בייַשפּיל פֿראַגעס דיסקוטירן טייפּס פון מאַטריץ
מאַטריצעס זענען אַ יסודותדיקער באַגריף אין לינעאַרער אַלגעברע און זענען קריטיש אין פֿאַרשידענע צווייגן פֿון וויסנשאַפֿט, ווי פֿיזיק, עקאָנאָמיק, סטאַטיסטיק און אינזשעניריע. מאַטריצעס באַשטייען פֿון רעכטעקיקע עלעמענטן אויסגעשטעלט אין רייען און קאָלאָנען. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן פֿאַרשידענע טיפּן מאַטריצעס, צוזאַמען מיט ביישפּילן און לייזונגען פֿאַר יעדן טיפּ.
1. אידענטיטעט מאַטריץ
אן אידענטיטעט מאטריץ איז א קוואדראטישע מאטריץ וואס האט 1 עלעמענט אויף איר הויפט דיאגאנאל (פון אויבן לינקס ביז אונטן רעכטס) און 0 עלעמענטן אוועק פון דער הויפט דיאגאנאל. די אידענטיטעט מאטריץ ווערט געווענליך באצייכנט מיט \(I\).
קאָנטעקסט:
\[ I_3 = \begin{pmatrix}
1 און 0 און 0 \\
0 און 1 און 0 \\
0 & 0 & 1
\ענד{pmatrix} \]
פראגע:
אויב A = pmatrix
5 און 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \), געפינט דאָס רעזולטאַט פֿון טאפלען \(A \) מיט דער אידענטיטעט מאַטריץ \(I \).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿאַר דער מאַטריץ 2 × 2), איז די אידענטיטעט מאַטריץ:
\[ איך = \begin{pmatrix}
1 און 0 \\
0 & 1
\ענד{pmatrix} \]
אַזוי, די מאַלטיפּליקאַציע איז:
\[ AI = \begin{pmatrix}
5 און 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 און 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 און 2 \\
1 & 4
\ענד{pmatrix} \]
דער רעזולטאַט איז נאָך אַלץ די מאַטריץ \(A\) אַליין.
2. נול מאַטריץ
א נול מאַטריץ איז אַ מאַטריץ וועמענס עלעמענטן זענען אַלע 0. א נול מאַטריץ ווערט געוויינטלעך באַצייכנט מיט \(0\).
קאָנטעקסט:
\[ 0_2 = \begin{pmatrix}
0 און 0 \\
0 & 0
\ענד{pmatrix} \]
פראגע:
אויב B = pmatrix
3 און 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix}\), געפינט דעם רעזולטאַט \(B + 0\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מאַלטיפּליקאַציע מיט דער נול מאַטריץ גיט דעם זעלבן רעזולטאַט ווי די אָריגינעלע מאַטריץ:
\[ B + 0 = \begin{pmatrix}
3 און 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 און 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 און 7 \\
5 & 9
\ענד{pmatrix} \]
3. דיאַגאָנאַלע מאַטריץ
א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ איז אַ קוואַדראַטישע מאַטריץ אין וועלכער אַלע עלעמענטן אַרויס פון דער הויפּט דיאַגאָנאַל זענען 0. די עלעמענטן אויף דער הויפּט דיאַגאָנאַל קענען זיין אַנדערש, אָבער די עלעמענטן אַרויס פון דער הויפּט דיאַגאָנאַל מוזן אַלע זיין 0.
קאָנטעקסט:
\[ ד = \begin{pmatrix}
6 און 0 און 0 \\
0 און 3 און 0 \\
0 & 0 & 8
\ענד{pmatrix} \]
פראגע:
איז די פאלגענדע מאַטריץ אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ?
\[ C = \begin{pmatrix}
5 און 0 \\
0 & 6
\ענד{pmatrix} \]
פֿאַרעפֿנטלעכט:
C איז אַ קוואַדראַטישע מאַטריץ מיט עלעמענטן אַרויס פֿון דער הויפּט דיאַגאָנאַל, אַלע זייענדיק 0. דעריבער, \(C \) איז טאַקע אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ.
4. סקאַלאַרע מאַטריץ
א סקאלארע מאטריץ איז א ספעציעלע פארעם פון א דיאגאנאלע מאטריץ אין וועלכער אלע עלעמענטן פון דער הויפט דיאגאנאל זענען גלייך. א סקאלארע מאטריץ קען מען באטראכטן ווי א סקאלארער פארמערער אויף אן אידענטיטעט מאטריץ.
קאָנטעקסט:
\[ S = \begin{pmatrix}
4 און 0 \\
0 & 4
\ענד{pmatrix} \]
פראגע:
באַווײַזט אַז די מאַטריץ \(T\) אונטן איז אַ סקאַלאַר מאַטריץ:
\[ ט = \begin{pmatrix}
7 און 0 און 0 \\
0 און 7 און 0 \\
0 & 0 & 7
\ענד{pmatrix} \]
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די מאַטריץ \(T\) איז אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ וואו אַלע עלעמענטן פון דער הויפּט דיאַגאָנאַל זענען 7. דעריבער, \(T\) איז אַ סקאַלאַר מאַטריץ.
5. סימעטרישע מאַטריץ
א סימעטרישע מאַטריץ איז אַ קוואַדראַטישע מאַטריץ וואָס איז גלייך צו איר טראַנספּאָזירטער. דאָס מיינט אַז די עלעמענטן סימעטריש אַרום דער הויפּט דיאַגאָנאַל זענען גלייך, דאָס הייסט, \(A_{ij} = A_{ji}\) פֿאַר יעדן \(i\) און \(j\).
קאָנטעקסט:
\[ א = \begin{pmatrix}
2 און 1 און 3 \\
1 און 4 און 5 \\
3 & 5 & 6
\ענד{pmatrix} \]
פראגע:
קוק צי די פאלגענדע מאַטריץ איז אַ סימעטרישע מאַטריץ:
\[ ב = \begin{pmatrix}
1 און 2 \\
2 & 3
\ענד{pmatrix} \]
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די טראַנספּאָזע פֿון \(B\) איז:
\[ B^T = \begin{pmatrix}
1 און 2 \\
2 & 3
\ענד{pmatrix} \]
זינט \(B = B^T \), דעמאָלט איז \(B \) אַ סימעטרישע מאַטריץ.
6. טרייענגולערע מאַטריץ
טרייענגולערע מאַטריצעס קומען אין צוויי טיפּן: אויבערשטער טרייענגולער און אונטערשטער טרייענגולער. אן אויבערשטער טרייענגולער מאַטריץ האט אַלע עלעמענטן אונטערן הויפּט דיאַגאָנאַל גלייך צו 0, בשעת א אונטערשטער טרייענגולער מאַטריץ האט אַלע עלעמענטן העכערן הויפּט דיאַגאָנאַל גלייך צו 0.
אויבערשטער דרייעק בייַשפּיל:
\[ U = \begin{pmatrix}
2 און 3 און 4 \\
0 און 5 און 6 \\
0 & 0 & 7
\ענד{pmatrix} \]
בייַשפּיל פֿון אַ נידעריקער דרייַעק:
\[ ל = \begin{pmatrix}
8 און 0 און 0 \\
5 און 6 און 0 \\
3 & 4 & 2
\ענד{pmatrix} \]
פראגע:
באַשטימען די פאלגענדע מאַטריץ טיפּן:
\[ C = \begin{pmatrix}
1 און 2 \\
0 & 3
\ענד{pmatrix} \]
פֿאַרעפֿנטלעכט:
זינט אַלע עלעמענטן אונטערן הויפּט דיאַגאָנאַל זענען 0, דעמאָלט איז \(C \) אַן אויבערשטע דרייעקיקע מאַטריץ.
7. אָרטאָגאָנאַלע מאַטריץ
אן ארטאגאנאלע מאטריץ איז א קוואדראטישע מאטריץ \(A\) וואס באפרידיקט די גלייכונג \(A^TA = AA^T = I \), וואו \(A^T \) איז די טראַנספּאָזע פון \(A\) און \(I\) איז די אידענטיטעט מאטריץ.
קאָנטעקסט:
\[ Q = \begin{pmatrix}
1/2 און ¾/2
\sqrt{3}/2 און -1/2
\ענד{pmatrix} \]
פראגע:
איבערצייג צי די מאַטריצעס אונטן זענען אָרטאָגאָנאַל:
\[P = \begin{pmatrix}
0 און 1 \\
1 & 0
\ענד{pmatrix} \]
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ערשט רעכענען מיר אויס די טראַנספּאָזע פֿון \(P\):
\[ P^T = \begin{pmatrix}
0 און 1 \\
1 & 0
\ענד{pmatrix} \]
דערנאך רעכענען מיר אויס \( P^TP \):
\[ P^TP = \begin{pmatrix}
0 און 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 און 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 און 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = איך \]
זינט \(P^TP = I \), דעמאָלט איז \(P\) אַן אָרטאָגאָנאַלע מאַטריץ.
דורך פֿאַרשטיין די פֿאַרשידענע טיפּן מאַטריצעס און זייערע כאַראַקטעריסטיקס, קענען מיר גרינגער באַשטימען לייזונגען צו פֿאַרשידענע מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט מאַטריצעס. יעדער טיפּ מאַטריץ האָט אייגענאַרטיקע אייגנשאַפֿטן וואָס קענען ווערן גענוצט אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע און טעכנישע אַפּליקאַציעס.
