בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון פּאַראַבאָלישע קאָנישע סעקשאַנז
קאנישע סעקציעס זענען א וויכטיגע טעמע אין געאמעטריע, וואס נעמט אריין פארשידענע פארמען ווי קרייזן, עליפסעס, היפערבאלן און פאראבלען. איינע פון די מערסט בארימטע און אפט דיסקוטירטע פארמען איז די פאראבלען. פאראבלען האבן אסאך אנווענדונגען סיי אין טעארעטישע מאטעמאטיק און סיי אין טעגליכן לעבן, ווי צום ביישפיל אין דיזיין פון סאטעליט שיסלען און אויטא-פארליכט רעפלעקטארן.
פֿאַרשטיין פּאַראַבאָלאַ
א פּאַראַבאָלע קען דעפינירט ווערן ווי דער לאָקוס פון פונקטן וואָס זענען גלייך ווייט פון אַ פעסטן פונקט גערופן דער פאָקוס און אַ פעסטער ליניע גערופן די דירעקטריקס. אויב מיר באַטראַכטן אַ פּאַראַבאָלע אין אַ קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם, דאַן איז דער פאָקוס אויף דער x- אָדער y-אַקס, דיפּענדינג אויף דער אָריענטאַציע פון דער פּאַראַבאָלע.
בכלל, די מערסטע פארשפרייטע פאראבאלע גלייכונגען זענען:
– \(y^2 = 4ax \) פֿאַר אַ פּאַראַבאָלע וואָס קוקט רעכטס אָדער לינקס.
– \( x^2 = 4ay \) פֿאַר אַ פּאַראַבאָלע וואָס קוקט אַרויף אָדער אַראָפּ.
בייַשפּיל פֿון פּאַראַבאָלישע קאָנישע סעקציע פּראָבלעמען
דאָ זענען עטלעכע ביישפילן פון פֿראַגעס וואָס האָבן צו טאָן מיט פּאַראַבאָלעס און זייערע דיסקוסיעס.
בייַשפּיל קשיא 1: באַשטימען פאָקוס און דירעקטריקס
פראגע:
געגעבן די גלייכונג פון א פאראבאלע (y² = 8x). באַשטימט די קאָאָרדינאַטן פון דעם פאָקוס און די גלייכונג פון דער דירעקטריקס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿון דער גלייכונג _(y^2 = 8x_), קענען מיר שרײַבן אַז די פּאַראַבאָלע האָט די פֿאָרעם _(y^2 = 4ax_) מיט _(4a = 8_) אַזוי אַז _(a = 2_).
– פאָקוס קאָאָרדינאַטן: דער פאָקוס פֿון אַ פּאַראַבאָלע וואָס ווײַזט רעכטס (\(y^2 = 4ax \)) איז בײַם פּונקט \((a, 0)\) אָדער \((2, 0)\).
– דירעקטריקס גלייכונג: די דירעקטריקס פון דעם פּאַראַבאָל איז אַ ווערטיקאַלע ליניע מיט דער גלייכונג _(x = -a _) אדער _(x = -2 _).
אַזוי, די פאָקוס קאָאָרדינאַטן פון דער פּאַראַבאָלאַ (y² = 8x) זענען (2, 0)) און די דירעקטריקס גלייכונג איז (x = -2).
בייַשפּיל קשיא 2: באַשטימען די גלייכונג פון אַ פּאַראַבאָלאַ פֿון דעם פֿאָקוס און דירעקטריקס
פראגע:
דער פאָקוס פֿון אַ פּאַראַבאָלע איז _((3, 0)_) און די דירעקטריקס איז (x = -3_). באַשטימט די גלייכונג פֿון דער פּאַראַבאָלע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דורך וויסן דעם פאָקוס (3, 0) און די דירעקטריקס x = -3, קענען מיר באַשטימען דעם ווערט פון a פֿון דער באַציִונג צווישן דעם פאָקוס און דירעקטריקס.
– די דיסטאַנץ פֿון דעם פֿאָקוס צום y-אַקס (0) איז \( 3 \).
– דאָס מיינט, די דיסטאַנץ צווישן דעם פאָקוס און דעם דירעקטריקס איז (2a = 3 + 3), אַזוי (2a = 6), און דאַן (a = 3).
די אַלגעמיינע פֿאָרעם פֿון אַ רעכטס-קערנדיקער פּאַראַבאָלע איז \(y^2 = 4ax \).
מיט \(a = 3 \), שטעלן מיר עס אריין אין דער פּאַראַבאָלע גלייכונג:
\[ y^2 = 4(3)x \]
\[ y^2 = 12x \]
אַזוי, די גלייכונג פֿון דער פּאַראַבאָלע וועמענס פֿאָקוס איז (3, 0) און וועמענס דירעקטריקס איז x = -3 איז y² = 12x).
בייַשפּיל קשיא 3: קאַלקולירן ינטערסעקשאַנז מיט קאָאָרדינאַט אַקסעס
פראגע:
באַשטימט דעם פּונקט פֿון דורכשניט פֿון דער פּאַראַבאָלע (y² = -16x) מיט די קאָאָרדינאַט אַקסן.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפינען דעם פונקט פון דורכשניט מיט דער x-אַקס, שטעלן מיר \(y = 0 \) אין דער גלייכונג פון דער פּאַראַבאָלע און געפינען דעם ווערט פון \(x \).
\[ y^2 = -16x \]
אויב (y = 0):
\[ 0 = -16x \]
\[x = 0 \]
אַזוי, דער פונקט פון דורכשניט מיט דער x-אַקס איז \( (0, 0) \).
כדי צו געפינען דעם פונקט פון דורכשניט מיט דער y-אַקס, שטעלן מיר \(x = 0 \) און געפינען דעם ווערט פון \(y \).
\[ y^2 = -16x \]
אויב (x = 0):
\[ y^2 = -16(0) \]
\[ y^2 = 0 \]
\[ y = 0 \]
אַזוי, דער פונקט פון דורכשניט מיט דער y-אַקס איז אויך \( (0, 0) \).
אזוי, די פּאַראַבאָלע (y^2 = -16x) שניידט נאָר די קאָאָרדינאַט אַקסן ביים פּונקט (0, 0).
בייַשפּיל קשיא 4: צייכענען אַ פּאַראַבאָלאַ
פראגע:
צייכנט אַ פּאַראַבאָלע מיט דער גלייכונג \( y^2 = -4x \).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
צו צייכענען אַ פּאַראַבאָלע, דאַרפֿן מיר וויסן עטלעכע וויכטיקע אינפֿאָרמאַציע:
– די פּאַראַבאָלע איז געווענדט לינקס ווײַל דער x קאָעפיציענט איז נעגאַטיוו.
– דער ווערט פון \(4a = -4 \) אַזוי אַז \(a = -1 \).
פֿון דאָ קענען מיר שרײַבן:
– פאָקוס פון פּאַראַבאָלאַ \( (-1, 0) \)
– דירעקטריקס \( x = 1 \)
ביים צייכענען, קענען מיר דעפינירן עטלעכע נאָך פונקטן צו העלפן:
– אויב (y = 2), (x = -(4 × 2²), (x = -1)
– אויב (y = -2), (x = -(4x (-2)^2}{4) = -1)
ניצן פונקטן ווי \((0, 0)\), \((-1, 2)\), און \((-1, -2)\) וועט העלפן אין צייכענען די פּאַראַבאָלע.
קעסימפּולאַן
פֿאַרשטיין קאָנישע סעקשאַנז, ספּעציעל פּאַראַבאָלעס, איז נישט נאָר וויכטיק אין אַקאַדעמיע, נאָר עס האָט אויך פֿילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. דורך די בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס, ווערט פֿון לייענער ערוואַרטעט צו באַקומען אַ טיפֿערן פֿאַרשטאַנד פֿון די אייגנשאַפֿטן און אַנאַליז פֿון פּאַראַבאָלעס. מיט ווײַטערדיקער פּראַקטיק וועט דאָס פֿאַרשטאַנד זיך פֿאַרטיפֿן און פֿאַרלייכטערן פּראָבלעם-לייזונג מיט פּאַראַבאָלעס.
