קאָמבינאַטאָריק דיסקוסיע בייַשפּיל פֿראַגן
קאָמבינאַטאָריק איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס שטודירט דאָס ציילן, אָרדענונג און מעגלעכע סטרוקטורן פֿון גרופּעס פֿון עלעמענטן. קאָמבינאַטאָריק האָט באַדײַטנדיקע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער, אַרײַנגערעכנט קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט, סטאַטיסטיק, ביאָלאָגיע און עקאָנאָמיק. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בײַשפּילן און זייערע דיסקוסיעס פֿאַרבונדן מיט קאָמבינאַטאָריק, וואָס וועט האָפֿנטלעך צושטעלן אַ בעסער פֿאַרשטאַנד פֿון די גרונטלעכע קאָנצעפּטן און אַפּליקאַציעס פֿון קאָמבינאַטאָריק.
פראגע 1: פּערמוטאַציע
פראגע:
אויף וויפיל וועגן קען מען אויסשטעלן 5 פארשידענע ביכער אויף א פאליצע?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
א פּערמוטאַציע איז די אָרדענונג פון אָביעקטן אין אַ געאָרדנטן סדר. ווען סדר איז וויכטיק, נוצן מיר פּערמוטאַציעס. אין דעם קאָנטעקסט פון דעם פּראָבלעם, האָבן מיר פינף פֿאַרשידענע ביכער צו אָרדענען. די צאָל וועגן צו אָרדענען די פינף ביכער איז:
\[ 5! = 5 \מאל 4 \מאל 3 \מאל 2 \מאל 1 = 120 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 120 וועגן צו אָרדענען 5 פֿאַרשידענע ביכער אויף אַ פּאָליצע.
פראגע 2: קאָמבינאַציע
פראגע:
פֿון 10 מענטשן, וויפֿל וועגן זענען דאָ צו שאַפֿן אַ מאַנשאַפֿט פֿון 4 מענטשן?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
קאָמבינאַציע איז די אויסוואַל פון אָביעקטן וואו די סדר איז נישט וויכטיק. די פאָרמולע פֿאַר קאָמבינאַציע איז:
\[ \binom{n}{ק} = \frac{n!}{ק!(נק)!} \]
אין דעם קאנטעקסט פון דעם פראבלעם, \(n = 10 \) און \(k = 4 \). ממילא,
[\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \times (10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \]
מיר ווייסן אַז (10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6!), דעמאָלט
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \מאל 9 \מאל 8 \מאל 7 \מאל 6!}{4! \מאל 6!} = \frac{10 \מאל 9 \מאל 8 \מאל 7}{4 \מאל 3 \מאל 2 \מאל 1} = 210 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 210 וועגן צו שאַפֿן אַ מאַנשאַפֿט פֿון 4 פֿון 10 מענטשן.
פראגע 3: פּערמוטאַציעס מיט איבערחזרן
פראגע:
וויפיל וועגן זענען דא צו סדרן דאס ווארט "לעוועל"?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דאס וואָרט "לעוועל" באשטייט פון 5 אותיות, עטלעכע פון וועלכע ווערן איבערגעחזרט (ל צוויי מאָל און ע צוויי מאָל). די פּערמוטאַציע פאָרמולע מיט איבערחזר איז:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
אין דעם קאנטעקסט פון דעם פראבלעם, \(n = 5 \), \(n_1 = 2 \) פארן אות L, און \(n_2 = 2 \) פארן אות E. ממילא,
\[ \frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{4} = 30 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 30 וועגן צו אָרדענען דאָס וואָרט "לעוועל".
פראגע 4: קאָמבינאַציע מיט איבערחזרן
פראגע:
וויפיל וועגן זענען דא צו קלייבן 3 זיסווארג פון 5 פארשידענע סארטן זיסווארג מיט ערלויבטע רעפּעטיציעס?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
קאָמבינאַציע מיט איבערחזרן מיט דער פאלגענדער פאָרמולע:
\[ \binom{n+r-1}{r} \]
אין דעם קאנטעקסט פון דעם פראבלעם, \(n = 5 \) (טיפּן פון זיסוואַרג) און \(r = 3 \) (נומער פון אויסגעקליבענע זיסוואַרג). אַזוי,
[\binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times 4!} \]
וויסנדיק (7! = 7 × 6 × 5 × 4!), דעמאָלט
\[ \binom{7}{3} = \frac{7 \מאל 6 \מאל 5 \מאל 4!}{3! \מאל 4!} = \frac{7 \מאל 6 \מאל 5}{3 \מאל 2 \מאל 1} = 35 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 35 וועגן צו קלייבן 3 זיסוואַרג פֿון 5 פֿאַרשידענע טיפּן זיסוואַרג מיט ערלויבטע רעפּעטיציעס.
פראגע 5: דער פרינציפ פון צוגאב
פראגע:
וויפיל וועגן זענען דא צו קלייבן איין פרוכט פון א קערב מיט 3 עפּל, 2 מאַראַנצן און 5 באַנאַנעס?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער פּרינציפּ פֿון אַדיציע זאָגט, אַז אויב עס זענען פֿאַראַן עטלעכע וועגן צו דורכפֿירן אַן אַקציע, דאַן איז די גאַנצע צאָל וועגן די סומע פֿון אַלע יענע וועגן. אין דעם קאָנטעקסט פֿון דעם פּראָבלעם,
– עס זענען דא 3 וועגן צו קלייבן 1 עפּל.
– עס זענען דא צוויי וועגן צו קלייבן איין אפעלסין.
– עס זענען דא 5 וועגן צו קלייבן 1 באַנאַנע.
גאַנץ וועגן:
\[ 3 + 2 + 5 = 10 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 10 וועגן צו קלייבן איין פרוכט פֿון קאָרב.
פראגע 6: דער פרינציפ פון מולטיפליקאציע
פראגע:
וויפיל וועגן זענען דא צו קלייבן איין העמד פון 4 אָפּציעס און איין פּאָר הויזן פון 3 אָפּציעס?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער מאַלטיפּליקאַציע פּרינציפּ זאָגט אַז אויב עס זענען פֿאַראַן קייפל וועגן צו דורכפֿירן די ערשטע אַקציע און קייפל וועגן צו דורכפֿירן די צווייטע אַקציע, דאַן איז די גאַנצע צאָל וועגן צו דורכפֿירן ביידע אַקציעס דער פּראָדוקט פֿון די וועגן צו דורכפֿירן יעדע אַקציע.
אין דעם קאנטעקסט פון דעם קשיא,
– עס זענען דא 4 וועגן צו קלייבן 1 העמד.
– עס זענען דא 3 וועגן צו קלייבן 1 פּאָר הויזן.
גאַנץ וועגן:
[4 מאָל 3 = 12]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 12 וועגן צו קלייבן איין העמד און איין פּאָר הויזן.
קעסימפּולאַן
קאָמבינאַטאָריק, אַלס אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק, אָפערט אַ רייַכע ריי מעטאָדן און קאָנצעפּטן פֿאַר רעכענען און אָרדענען פֿאַרשידענע אָביעקטן. פֿון פּערמוטאַציעס און קאָמבינאַציעס ביז די פּרינציפּן פֿון אַדיציע און טאַפּליקאַציע, ווערן די קאָנצעפּטן אָפֿט גענוצט אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. דורך פֿאַרשטיין די ביישפּילן און דיסקוסיעס אויבן, האָפֿט מען אַז לייענער וועלן קענען אָנווענדן קאָמבינאַטאָריק קאָנצעפּטן אין מער קאָמפּליצירטע סיטואַציעס און פֿאַרבעסערן זייערע פּראָבלעם-לייזונג סקילז אין מאַטעמאַטיק און אַנדערע דיסציפּלינעס.
