בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן קרייזן און טאַנגענטן

בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן קרייזן און טאַנגענטן

קרייזן זענען א וויכטיגע טעמע אין מאטריץ געאמעטריע, וואו טיפע קאנצעפטן וועגן דיסטאנץ, ווינקלען און פארעם ווערן דעמאנסטרירט. איין קאנצעפט וואס ווערט אפט דיסקוטירט אין דעם טעמע איז די טאנגענט ליניע צו א קרייז. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע ביישפיל פראבלעמען וואס האבן צו טון מיט קרייזן און טאנגענטן.

גרונטלעכע פארשטאנד פון קרייזן און טאַנגענטן

לינגקאַראַן

א קרייז איז א געאמעטרישע פארעם געשאפן דורך דער גרופע פון ​​אלע פונקטן אין א פלאך וואס זענען א פעסטע דיסטאנץ פון א געגעבענעם פונקט גערופן דער צענטער פונעם קרייז. די פעסטע דיסטאנץ ווערט גערופן דער ראדיוס פונעם קרייז.

טאַנגענט

א טאַנגענט צו אַ קרייז איז אַ ליניע וואָס רירט דעם קרייז אין פּונקט איין פּונקט. דער פּונקט ווערט גערופן דער טאַנגענטפּונקט. טאַנגענטן האָבן עטלעכע וויכטיקע אייגנשאַפטן, אַרייַנגערעכנט:
– די טאַנגענט ליניע איז שטענדיק פּערפּענדיקולאַר צום ראַדיוס פֿון קרייז בײַם טאַנגענט־פונקט.
– די לענג פון אַ טאַנגענט פֿון אַ פּונקט אַרויס דעם קרייז ביזן קרייז איז די זעלבע אויב צוויי טאַנגענטן ווערן געצייכנט פֿון יענעם פּונקט.

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיעס

אונטן וועלן מיר פאָרשטעלן עטלעכע בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן דעם באַגריף פֿון קרייזן און טאַנגענטן אין דעטאַל.

בייַשפּיל קשיא 1: געפֿינען די לענג פֿון דער טאַנגענט ליניע

פראגע:
געגעבן אַ קרייז מיט צענטער \(O\) און ראַדיוס \(r = 6 \, \text{cm}\). פֿון פּונקט \(P\) אַרויס פֿון קרייז, וואָס איז 10 ס״מ פֿון צענטער פֿון קרייז, ווערן צוויי טאַנגענטן \(PA\) און \(PB\) געצויגן צום קרייז. רעכנט אויס די לענג פֿון דער טאַנגענט \(PA\).

פֿאַרעפֿנטלעכט:
אין דעם פראבלעם קענען מיר ניצן דעם פיטאגאראס טעארעם. צייכנט א דרייעק \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (דיסטאַנץ פֿון דעם אויסערן פּונקט צום צענטער פֿון קרייז)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (ראַדיוס פֿון דעם קרייז)
– \(PA\) איז די טאַנגענט ליניע וואָס מוז געפֿונען ווערן

\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]

\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]

\[
100 = 36 + PA^2
\]

\[
PA^2 = 64
\]

\[
פּאַ = 64 = 8, סענטימעטער
\]

אַלזאָ, די לענג פֿון דער טאַנגענט ליניע \(PA\) איז 8 ס״מ.

בייַשפּיל קשיא 2: געפֿינען דעם פונקט פון טאַנגענסי

פראגע:
געגעבן אַ קרייז מיט דער גלייכונג \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) און אַ ליניע \(y = 2x + 1\). באַשטימט דעם פּונקט פון טאַנגענציע צווישן דעם קרייז און דער ליניע.

פֿאַרעפֿנטלעכט:
ערשטנס, מיר ידענטיפיצירן דעם צענטער און ראַדיוס פון דעם קרייז:
– צענטער \(O(3, 4)\)
– ראַדיוס \(r = \sqrt{25} = 5\)

כדי צו געפינען דעם פונקט פון טאנגענץ, לאָמיר אננעמען אַז דער פונקט פון טאנגענץ איז \(T(x_1, y_1)\) וואָס ליגט אויך אויף דער ליניע \(y = 2x + 1\). דעמאָלט:

\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]

\(T(x_1, y_1)\) מוז אויך באַפרידיקן די גלייכונג פון דעם קרייז:

\[
(קס_1 - 3) ^ 2 + (י_ 1 - 4) ^ 2 = 25
\]

אריינשטעלן \(y_1 = 2x_1 + 1\) אין דער קרייז גלייכונג:

\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]

\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]

מיר דאַרפֿן אויסרעכענען צוויי קוואַדראַטן.

\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]

\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]

קאָמבינירן ביידע רעזולטאַטן:

\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]

\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]

אַראָפּרעכענען 25 פֿון ביידע זײַטן:

\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]

לייזט אויס די קוואַדראַטישע גלייכונג:

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]

\[
x_1 = 1.8 µm × 0.4 µsqrt{29}
\]

רעכנט אויס דעם ווערט פון \(y_1\):

וואָס באַפרידיקט y = 2x + 1:
– אויב \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), דעמאָלט \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– אויב \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), דעמאָלט \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)

עוואַלואַציע:

אַזוי באַקומען מיר צוויי פונקטן פון דורכשניט פון דער גלייכונג פון דעם קרייז מיט יענער ליניע.

בייַשפּיל קשיא 3: באַשטימען די גלייכונג פון אַ טאַנגענט ליניע

פראגע:
געגעבן אַ קרייז מיט דער גלייכונג \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). באַשטימט די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע צום קרייז וואָס גייט דורך דעם פּונקט \((6, 7)\).

פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער טאַנגענט צו אַ קרייז מיטן צענטער _((h, k)_) און ראַדיוס _(r_) פֿון אַ באַקאַנטן אויסערלעכן פּונקט קען מען געפֿינען דורך דער גלייכונג:

די טאַנגענט ליניע גייט דורך דעם אויסערלעכן פונקט \((x_1, y_1)\):
\[
(קסנומקס - קסנומקס) (קסנומקס - קסנומקס) + (י - קסנומקס) (י_קסנומקס - קסנומקס) = קסנומקס
\]

שטעלט אריין דעם אויסערן פונקט \((6, 7)\):
\[
(רענטגענ - 2) (6 - 2) + (י - 3) (7 - 3) = 20
\]

\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]

\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]

\[
4x + 2y -20 = 20
\]

\[
4x + 4y -20 = 20
\]

\[
x + y = 5
\]

די גלייכונג פון דער טאַנגענט ליניע איז:
\[
x + y = 9
\]

אַלזאָ, די וואַריאַציע פון ​​דער גלייכונג פון דער ליניע דורך דעם פּונקט פון דער קרייז-ליניע איז זייער גרויס און קען זיך ענדערן לויטן רעזולטאַט אָדער וויזועלן רעפּרעזענטאַציע.

קעסימפּולאַן

די דיסקוסיע וועגן קרייזן און טאַנגענטן דעקט עטלעכע יסודותדיקע אַספּעקטן פון מאַטעמאַטיק, פון אָנווענדן גרונטלעכע פֿאָרמולעס ווי דער פּיטהאַגאָרעאַן טעאָרעם ביז סאָלווינג קוואַדראַטישע גלייכונגען. דורך די ביישפילן קענען מיר אַנטוויקלען אַ בעסער פֿאַרשטאַנד ווי אַזוי צו אָנווענדן די קאָנצעפּטן אין עטוואָס קאָמפּליצירטע סיטואַציעס. האָפֿנטלעך האָט דער אַרטיקל געהאָלפֿן צושטעלן אַ קלאָר בילד ווי אַזוי צו צוגיין און סאָלווען פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט קרייזן און טאַנגענטן.