בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן עלליפּטישע קאָנישע סעקשאַנז
הקדמה
מאטעמאטיק איז א יסודות'דיגע וויסנשאפט וואס שפילט א וויכטיגע ראלע אין פארשידענע אספעקטן פון מענטשלעכן לעבן. א באזונדער שווערע טעמע אין מאטעמאטיק איז געאמעטריע, ספעציפיש קענישע שניטן. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן אזא קענישן שניט: די עליפסע. דער ארטיקל וועט צושטעלן ביישפיל פראבלעמען און אן אויספירליכע דיסקוסיע פון עליפסעס, וואס מיר האפן וועט העלפן סטודענטן פארשטיין דעם טעמע טיפער.
דעפֿיניציע און אייגנשאַפֿטן פֿון עלליפּסעס
איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראגעס, איז עס נוצלעך צו ערשט פארשטיין וואס אן עליפסע איז. אן עליפסע איז די זאמלונג פון אלע פונקטן אין א פלאך וועמענס סומע פון דיסטאנצן פון צוויי פעסטע פונקטן (אירע פאקוסן) איז קאנסטאנט. די צוויי פעסטע פונקטן ווערן גערופן די פאקוסן פון דער עליפסע (F1 און F2).
אין אַלגעברעיִשער פֿאָרעם, קען מען באַשרײַבן אַן עליפּס דורך איר אַלגעמיינער גלייכונג:
[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
וואו \(a \) איז די דיסטאַנץ פֿון צענטער פֿון עליפּס ביזן ווייטסטן פּונקט אויף דער הויפּט אַקס, און \(b \) איז די דיסטאַנץ פֿון צענטער פֿון עליפּס ביזן ווייטסטן פּונקט אויף דער הילפס אַקס.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון עלליפּסעס
פראגע 1:
די גלייכונג פון דער עליפסע איז \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). באַשטימט די לענג פון דער הויפּט אַקס, די לענג פון דער הילפס אַקס, און די קאָאָרדינאַטן פון די פאָקוסן.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די גלייכונג פון דער געגעבענער עליפסע איז \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).
1. באַשטימען די לענג פון די הויפּט אַקס און הילפס אַקס:
\[ a^2 = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5 \]
\[ b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3 \]
אַזוי, די לענג פון דער הויפּט אַקס 2a = 2(5) = 10).
די לענג פון דער הילפס-אַקס \(= 2b = 2(3) = 6\).
2. באַשטימען די פאָקוס קאָאָרדינאַטן:
דער פאָקוס פֿון דער עליפּס ליגט אויף דער הויפּט אַקס אין אַ דיסטאַנץ פֿון דעם צענטער פֿון \(\sqrt{a^2 – b^2}\).
[c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \]
זינט די הויפּט אַקס פון דעם עליפּס איז די x-אַקס, די פאָקוס קאָאָרדינאַטן זענען:
((c, 0)) און (-c, 0)) אדער (4, 0)) און (-4, 0)).
פראגע 2:
געגעבן אַן עליפּס מיטן צענטער ביי \( (0, 0) \) און הויפּט אַקס אויף דער x-אַקס, האט אַ הויפּט אַקס לענג פון 12 און אַ הילפס אַקס לענג פון 8. באַשטימען די גלייכונג פון דער עליפּס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. געגעבן די לענג פון דער הויפּט אַקס (2a = 12), דעמאָלט:
[a = \frac{12}{2} = 6 \]
2. געגעבן די לענג פון די הילפס-אקס (2b = 8), דעמאָלט:
[b = \frac{8}{2} = 4 \]
די גלייכונג פון אַן עליפּס מיטן צענטער ביי \( (0, 0) \) און הויפּט אַקס אויף דער x-אַקס איז:
[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
שטעל אריין \(a \) און \(b \) אין דער גלייכונג:
[\frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \]
אַזוי, די גלייכונג פון דער עליפּס איז:
[\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \]
פראגע 3:
באַשטימט די עקסצענטרישקייט פון דער עליפּס (\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די עקסצענטריציטעט (\(e \)) פון אַן עליפּס ווערט געגעבן דורך דער גלייכונג:
[e = \frac{c}{a} \]
וואו (c = \sqrt{a^2 – b^2}).
פֿון דער עליפּס גלייכונג באַקומען מיר:
\[ a^2 = 49 \Rightarrow a = 7 \]
\[ b^2 = 36 \רעכטער אַרראָו b = 6 \]
איצט, געפינען מיר \(c \):
[c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 36} = \sqrt{13} \]
עקסצענטריציטעט (\(e \)):
[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
אַזוי, די עקסצענטרישקייט פון דער עליפּס איז:
\[ e = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
פראגע 4:
אויב די צוויי פאָקוס־פּונקטן פון דער עליפּס געפינען זיך ביי _( (-5, 0) _) און _( (5, 0) _), און די לענג פון דער הויפּט־אַקס פון דער עליפּס איז 12, באַשטימט די גלייכונג פון דער עליפּס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. באַשטימען \(a \):
די פּאַנמאַסן ג הויפּט אַקס איז 12, דעמאָלט (2a = 12).
אַזוי (a = 12/2 = 6).
2. באַשטימען \(c \):
די צוויי פאָקוס פונקטן זענען \( (-5, 0) \) און \( (5, 0) \), דעמאָלט:
\[c = 5 \]
3. באַשטימען \(b \):
ניץ די באַציִונג \(c = \sqrt{a^2 – b^2} \):
\[ 5 = \sqrt{6^2 – b^2} \]
\[ 25 = 36 – b^2 \]
\[ b^2 = 36 – 25 \]
\[ b^2 = 11 \]
4. צוריקגעבן די גלייכונג פון דער עליפסע:
די גלייכונג פון אַן עליפּס איז:
[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
דורך אריינשטעלן \(a \) און \(b \):
[\frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{\sqrt{11}^2} = 1 \]
[\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
אַזוי, די גלייכונג פון דער עליפּס איז:
[\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
קלאָוזינג
דורך דער דיסקוסיע פון די אויבנדערמאנטע פראבלעמען, קענען מיר זען אז פארשטיין עליפסעס נעמט אריין מער ווי נאר שטודירן זייערע גלייכונגען און גראפן, נאר אויך ווי די אייגנשאפטן און עלעמענטן פון עליפסעס זענען פארבונדן איינער מיטן צווייטן. באהערשן דעם מאטעריאל וועט אומצווייפלט זיין זייער נוצלעך אין פארשידענע פעלדער פון אנווענדונג, ווי פיזיק, אסטראנאמיע, און אנדערע אינזשעניריע פעלדער. האפענטליך, דורך די ביישפיל פראבלעמען און דיסקוסיעס, קענט איר בעסער פארשטיין די גרונט קאנצעפטן און אנווענדונגען פון עלליפטישע קאנישע סעקציעס.
דער אַרטיקל איז געשריבן געוואָרן אין דער האָפֿענונג צו געבן אַ טיפֿער פֿאַרשטאַנד פֿון עליפּסן. פֿאָרזעצט צו פּראַקטיצירן און צווייפֿלט נישט צו אויספֿאָרשן מער פֿאַרבונדענע פּראָבלעמען צו פֿאַרבעסערן אייערע פֿעיִקייטן און וויסן!
