדער פֿאָרמעלע אַראַנזשירונגען, ענלעך צו מאַלטיפּליקירן צוויי בינאָמיאַלן אין געוויינטלעכער אַלגעברע.
\[
(2 + 3i) ⋅ (4 + i) = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ i + 3i ⋅ 4 + 3i ⋅ i
\]
דעמאָלט רעכענען מיר אויס אין דעטאַל:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
זינט \( i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
אַלזאָ, דער רעזולטאַט פֿון טאַפּלען (2 + 3i) און (4 + i) איז 5 + 14i.
דיוויזיע פון קאָמפּלעקסע נומערן
בייַשפּיל קשיא 4
טייל די פאלגנדע קאמפלעקסע נומער: (5 + 6i) דורך (2 + i).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דיוויזיע פון קאמפלעקסע נומערן ניצנדיק דעם קאניוגאט פונעם נענער. דער קאניוגאט פון \(2 + i\) איז \(2 – i\).
מיר טאפלען דעם ציילער און נענער מיטן קאניוגאט פון די נענערס:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
איצט רעכענען מיר אויס דעם ציילער און נענער באַזונדער:
\[
= \frac{(5 + 6i) ⋅ (2 – i)}{(2 + i) ⋅ (2 – i)}
\]
מאַלטיפּליקאַציע פון נענערס:
\[
(2 + i) ⋅ (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
מאַלטיפּליקאַציע פון די ציילער:
\[
(5 + 6i) ⋅ (2 – i) = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ (-i) + 6i ⋅ 2 + 6i ⋅ (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
אַזוי, די חילוק איז:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
אַזוי דער רעזולטאַט פון צעטיילן (5 + 6i) דורך (2 + i) איז 3.2 + 1.4i.
עקסטרע דיסקוסיע: מאָדולוס און קאָניוגאַט פון קאָמפּלעקסע נומערן
בייַשפּיל קשיא 5
געפינט דעם מאָדולוס און קאָניוגאַט פֿון דער קאָמפּלעקסער נומער \(z = 3 + 4i\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער מאָדולוס פֿון דער קאָמפּלעקסער צאָל \(z = a + bi\) איז:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
פֿאַר \(z = 3 + 4i\):
\[
|z| = √3^2 + 4^2 = √9 + 16 = √25 = 5
\]
דער קאָניוגאַט פֿון דער קאָמפּלעקסער נומער \(z = a + bi\) איז \(z^ = a – bi\).
פֿאַר \(z = 3 + 4i\):
\[
ז^ = 3 – 4i
\]
אַזוי דער מאָדולוס פֿון ∫(3 + 4i) איז 5, און זײַן קאָניוגאַט איז ∫(3 – 4i).
קעסימפּולאַן
קאָמפּלעקסע נומערן שפּילן אַ וויכטיקע ראָלע אין אַ ברייט פאַרשיידנקייט פון מאַטעמאַטישע פעלדער און טעכנישע אַפּליקאַציעס. פֿאַרשטיין גרונטלעכע אָפּעראַציעס אויף קאָמפּלעקסע נומערן, ווי אַדיציע, סובטראַקציע, טאפליקאַציע און דיוויזיע, איז שליסל צו נוצן די קאָנצעפּטן אין סאָלווינג מער קאָמפּליצירטע פּראָבלעמען. פּראַקטיצירן פֿאַרשידענע טיפּן פּראָבלעם, ווי די וואָס זענען באַשריבן אויבן, וועט העלפֿן פֿאַרשטאַרקן דיין פֿאַרשטאַנד און סקילז אין אַרבעטן מיט קאָמפּלעקסע נומערן.
