בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן קרייזן און טאַנגענטן

בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון קרייזן און טאַנגענטן

קרייזן און טאַנגענטן זענען צוויי אָפט דיסקוטירטע טעמעס אין מאַטעמאַטיק, ספּעציעל אויף דער מיטלשול מדרגה. פֿאַרשטיין דעם באַגריף און אַפּליקאַציע פון ​​טאַנגענטן צו קרייזן איז קריטיש פֿאַר פֿאַרטיפֿן דיין וויסן פון געאָמעטריע. דער אַרטיקל וועט צושטעלן בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס וועגן קרייזן און טאַנגענטן צו געבן לייענער אַ טיפֿער פֿאַרשטאַנד.

הקדמה צו דער טעאריע פון ​​קרייזן און טאַנגענטן

לינגקאַראַן
א קרייז איז א סכום פונקטן אין א פלאך וואס זענען גלייך ווייט פון א פעסטן פונקט גערופן דער צענטער פונעם קרייז. די פעסטע דיסטאנץ איז באקאנט אלס דער ראדיוס פונעם קרייז. מאטעמאטיש, קען א קרייז ווערן דעפינירט דורך דער גלייכונג:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
וואו \((a, b)\) זענען די קאָאָרדינאַטן פון דעם צענטער פון דעם קרייז און \(r\) איז דער ראַדיוס.

טאַנגענט
א טאַנגענט צו אַ קרייז איז אַ ליניע וואָס באַרירט דעם קרייז אין פּונקט איין פּונקט. דער פּונקט ווערט גערופן דער טאַנגענטפּונקט. די הויפּט כאַראַקטעריסטיק פון אַ טאַנגענט איז אַז עס איז פּערפּענדיקולאַר צו דעם ראַדיוס געצויגן פון דעם צענטער פון דעם קרייז ביז דעם טאַנגענטפּונקט.

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

פראגע 1: באַשטימען די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע

פראגע:
געגעבן אַ קרייז מיטן צענטער ביי \( (2, 3) \) און ראַדיוס 5. באַשטימט די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע צום קרייז ביי פּונקט \( P \) מיט קאָאָרדינאַטן \( (5, 7) \).

פֿאַרעפֿנטלעכט:

שריט 1: מאַכט זיכער אַז דער פּונקט \(P \) איז טאַקע אויף דעם קרייז.
כדי צו קאָנטראָלירן צי \(P(5, 7) \) איז אויף אַ קרייז מיט צענטער \((2, 3) \) און ראַדיוס \(5 \), שטעלט איין די קאָאָרדינאַטן פון \(P \) אין דער גלייכונג פון דעם קרייז:
\[ (רענטגענ - 2) ^ 2 + (י - 3) ^ 2 = 5 ^ 2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]

זינט די גלייכקייט איז אמת, ליגט דער פונקט \(P \) טאקע אויפן קרייז.

שריט 2: באַשטימען דעם גראַדיענט פון דעם ראַדיוס וואָס גייט דורך \( (2, 3) \) און \( (5, 7) \):
\[ m_{ראַדיוס} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]

שריט 3: דער גראַדיענט פון דער טאַנגענט ליניע פּערפּענדיקולאַר צום גראַדיענט פון ראַדיוס (דער גראַדיענט פון דעם פּראָדוקט איז -1):
\[ m_{טאַנגענט} = -\frac{1}{m_{ראַדיוס}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]

שריט 4: באַשטימען די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע ניצנדיק דעם פּונקט \( P (5, 7) \):
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]

פאַרפּשוטערן:
[y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]

אַזוי, די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע איז:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]

פראגע 2: באַשטימען דעם פונקט פון טאַנגענץ פֿון דער ליניע גלייכונג

פראגע:
געגעבן אַ קרייז מיט דער גלייכונג \(x^2 + y^2 = 25 \) און אַ ליניע \(y = \frac{3}{4}x + 2 \). באַשטימט דעם פּונקט פון טאַנגענץ צווישן דער ליניע און דעם קרייז.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

שריט 1: אריינשטעלן די גלייכונג פון דער ליניע אין דער גלייכונג פון דעם קרייז:
גלייכונג פון א קרייז:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]

אריינשטעלן \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) אין דער קרייז גלייכונג:
[x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
[x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]

שריט 2: פאַרפּשוטערן די גלייכונג:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]

שריט 3: געפינען די ווארצלען ניצנדיק די קוואַדראַטישע פאָרמולע:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[a = 25, b = 48, c = -336 \]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
[x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]

אויסקלייבן אַ גילטיקן \(x \) באַזירט אויף דעם טאַנגענסי פּונקט (נאָר איין \(x \) וועט פּראָדוצירן אַ טאַנגענסי פּונקט):
[x = \frac{141.501}{50} \aprox 2.83 \]
\[ x \אומגעפער 2.83 \]

שריט 4: אריינשטעלן \(x \) אין דער גלייכונג פון דער ליניע צו באקומען \(y \):
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \אומגעפער 2.12 + 2 \]
\[ y \אומגעפער 4.12 \]

אַלזאָ, דער פּונקט פֿון טאַנגענציע צווישן דער ליניע (y = \frac{3}{4}x + 2 \) און דעם קרייז (x^2 + y^2 = 25 \) איז (2.83, 4.12) \).

קעסימפּולאַן

באַהערשן די קאָנצעפּטן פון קרייזן און טאַנגענטן באַדייט פֿאַרשטיין די יסודות פון געאָמעטריע און די פיייקייט צו סאָלווען פּראָבלעמען מיט מאַטעמאַטישע גלייכונגען. פּראָבלעמען ווי די אויבן דערמאָנטע העלפֿן סטודענטן פּראַקטיצירן אַפּליקירן טעאָריע אין מער קאָנקרעטע סיטואַציעס. מיט קאָנסיסטענט פּראַקטיק, ווערט ערוואַרטעט פון סטודענטן צו פֿאַרשטיין און סאָלווען פּראָבלעמען גרינגער.