בייַשפּיל פֿון דיסקוסיע פֿראַגעס וועגן אַנאַליטישע געאָמעטריע
הקדמה
אנאליטישע געאמעטריע איז א צווייג פון מאטעמאטיק וואס קאמבינירט אלגעברע און געאמעטריע צו לייזן פראבלעמען וואס האבן צו טון מיט פלאץ און פארעם. דאס איז א שטארק געצייג וואס ערלויבט אונז צו אנאליזירן געאמעטרישע פראבלעמען ניצנדיג גלייכונגען און קאארדינאטן. דער ארטיקל וועט דיסקוטירן עטליכע ביישפילן פון אנאליטישע געאמעטריע שטח פראבלעמען און זיי דיסקוטירן אין דעטאל צו פארגרינגערן א טיפערן פארשטאנד.
בייַשפּיל קשיא 1: ליניע גלייכונג
פראגע:
געגעבן צוויי פונקטן A(1, 2) און B(3, 7). באַשטימט די גלייכונג פון דער ליניע וואָס גייט דורך די צוויי פונקטן.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפינען די גלייכונג פון א ליניע וואס גייט דורך צוויי פונקטן, קענען מיר ניצן די גראַדיענט (סלאָופּ) פאָרמולע m:
\[ מ = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
מיט פונקט A(x1, y1) = (1, 2) און פונקט B(x2, y2) = (3, 7):
[מ = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
ווייטער, ניצן מיר די פאָרמולע פֿאַר דער גלייכונג פֿון דער ליניע:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
איין פונקט סובסטיטוציע, למשל פונקט A(1, 2):
[y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1)]
קאָנווערטירן די פאָרעם צו אַן עקספּליציטע גלייכונג פֿאַר y:
[y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
[y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
[y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
אַזוי, די גלייכונג פון דער ליניע איז:
[y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
בייַשפּיל קשיא 2: קרייז
פראגע:
באַשטימט די גלייכונג פֿון אַ קרייז מיטן צענטער אין פּונקט C(-2, 3) און מיט אַ ראַדיוס פֿון 4.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די אַלגעמיינע גלייכונג פֿון אַ קרייז מיטן צענטער ביי (h, k) און ראַדיוס r איז:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
פון דער פראגע, דער צענטער פון דעם קרייז (h, k) = (-2, 3) און דער ראַדיוס r = 4. אַזוי,
\[ (רענטגענ + 2) ^ 2 + (י - 3) ^ 2 = 4 ^ 2 \]
\[ (רענטגענ + 2) ^ 2 + (י - 3) ^ 2 = 16 \]
אַזוי, די גלייכונג פון דעם קרייז איז:
\[ (רענטגענ + 2) ^ 2 + (י - 3) ^ 2 = 16 \]
בייַשפּיל קשיא 3: פּאַראַבאָלאַ
פראגע:
באַשטימט די גלייכונג פון אַ ווערטיקאַלער פּאַראַבאָלע מיטן שפּיץ ביי (1, -2) און פֿאָקוס ביי (1, 0).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿאַר אַ ווערטיקאַלער פּאַראַבאָלע מיט אַ שפּיץ (h, k), איז די אַלגעמיינע גלייכונג:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
געגעבן דעם שפּיץ (h, k) = (1, -2), דאַרפֿן מיר געפֿינען דעם ווערט פֿון p. דער פֿאָקוס פֿון דער פּאַראַבאָלע איז (h, k + p), און פֿון דער פּראָבלעם איז דער פֿאָקוס (1, 0):
\[k + p = 0 – (-2) = 2 \]
אַזוי אַז:
\[p = 2 \]
אַזוי, די אַלגעמיינע גלייכונג ווערט:
\[ (x – 1)^2 = 4 ⋅ 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
אַזוי, די גלייכונג פון דער פּאַראַבאָלאַ איז:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
בייַשפּיל קשיא 4: עליפּס
פראגע:
געגעבן אַן עליפּס מיטן צענטער ביי פּונקט (0, 0), גרויסער אַקס לענג 10 און קלענערער אַקס 6. באַשטימט די גלייכונג פון דער עליפּס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער צענטער פון דער עליפסע (h, k) איז (0, 0), די לענג פון דער גרויסער אַקס 2a = 10 אַזוי אַז a = 5, און די לענג פון דער קלענערער אַקס 2b = 6 אַזוי אַז b = 3. די אַלגעמיינע גלייכונג פֿאַר אַן עליפסע מיט אַ צענטער ביי (0, 0) איז:
[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
שטעלט אריין די ווערטן פון a און b:
[\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
אַזוי, די גלייכונג פון דער עליפּס איז:
[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
בייַשפּיל קשיא 5: היפּערבאָלאַ
פראגע:
געגעבן אַ היפּערבאָלע מיטן צענטער ביי (1, -3), איז די לענג פון דער טראַנסווערסאַלער אַקס 8 און די לענג פון דער קאָניוגאַט אַקס איז 6. באַשטימט די גלייכונג פון דער היפּערבאָלע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿאַר אַ היפּערבאָלע מיט צענטער (h, k) און האָריזאָנטאַלער טראַנסווערסאַלער אַקס, איז די אַלגעמיינע גלייכונג:
[\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
דער צענטער פון דער היפּערבאָלע (h, k) איז (1, -3), די לענג פון דער טראַנסווערסאַלער אַקס איז 2a = 8 אַזוי אַז a = 4, און די לענג פון דער קאָניוגאַט אַקס איז 2b = 6 אַזוי אַז b = 3. דעריבער, די גלייכונג פון דער היפּערבאָלע איז:
[\frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
[\frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
אַזוי, די גלייכונג פון דער היפּערבאָלאַ איז:
[\frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
קעסימפּולאַן
אנאליטישע געאמעטריע איז א שטארקע מעטאד פארן אנאליזירן געאמעטרישע פארמען און סטרוקטורן ניצנדיק אלגעבראישע גלייכונגען. דורך פארשטיין די גרונטלעכע קאנצעפטן פון גלייכונגען פון ליניעס, קרייזן, פאראבאלן, עליפסעס און היפערבאלן, קענען מיר לייכט לייזן א פארשיידנקייט פון געאמעטריע פראבלעמען. דער ארטיקל גיט ביישפילן און דיסקוסיעס פון וויכטיגע פראבלעמען אין אנאליטישע געאמעטריע צו העלפן פארטיפן אייער פארשטאנד. צוגעלייגטע פראקטיק פראבלעמען קענען העלפן פארשטארקן און פארברייטערן אייער פארשטאנד פון דעם מאטעריאל.
