בייַשפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אויך באַקאַנט ווי די גאַוסישע פאַרשפּרייטונג, איז איינע פון די מערסט אָפט גענוצטע קאָנטינויִערלעכע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען אין סטאַטיסטיק און וואַרשיינלעכקייט. די פאַרשפּרייטונג ווערט אָפט גענוצט ווי אַ גרונטלעכע הנחה אין פֿאַרשידענע סטאַטיסטישע אינפֿערענצן צוליב אירע גינסטיגע מאַטעמאַטישע אייגנשאַפֿטן, ווי סימעטריע און איר אייגנאַרטיקייט אין פּאַראַמעטעריזאַציע מיט אַ דורכשניט (µ) און סטאַנדאַרט דיווייישאַן (σ). דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן ביישפילן און דיסקוטירן דעם ערוואַרטעטן ווערט פון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג צו געבן אַ טיפֿערן פֿאַרשטאַנד פֿון דעם באַגריף.
פֿאַרשטיין נאָרמאַלע פֿאַרשפּרייטונג
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט אָפּגעבילדעט דורך אַ סימעטרישער גלאָק-קורווע, מיט רובֿ ווערטן קאָנצענטרירט אַרום דעם מיטלערן ווערט, אדער דורכשניט. אין דער פאַרשפּרייטונג, זענען דער דורכשניט (µ) און סטאַנדאַרט-דעוויִאַציע (σ) צוויי וויכטיקע פּאַראַמעטערס וואָס באַשטימען די אָרט און מאָס פון פאַרשפּרייטונג אין די דאַטן.
די וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע (PDF) פון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג איז:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – μ)^2}{2π\sigma^2}}\]
די מאנא:
– \( \mu \) איז דער דורכשניט אדער דורכשניט
– \( \sigma \) איז די סטאַנדאַרט דיווייישאַן
– \(x \) איז אַ צופֿעליקע וועריאַבל
ערוואַרטע ווערט אין נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג
דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון אַ צופֿעליקער וואַריאַבל מיט אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג איז גלייך צום דורכשניט פֿון דער פֿאַרטיילונג. אויב \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), דאַן איז דער ערוואַרטעטער ווערט \( E(X) \):
[E(X) = μ]
לאָמיר פאָרזעצן מיט עטלעכע ביישפילן פון פּראָבלעמען וועגן ערוואַרטעטע ווערטן אין נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונגען צו פארשטארקן אונדזער פארשטאנד.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
בייַשפּיל קשיא 1:
אַננעמען אַז (X) איז אַ נאָרמאַל פֿאַרטיילטע ראַנדאָם וועריאַבל מיט (μ = 50) און (ρ = 10). רעכנט אויס דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון (X).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ווי פריער דערמאנט, אין א נארמאלער פארטיילונג, איז דער ערווארטעטער ווערט \(E(X) \) גלייך צו \(\mu \). ממילא,
[E(X) = μ = 50]
בייַשפּיל קשיא 2:
געגעבן אַ צופֿעליקע וועריאַבל, איז Y נאָרמאַל פֿאַרטיילט מיט (μ = 120) און (ρ = 15). געפינט דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון Y.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ענלעך צום ערשטן ביישפּיל, איז דער ערוואַרטעטער ווערט פון \(Y \) דער מיטלסטער ווערט אדער דורכשניט פון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג, נעמליך:
[E(Y) = μ = 120]
בייַשפּיל קשיא 3:
אויב די צופֿעליקע וועריאַבל Z פֿאָלגט אַ נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג מיט μ = 0 און sigma = 1 (סטאַנדאַרט נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג), וואָס איז דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון Z?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די סטאַנדאַרט נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג האט אַ דורכשניט \( \mu = 0 \), אַזוי דער ערוואַרטעטער ווערט \( E(Z) \) איז:
\[ E(Z) = μ = 0 \]
בייַשפּיל קשיא 4:
לאָמיר זאָגן אַז W איז אַ נאָרמאַל פֿאַרטיילטע ראַנדאָם וועריאַבל מיט אַ דורכשניט (mu = 75) און אַ סטאַנדאַרט דעוויִאַציע (sigma = 20). אויב מיר דעפינירן אַ נייע ראַנדאָם וועריאַבל (V = 2W + 3), וואָס איז דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון V?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפֿינען דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון \(V \), דאַרפֿן מיר ניצן די לינעאַריטעט אייגנשאַפֿט פֿון דעם ערוואַרטעטן ווערט. געגעבן \(V = 2W + 3 \), דאַן:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
באַזירט אויף דער לינעאַריטעט אייגנשאַפט פון דעם ערוואַרטעטן ווערט, קענען מיר צעשיידן די קאָנסטאַנטע פון דער צופֿעליקער וועריאַבל:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
וויסנדיק אז דער ערווארטעטער ווערט פון א קאנסטאנט איז די קאנסטאנט אליין:
\[ E(3) = 3 \]
און דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון \(W \) איז דער דורכשניט פֿון דער נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג \(W \):
\[ E(W) = μ = 75 \]
אַזוי,
\[ E(V) = 2 × 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
בייַשפּיל קשיא 5:
די צופֿעליקע וועריאַבל Q פֿאָלגט אַ נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג מיט אַ דורכשניט (μ = 40) און אַ סטאַנדאַרט דעוויִאַציע (ρ = 5). וואָס איז דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון Q אויב U = Q/2?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר ניצן דעם זעלבן פּרינציפּ ווי אין בייַשפּיל 4, נעמלעך די לינעאַריטעט אייגנשאַפט פון דעם ערוואַרטעטן ווערט. געגעבן אַז \( U = Q/2 \), דעמאָלט:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
באַזירט אויף דער לינעאַריטעט אייגנשאַפט פון ערוואַרטעטן ווערט:
[E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
מיר ווייסן אז דער ערווארטעטער ווערט פון \(Q \) איז דער דורכשניט פון דער נארמאלער פארטיילונג \(Q \):
\[ E(Q) = μ = 40 \]
אַזוי,
[E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
קעסימפּולאַן
אין אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג, איז דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון אַ צופֿעליקער וואַריאַבלע שטענדיק גלייך צום דורכשניט (µ) פֿון דער פֿאַרטיילונג. די בייַשפּיל פּראָבלעמען אויבן ווײַזן פֿאַרשידענע באַדינגונגען פֿאַר אויסרעכענען דעם ערוואַרטעטן ווערט ניצנדיק די לינעאַריטעט אייגנשאַפֿט. פֿאַרשטיין דעם גרונטלעכן באַגריף מאַכט עס גרינגער צו האַנדלען מיט נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג פּראָבלעמען אין סטאַטיסטיק און וואַרשיינלעכקייט.
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז קריטיש אין סטאַטיסטיק ווײַל זי ווערט גענוצט אין אַ ברייטע קייט פון פּראַקטישע אַפּליקאַציעס, אַרייַנגערעכנט היפּאָטעזע טעסטינג, פּאַראַמעטער עסטימאַציע, און פֿאַרשידענע אַנדערע סטאַטיסטישע אינפֿערענצן. א גוט פֿאַרשטאַנד פֿון דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון דער פאַרשפּרייטונג איז אַ וויכטיקער ערשטער שריט אין דאַטן אַנאַליז.
האָפֿנטלעך גיט דער אַרטיקל אַ קלאָרע און נוצלעכע דערקלערונג פֿון דעם ערוואַרטעטן ווערט אין דער נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג צוזאַמען מיט באַטייַטיקע בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיעס.
