בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון פּראָדוקט מאָמענט קאָרעלאַציע
פּראָדוקט-מאָמענט קאָרעלאַציע, אויך באַקאַנט ווי פּירסאָן קאָרעלאַציע, איז אַ סטאַטיסטישע מעטאָדע געניצט צו מעסטן די שטאַרקייט און ריכטונג פון אַ לינעאַרע באַציִונג צווישן צוויי וועריאַבאַלן. די מעטאָדע איז נוצלעך אין פֿאַרשידענע פֿעלדער, פֿון אַקאַדעמישער פֿאָרשונג און געשעפֿטלעכע אַנאַליז ביז דער עוואַלואַציע פֿון עקספּערימענטן אין די נאַטירלעכע וויסנשאַפֿטן. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען פֿאַר קאַלקולירן פּראָדוקט-מאָמענט קאָרעלאַציע.
הקדמה
איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראגעס, איז עס א גוטע געדאנק צו פארשטיין דעם גרונט קאנצעפט פון פראדוקט מאמענט קארעלאציע. די אלגעמיינע פארמולע וואס ווערט גענוצט צו רעכענען דעם פּירסאָן קארעלאציע קאעפיציענט (\(r\)) איז:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
דימאַנאַ:
– \(n \) איז די צאָל דאַטן פּאָרן.
– \( \sum{XY} \) איז די סומע פון די פּראָדוקטן פון \( X \) און \( Y \).
– \( \sum{X} \) איז די סומע פון די וועריאַבלען \( X \).
– \( \sum{Y} \) איז די סומע פון די וועריאַבלען \(Y \).
– \( \sum{X^2} \) איז די סומע פון די קוואַדראַטן פון דער וועריאַבל \(X \).
– \( \sum{Y^2} \) איז די סומע פון די קוואַדראַטן פון דער וועריאַבל \(Y \).
פּירסאָן'ס קאָרעלאַציע קאָעפֿיציענט (\(r \)) איז שטענדיק צווישן -1 און 1. אַ פּאָזיטיווע קאָרעלאַציע ווײַזט אָן אַז ביידע וועריאַבלען באַוועגן זיך אין דער זעלבער ריכטונג, בשעת אַ נעגאַטיווע קאָרעלאַציע ווײַזט אָן אַז ווי איין וועריאַבלע וואַקסט, די אַנדערע פֿאַרמינערט זיך. אויב \(r = 0 \), דעמאָלט איז נישטאָ קיין לינעאַרע קאָרעלאַציע צווישן די צוויי וועריאַבלען.
בייַשפּיל קשיא 1
דאַטע
די פאלגענדע איז די מאטעמאטיק און פיזיק עקזאַמען סקאָר דאַטן פֿאַר 5 סטודענטן:
| סטודענט | מאטעמאטיק (X) | פיזיק (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
לייזונג טריט
1. אויסרעכענען וויכטיגע קאמפאנענטן:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. אַרייַן אין דער פאָרמולע:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ר = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. אויסרעכענען רעזולטאטן:
– ציילער: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– נענער:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \aprox \sqrt{976856} \aprox 989.36 \)
r = 626}{989.36 \aprox 0.633 \]
אזוי, דער פּירסאָן קאָרעלאַציע קאָעפֿיציענט צווישן די מאַטעמאַטיק און פֿיזיק טעסט סקאָרז איז 0.633, וואָס ווײַזט אַז עס איז אַ מיטלמעסיקע פּאָזיטיווע קאָרעלאַציע צווישן די צוויי וועריאַבאַלן.
בייַשפּיל קשיא 2
דאַטע
די פאלגענדע איז דאטן וועגן פארקויף ווערט און אדווערטייזינג אויסגאבן פון 6 חדשים אין א פירמע:
| חודש | אדווערטייזינג (X) | פארקויפונגען (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
לייזונג טריט
1. אויסרעכענען וויכטיגע קאמפאנענטן:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. אַרייַן אין דער פאָרמולע:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ר = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. אויסרעכענען רעזולטאטן:
– ציילער: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– נענער:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \aprox \sqrt{9343200000000} \aprox 3056246.20 \)
r = 3000000}{3056246.20 \aprox 0.981 \]
אזוי, דער פּירסאָן קאָרעלאַציע קאָעפֿיציענט צווישן גאַנצע הוצאות און פֿאַרקויף ווערט איז 0.981, וואָס ווײַזט אָן אַז עס איז פֿאַראַן אַ זייער שטאַרקע פּאָזיטיווע קאָרעלאַציע צווישן די צוויי וועריאַבלען.
קעסימפּולאַן
דער פּירסאָן קאָרעלאַציע קאָעפיציענט (\(r\)) איז אַ זייער נוצלעכער געצייַג צו פֿאַרשטיין די לינעאַרע באַציִונג צווישן צוויי וועריאַבלען. אין די ביישפּילן וואָס ווערן געגעבן, זען מיר ווי צו רעכענען דעם \(r\) ווערט און עס אינטערפּרעטירן. אַ העכערע קאָרעלאַציע (נענטער צו 1 אָדער -1) ווייזט אויף אַ שטאַרקערע באַציִונג, בשעת אַ נידעריקערע קאָרעלאַציע (נענטער צו 0) ווייזט אויף אַ שוואַכערע באַציִונג. עס איז וויכטיק צו באַמערקן אַז קאָרעלאַציע מיינט נישט קיין קאַוזאַציע; עס ווייזט פשוט אויף אַז עס איז אַ באַציִונג צווישן די צוויי וועריאַבלען.
