בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די פּאָזיציע פֿון אַ פּונקט אין באַציִונג צו אַ קרייז
באַשטימען די פּאָזיציע פֿון אַ פּונקט אין באַצוג צו אַ קרייז איז אַ וויכטיקע טעמע אין גרונטלעכער געאָמעטריע, ספּעציעל אין דער שטודיע פֿון קרייזן. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט דער פּאָזיציע פֿון אַ פּונקט אין באַצוג צו אַ קרייז, צוזאַמען מיט זייערע דערקלערונגען. דאָס וועט העלפֿן קלאָר מאַכן דעם באַגריף דורך פּראַקטישע אַפּליקאַציעס.
הקדמה
איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראגעס, לאמיר זיך דערמאָנען די דריי מעגלעכע פאזיציעס פון א פונקט אויף א קרייז:
1. אינעווייניק פון א קרייז: אויב די דיסטאַנץ פון א פונקט צום צענטער פון קרייז איז קלענער ווי דער ראַדיוס פון קרייז.
2. אינדרויסן פון קרייז: אויב די דיסטאַנץ פון דעם פּונקט צום צענטער פון קרייז איז גרעסער ווי דער ראַדיוס פון קרייז.
3. אויף אַ קרייז: אויב די דיסטאַנץ פֿון דעם פּונקט צום צענטער פֿון קרייז איז די זעלבע ווי דער ראַדיוס פֿון קרייז.
מאטעמאטיש, קען מען באַשטימען די פּאָזיציע פֿון דעם פּונקט \(T(x_1, y_1)\) אין באַצוג צו דעם קרייז מיטן צענטער \(a, b)\) מיטן ראַדיוס \(r\) דורך פֿאַרגלײַכן \(T(x_1, y_1)\) מיט דער גלייכונג פֿונעם קרייז, נעמלעך:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
אויב דער רעזולטאַט פון סאַבסטיטוטירן \(x_1\) און \(y_1\) אין דער גלייכונג גיט דעם ווערט:
– קלענער ווי \(r^2\), דער פונקט איז אינעווייניק פון קרייז.
– גרעסער ווי \(r^2\), דער פונקט איז אינדרויסן פון קרייז.
– דאס זעלבע ווי \(r^2\), דער פונקט איז אויפן קרייז.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
פראגע 1
באַשטימט די פּאָזיציע פֿון פּונקט \(T(3, 4)\) אין באַצוג צו דעם קרייז מיט דער גלייכונג \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער ערשטער שריט איז צו עוואַלויִרן די גלייכונג פון דעם קרייז און געפֿינען די דיסטאַנץ פֿון דעם פּונקט \(T(3, 4)\) צום צענטער פֿון דעם קרייז \((1, 2)\).
1. אידענטיפיצירן דעם צענטער און ראַדיוס פון דעם קרייז:
גלייכונג פון א קרייז: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– צענטער פון קרייז (\(a, b\)): (1, 2)
– ראַדיוס פֿון דעם קרייז (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. רעכנט אויס די דיסטאַנץ צווישן פּונקט \(T(3, 4)\) און דעם צענטער פֿון דעם קרייז \((1, 2)\):
\[
ד = \סקרט{(3 - 1) ^ 2 + (4 - 2) ^ 2} = \סקרט{2^2 + 2^2} = \סקרט{4 + 4} = \סקרט{8} = 2\סקרט{2}
\]
דער ווערט (2² איז אַפּפּראָקס 2 × 1.414 = 2.828) (ווייניקער ווי (5).
3. מסקנא:
זינט 2\sqrt{2} < 5 \), דעמאָלט איז דער פונקט \(T(3, 4) \) אינעווייניק פון דעם קרייז. פראגע 2 א קרייז האט א צענטער ביים פונקט \((0, 0) \) און א ראדיוס פון 7. באשטימט די פאזיציע פון דעם פונקט \(P(5, 6) \) אין באצוג צו דעם קרייז.
פראגע 3
באַשטימט די פּאָזיציע פֿון פּונקט \(M(2, -1)\) אין באַצוג צו דעם קרייז מיט דער גלייכונג \(x^2 + y^2 = 5 \).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. רעכנט אויס די דיסטאַנץ פֿון פּונקט \(M(2, -1)\) צום צענטער פֿון קרייז \((0, 0) :
\[
ד = \סקרט{(2 - 0) ^ 2 + (-1 - 0) ^ 2} = \סקרט{4 + 1} = \סקרט{5}
\]
2. פאַרגלייכן די דיסטאַנץ \(D\) מיטן ראַדיוס פון דעם קרייז:
ראַדיוס פֿון קרייז (r) = 5.
3. מסקנא:
זינט 5 = 5), דעמאָלט איז דער פונקט M(2, -1) אויפן קרייז.
פראגע 4
א קרייז מיטן צענטער ביי \( (4, 3) \) האט א ראדיוס \(\sqrt{10}\). ווייזט די פאזיציע פון דעם פונקט \( N(7, 7) \) אין באצוג צו דעם קרייז.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. קרייז גלייכונג:
די גלייכונג פון א קרייז מיטן צענטער (4, 3) און ראדיוס 10 איז:
\[
(רענטגענ - 4) ^ 2 + (י - 3) ^ 2 = 10
\]
2. רעכנט אויס די דיסטאַנץ פֿון פּונקט \( N(7, 7) \) צום צענטער פֿון קרייז \( (4, 3) \):
\[
ד = \סקרט{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \סקרט{3^2 + 4^2} = \סקרט{9 + 16} = \סקרט{25} = 5
\]
3. מסקנא:
זינט 5 > 10), דעמאָלט איז דער פונקט N(7, 7) אַרויס פֿון קרייז.
קלאָוזינג
דורך פֿאַרשטיין ווי צו רעכענען די דיסטאַנץ פֿון אַ פּונקט פֿון דעם צענטער פֿון אַ קרייז און עס פֿאַרגלײַכן מיטן ראַדיוס, קענען מיר לייכט באַשטימען די פּאָזיציע פֿון אַ פּונקט אין באַצוג צו דעם קרייז. די דיסקוסיע אין דעם אַרטיקל ווערט ערוואַרטעט צו געבן אַ קלאָר פֿאַרשטאַנד פֿון דעם באַגריף און ווי צו סאָלווען פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט דער פּאָזיציע פֿון אַ פּונקט אין באַצוג צו אַ קרייז.
אין פּראַקטיק, וויסן די פּאָזיציע פון די פונקטן איז גאָר נוצלעך אין פֿאַרשידענע מאַטעמאַטישע אַפּליקאַציעס, אַרייַנגערעכנט געאָמעטרישע אַנאַליז, גראַפֿישער דיזיין און אינזשעניריע. דעריבער, באַהערשן דעם באַגריף איז אַ וויכטיקע יסוד וואָס פֿאַרדינט קערפֿולע אויפֿמערקזאַמקייט און אַ טיפֿן פֿאַרשטאַנד.
