בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן קאָנדזשוגאַטן, מאָדולי און אַרגומענטן פֿון קאָמפּלעקסע נומערן און זייערע אייגנשאַפֿטן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ וויכטיקער טייל פון מאַטעמאַטיק, ספּעציעל אין דעם פעלד פון קאָמפּלעקסער אַנאַליז. קאָמפּלעקסע נומערן באַשטייען פון אַ רעאַלן טייל און אַן אימאַגינערי טייל, געוויינטלעך אויסגעדריקט אין דער פאָרעם \(z = a + bi \), וואו \(a \) און \(b \) זענען רעאַלע נומערן און \(i \) איז די אימאַגינערי איינהייט וואָס באַפרידיקט \(i^2 = -1 \). כּדי צו פֿאַרשטיין קאָמפּלעקסע נומערן טיפֿער, דאַרפֿן מיר וויסן די קאָנצעפּטן פון קאָניוגאַט, מאָדולוס און אַרגומענט פון קאָמפּלעקסע נומערן און זייערע אייגנשאַפֿטן.
קאָניוגאַט פון קאָמפּלעקסע נומערן
דער קאָניוגאַט פֿון דער קאָמפּלעקסער נומער \(z = a + bi \) איז \( \overline{z} = a – bi \). דער קאָניוגאַט פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער ענדערט דאָס סימן פֿון דעם אימאַגינערן טייל אָן צו ענדערן דאָס סימן פֿון דעם רעאַלן טייל.
אייגנשאפטן פון קאָנדזשוגאַטן
1. \( \overline{\overline{z}} = z \)
– דער קאָניוגאַט פֿון דעם קאָניוגאַט פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער איז די קאָמפּלעקסע נומער אַליין.
2. \( \overline{z} + \overline{w} = \overline{z} + \overline{w} \)
– די קאָניוגאַט פֿון דער סומע פֿון צוויי קאָמפּלעקסע נומערן איז די סומע פֿון די קאָניוגאַטן פֿון יעדער קאָמפּלעקסער נומער.
3. \( \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \)
– דער קאָניוגאַט פֿונעם פּראָדוקט פֿון צוויי קאָמפּלעקסע נומערן איז דער פּראָדוקט פֿון די קאָניוגאַטן פֿון יעדער קאָמפּלעקסער נומער.
4. \( \overline{\left( \dfrac{z}{w} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \)
– די קאָניוגאַט פֿון דער דיוויזיע פֿון צוויי קאָמפּלעקסע נומערן איז די דיוויזיע פֿון זייערע ריספּעקטיווע קאָניוגאַטן.
קאָמפּלעקסע נומער מאָדולוס
דער מאָדולוס פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער \(z = a + bi \) איז די לענג אָדער גרייס פֿון דעם וועקטאָר וואָס רעפּרעזענטירט \(z \) אין דער קאָמפּלעקסער פלאַך. דער מאָדולוס ווערט באַצייכנט מיט \( |z| \) און ווערט אויסגערעכנט לויט דער פֿאָרמולע
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
אייגנשאפטן פון מאָדולוס
1. \( |z| ≤ 0 \)
– דער מאָדולוס פֿון אַ קאָמפּלעקסער צאָל איז שטענדיק נישט-נעגאַטיוו.
2. \( |z| = 0 \iff z = 0 \)
– דער מאָדולוס פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער איז נול אויב און נאָר אויב די קאָמפּלעקסע נומער איז נול.
3. \( |z ≤ w| = |z| ≤ w| \)
– דער מאָדולוס פֿון דעם פּראָדוקט פֿון צוויי קאָמפּלעקסע נומערן איז דער פּראָדוקט פֿון די מאָדולוס פֿון יעדער קאָמפּלעקסער נומער.
4. \( \left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|z|}{|w|} \), \(w \neq 0 \)
– דער מאָדולוס פֿון דער דיוויזיע פֿון צוויי קאָמפּלעקסע נומערן איז די דיוויזיע פֿון זייערע ריספּעקטיווע מאָדולן.
5. \( |ז + וו| \leq |z| + |w| \)
– טרייענגל אומגלייכקייט פארן מאָדולוס פון א קאָמפּלעקסער צאָל.
קאָמפּלעקסע נומער אַרגומענטן
דער אַרגומענט פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער _(z = a + bi _) איז דער ווינקל וואָס דער וועקטאָר וואָס רעפּרעזענטירט _(z _) מאַכט מיט דער פּאָזיטיווער רעאַלער אַקס אין דער קאָמפּלעקסער פלאַך. דער אַרגומענט ווערט באַצייכנט מיט _(arg(z) _) און ווערט געוויינטלעך אויסגעדריקט אין ראַדיאַנען.
אייגנשאפטן פון אַרגומענטן
1. \( \אַרג(ז^ן) = n \קדאָט \אַרג(ז) \)
– דער אַרגומענט פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער אויפֿגעהויבן צו אַ פּאָטענציאַל איז דער רעזולטאַט פֿון פֿאַרמערן די פּאָטענציאַל מיטן אַרגומענט פֿון דער קאָמפּלעקסער נומער.
2. \( \arg\left(\dfrac{z}{w}\right) = \arg(z) – \arg(w) \)
– דער אַרגומענט פֿון דער דיוויזיע פֿון צוויי קאָמפּלעקסע נומערן איז דער אונטערשייד צווישן די אַרגומענטן פֿונעם ציילער און נענער.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
פּראָבלעם 1: קאָניוגאַטן פון קאָמפּלעקסע נומערן
געפינט דעם קאָניוגאַט פֿון דער קאָמפּלעקסער צאָל (z = 3 + 4i).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער קאָניוגאַט פֿון \(z \) איז \( \overline{z} = 3 – 4i \).
פראגע 2: מאָדולוס פון קאָמפּלעקסע נומערן
רעכנט אויס דעם מאָדולוס פֿון דער קאָמפּלעקסער צאָל (z = 1 – i).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
\[ |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
פראגע 3: קאמפלעקסע נומער ארגומענטן
באַשטימט דעם אַרגומענט פֿון דער קאָמפּלעקסער צאָל (z = -1 + 3i).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפֿינען דעם אַרגומענט, מוזן מיר געפֿינען דעם ווינקל געפֿאָרעמט דורך \(z \) אין דער קאָמפּלעקסער פלאַך.
די קאָמפּלעקסע נומער (-1 + 3i) איז אין קוואַדראַנט II.
\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{-1}\right) + \pi = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \pi \]
מיר ווייסן אַז \( \tan(\dfrac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\), אַזוי
\[ \arg(ז) = \dfrac{2\pi}{3} \]
פראגע 4: מולטיפליקאציע פון קאמפלעקסע נומערן
באַשטימט דעם פּראָדוקט \(z_1 = 2 + 3i \) און \(z_2 = 1 – i \), און רעכנט אויס דעם מאָדולוס פֿון דעם פּראָדוקט.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
\[ ז_1 \קדאָט ז_2 = (2 + 3i) (1 - איך) = 2 + 2i - 3i - 3i^2 = 2 - איך + 3 = 5 - איך \]
מאָדולוס פון (z_1 ⋅ z_2):
\[ |5 – איך| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
קעסימפּולאַן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ יסודותדיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק און אינזשעניריע. דורך פֿאַרשטיין דעם קאָניוגאַט, מאָדולוס און אַרגומענט, קענען מיר בעסער פֿאַרשטיין און מאַניפּולירן קאָמפּלעקסע נומערן מער עפֿעקטיוו. די אייגנשאַפֿטן פֿון קאָניוגאַט, מאָדולוס און אַרגומענט צושטעלן שטאַרקע מכשירים פֿאַר ווײַטערדיקע אַנאַליז און ברייטערע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע צווײַגן פֿון וויסנשאַפֿט. דורך די פּרעזענטירטע בײַשפּילן, האָפֿט מען אַז לייענער וועלן באַקומען אַ בעסער פֿאַרשטאַנד און באַהערשונג פֿון דער נוצ פֿון קאָמפּלעקסע נומערן אין פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן.
