בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן קאַנסטרויִרן קוואַדראַטישע פֿונקציעס

בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן קאַנסטרוקציע פֿון קוואַדראַטישע פֿונקציעס

קאנסטרואירן קוואַדראַטישע פונקציעס איז א שליסל טעמע אין אלגעברע וואס ערשיינט אָפט אין מיטל און אַוואַנסירטע מאַטעמאַטיק לערנפּראָגראַמען. פֿאַרשטיין קוואַדראַטישע פונקציעס איז קריטיש ווייל זיי ווערן אָפט גענוצט אין פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן, ווי דאַטן אַנאַליז, פֿיזיק מאָדעלינג און עקאָנאָמיק. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן פֿאַרשידענע בייַשפּיל פּראָבלעמען און ווי זיי צו סאָלווען צו קאנסטרואירן קוואַדראַטישע פונקציעס.

פֿאַרשטיין קוואַדראַטישע פֿונקציעס

א קוואַדראַטישע פֿונקציע איז אַ פּאָלינאָם פֿונקציע פֿון צווייטן גראַד וואָס האָט די אַלגעמיינע פֿאָרעם:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
וואו Σ), Σ (b), און Σ (c) זענען קאָנסטאַנטן, און Σ איז 0.

דער גראַף פֿון אַ קוואַדראַטישער פֿונקציע איז אַ קורווע באַקאַנט ווי אַ פּאַראַבאָלע. פּאַראַבאָלעס האָבן סימעטריע און אַ פֿאָרעם וואָס איז אָפּהענגיק פֿון דעם סימן פֿון דער קאָנסטאַנט a. אויב a > 0, עפֿנט זיך די פּאַראַבאָלע אַרויף. פֿאַרקערט, אויב a < 0, עפֿנט זיך די פּאַראַבאָלע אַראָפּ. וויכטיקע עלעמענטן פֿון קוואַדראַטישע פֿונקציעס - וואָרצלען פֿון אַ קוואַדראַטישער גלייכונג: די ווערטן פֿון x פֿאַר וועלכע f(x) = 0, וואָס מען קען געפֿינען מיט דער קוואַדראַטישער פֿאָרמל x = frac{-b b^2 - 4ac}{2a). - שפּיץ: דער העכסטער אָדער נידעריגסטער פּונקט פֿון דער פּאַראַבאָלע, וואָס מען געפֿינט מיט דער פֿאָרמל (x, y)), וואו x = -frac{b}{2a) און y = f(-frac{b}{2a)). - אַקס פון סימעטריע: די ווערטיקאַלע ליניע וואָס צעטיילט די פּאַראַבאָלע אין צוויי סימעטרישע טיילן, וואָס איז ביי \(x = -\frac{b}{2a}\).

בייַשפּיל קשיא 1: צוזאַמענשטעלן אַ קוואַדראַטישע פֿונקציע פֿון דריי פּונקטן קשיא: באַשטימען די פֿאָרמולע פֿאַר דער קוואַדראַטישער פֿונקציע וואָס גייט דורך די פּונקטן (1, 2), (2, 5), און (3, 10). לייזונג: 1. מיר הייבן אן מיט דער אלגעמיינער פארעם פון דער קוואדראטישער פונקציע: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] 2. שטעלט אריין דעם פונקט (1, 2) אין דער גלייכונג: \[ a(1)^2 + b(1) + c = 2 \] \[ a + b + c = 2 \] (גלייכונג 1) 3. שטעלט אריין דעם פונקט (2, 5) אין דער גלייכונג: \[ a(2)^2 + b(2) + c = 5 \] \[ 4a + 2b + c = 5 \] (גלייכונג 2) 4. שטעלט אריין דעם פונקט (3, 10) אין דער גלייכונג: \[ a(3)^2 + b(3) + c = 10 \] \[ 9a + 3b + c = 10 \] (גלייכונג 3) 5. מיר האבן יעצט דריי סיסטעמען פון לינעארע גלייכונגען: \[ \begin{cases} a + b + c = 2 6. צו סאָלווען, מיר סובטרעקטירן די צווייטע און ערשטע גלייכונג: [(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 5 - 2] [3a + b = 3] (גלייכונג 4) 7. נעמט ארויס די דריטע און צווייטע גלייכונגען: \[ (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 10 - 5 \] \[ 5a + b = 5 \] (גלייכונג 5) 8. נעמט ארויס גלייכונג 5 און גלייכונג 4: \[ (5a + b) - (3a + b) = 5 - 3 \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] 9. שטעלט אריין \(a = 1\) אין גלייכונג 4: \[ 3(1) + b = 3 \] \[ 3 + b = 3 \] \[ b = 0 \] 10. שטעלט אריין \(a = 1\) און \(b = 0\) אין גלייכונג 1: \[ 1 + 0 + c = 2 \] \[ c = 1 \] 11. אַזוי, די קוואַדראַטישע פֿונקציע איז: \[ f(x) = 1x^2 + 0x + 1 \] \[ f(x) = x^2 + 1 \] בייַשפּיל קשיא 2: באַשטימען אַ קוואַדראַטישע פֿונקציע פֿון אַ שפּיץ און נאָך איין פּונקט קשיא: באַשטימען די פֿאָרמולע פֿאַר אַ קוואַדראַטישע פֿונקציע וואָס האָט אַ שפּיץ ביי (-1, 4) און גייט דורך דעם פּונקט (1, 0). לייזונג: 1. די סטאַנדאַרט פאָרעם פון אַ קוואַדראַטישער פונקציע מיט אַ שפּיץ (h, k)) איז: [f(x) = a(x - h)^2 + k] 2. שטעלט אַרײַן דעם שפּיץ (-1, 4) אין דער סטאַנדאַרט פאָרעם: [f(x) = a(x + 1)^2 + 4] 3. שטעלט אַרײַן דעם פּונקט (1, 0) אין דער גלייכונג צו געפֿינען (a): [0 = a(1 + 1)^2 + 4] [0 = a(2)^2 + 4] [0 = 4a + 4] [4a = -4] [a = -1] 4. אַזוי, די קוואַדראַטישע פֿונקציע איז: \[ f(x) = -1(x + 1)^2 + 4 \] \[ f(x) = - (x + 1)^2 + 4 \] 5. פֿאַרטיילונג פֿאַר דער סטאַנדאַרט פֿאָרעם: \[ f(x) = - (x^2 + 2x + 1) + 4 \] \[ f(x) = -x^2 - 2x - 1 + 4 \] \[ f(x) = -x^2 - 2x + 3 \] בייַשפּיל פֿראַגע 3: קאָנווערטירן ווערטעקס פֿאָרעם צו סטאַנדאַרט פֿאָרעם פֿראַגע: קאָנווערטירן די קוואַדראַטישע פֿונקציע \( f(x) = 2(x - 3)^2 + 5 \) צו דער סטאַנדאַרט פֿאָרעם \( ax^2 + bx + c \). לייזונג: 1. ערשטנס, דארפן מיר אויסברייטערן: \[ f(x) = 2(x - 3)^2 + 5 \] 2. אויסברייטערן דעם בינאם: \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] 3. אריינשטעלן צוריק אין דער פונקציע: \[ f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) + 5 \] 4. פארטיילן 2 אויף יעדן טייל פון דעם בינאם: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 5 \] 5. קאמבינירן אלע טיילן: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \] אזוי, די סטאנדארט פארעם פון דער קוואדראטישער פונקציע איז: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \] מסקנא קאנסטרואירן קוואדראטישע פונקציעס פון פארשידענע אינפארמאציע איז א וויכטיגע בקיאקייט אין מאטעמאטיק. דורך קאנסיסטענטע פראקטיק מיט א פארשיידנקייט פון פראבלעם טיפן, קענען מיר פארבעסערן אונזער פארשטאנד און גלאטקייט אין לייזן קוואדראטישע גלייכונגען. וויכטיגע פונקטן צו געדענקען זענען געפינען און באהערשן טעכניקן פארן עקסטראקטירן אינפארמאציע פון ​​שפיץ-פארעם, קאנווערטירן צווישן שפיץ- און סטאנדארט-פארעם, און קאנסטרואירן פונקציעס פון געגעבענע פונקטן. מיט א גוטן פארשטאנד פון די טעמעס, קענען מיר זיך באגעגענען מיט מער קאמפליצירטע מאטעמאטישע שוועריקייטן אין דער צוקונפט.