בייַשפּיל פֿראַגעס דיסקוטירן די בינאָמיאַל דיסטריביושאַן פֿונקציע
די בינאמיאלע פארטיילונג איז א דיסקרעטע ווארשיינליכקייט פארטיילונג וואס באשרייבט די צאל הצלחות אין אן עקספערימענט וואס באשטייט פון א צאל אומאפהענגיקע פארזוכן מיט צוויי מעגלעכע רעזולטאטן: הצלחה און דורכפאל. יעדער פארזוך ווערט גערופן א פארזוך, און די בינאמיאלע פארטיילונג ווערט אפט גענוצט אין סיטואציעס וואו די צאל הצלחות איבער א צאל אומאפהענגיקע פארזוכן איז אינטערעסאנט. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן די גרונטלעכע קאנצעפטן פון דער בינאמיאלע פארטיילונג און צושטעלן ביישפילן און לייזונגען.
גרונטלעכע קאנצעפטן פון בינאמיאל דיסטריביוציע פונקציע
איידער מיר גייען אריין אין די ביישפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע, לאָמיר דיסקוטירן עטלעכע גרונטלעכע קאָנצעפּטן פֿאַרבונדן מיט דער בינאָמיאַל פֿאַרטיילונג.
1. דעפֿיניציע: די בינאמיאלע פֿאַרטיילונג ווערט דעפֿינירט ווי די סומע פֿון דערפֿאָלגן אין 'n' אומאָפּהענגיקע פּראָבעס, וואו יעדער פּראָבע האָט צוויי מעגלעכע רעזולטאַטן: דערפֿאָלג (מיט וואַרשיינלעכקייט p) אָדער דורכפֿאַל (מיט וואַרשיינלעכקייט q = 1 – p).
2. וואַרשיינלעכקייט פונקציע: די וואַרשיינלעכקייט פונקציע פון דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז:
\[
פּ(רענטגענ = ק) = \בינאָם{n}{ק} פּ^ק (1-פּ)^{נק}
\]
די מאנא:
– \( P(X = k) \) איז די ווארשיינליכקייט פון האבן k סוקסעסן אין n פארזוכן.
– \( \binom{n}{k} \) איז אַ קאָמבינאַציע פֿון n נעמען k, וואָס איז דעפֿינירט ווי \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) איז די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אויף יעדן פּרוּוו.
– \( (1-p) \) איז די ווארשיינליכקייט פון דורכפאל אויף יעדן פארזוך.
3. ערוואַרטעטער ווערט און וואַריאַנס:
– דער ערוואַרטעטער ווערט (דורכשניט) פֿון דער בינאָמיאַלער פֿאַרטיילונג איז \( \mu = np \).
– די וואַריאַנס פון דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז ∫(∫sigma² = np(1-p)∫).
איצט, לאָמיר אָנווענדן די קאָנצעפּטן אין אַ בייַשפּיל פּראָבלעם צו צושטעלן אַ טיפֿערן פֿאַרשטאַנד.
בייַשפּיל קשיא 1: גרונטלעכע קאַלקולאַציעס פון בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
פראגע:
א פירמע פראדוצירט עלעקטראנישע קאמפאנענטן מיט א 0.95 ווארשיינליכקייט אז יעדער קאמפאנענט גייט דורכ א קוואליטעט טעסט. אויב 10 קאמפאנענטן ווערן פראדוצירט, רעכנט אויס די ווארשיינליכקייט אז פונקט 8 קאמפאנענטן גייען דורכ דעם קוואליטעט טעסט.
דיסקוסיע:
מיר קענען ניצן די בינאמיאלע פארטיילונג פארמולע צו לייזן דעם פראבלעם. ערשטנס, אידענטיפיצירן מיר די פאלגנדע פאראמעטערס:
– \(n \) (גאַנץ נומער פון פּראָבעס) = 10
– \(k \) (נומער פון סוקסעסן) = 8
– \(p \) (ווארשיינלעכקייט פון הצלחה) = 0.95
– \(q \) (ווארשיינלעכקייט פון דורכפאל) = 1 – 0.95 = 0.05
דערנאך לייגט אריין די ווערטן אין די בינאמיאלע פארטיילונג פארמל:
\[
P(X = 8) = ∫(10/8) (0.95)^8 (0.05)^2
\]
ערשטנס, רעכנט אויס די קאָמבינאַציע \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \מאל 9 \מאל 8!}{8! \מאל 2!} = \frac{10 \מאל 9}{2 \מאל 1} = 45
\]
דערנאך, רעכנט אויס די ווארשיינלעכקייטן \( (0.95)^8 \) און \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \אומגעפער 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
צום סוף, טאפלט אלע יענע ווערטן צו באקומען:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 × 0.0744
\]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז פּונקט 8 פֿון 10 קאָמפּאָנענטן דורכגיין דעם קוואַליטעט טעסט איז בערך 0.0744 אָדער 7.44%.
בייַשפּיל קשיא 2: קומולאַטיווע וואַרשיינלעכקייט
פראגע:
נאך אלץ מיט דער זעלבער פירמע, רעכנט אויס די ווארשיינליכקייט אז לפחות 9 פון 10 קאמפאנענטן וועלן דורכגיין דעם קוואַליטעט טעסט.
דיסקוסיע:
כדי צו לייזן דעם פראבלעם, דארפן מיר אויסרעכענען די קומולאַטיווע וואַרשיינלעכקייט. די וואַרשיינלעכקייט אַז לפּחות 9 פֿון 10 קאָמפּאָנענטן דורכגיין דעם טעסט מיינט אַז מיר רעכענען \( P(X ≤ 9) \), וואָס קען געשריבן ווערן ווי:
\[
פּ(רענטגענ \געק 9) = פּ(רענטגענ = 9) + פּ(רענטגענ = 10)
\]
ניצן די בינאמיאלע פארטיילונג פארמולע:
\[
P(X = 9) = ∫(10/9) (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = ∫10/10 (0.95)^10 (0.05)^0
\]
ערשטנס, רעכנט אויס די קאָמבינאַציע פֿאַר יעדן פאַל:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
10 = 1
\]
דערנאך, רעכנט אויס די ווארשיינלעכקייטן פאר \(P(X = 9) \) און \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \אומגעפער 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 × 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \אומגעפער 0.5987
\]
\[
פּ(X = 10) = 0.5987
\]
גאַנץ וואַרשיינלעכקייט פֿאַר \( P(X ≤ 9) \):
\[
P(X ≈ 9) = 0.3151 + 0.5987 = 0.9138
\]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז לפּחות 9 פֿון 10 קאָמפּאָנענטן דורכגיין דעם קוואַליטעט טעסט איז בערך 0.9138 אָדער 91.38%.
בייַשפּיל קשיא 3: ערוואַרטע ווערט און וואַריאַנס
פראגע:
רעכנט אויס דעם ערוואַרטעטן ווערט און וואַריאַנס פון דער צאָל קאָמפּאָנענטן וואָס דורכגיין דעם קוואַליטעט טעסט פון 10 פּראָדוצירטע קאָמפּאָנענטן, מיט אַ וואַרשיינלעכקייט פון דורכגיין פון 0.95.
דיסקוסיע:
ניצט די פאלגענדע פאָרמולע:
– ערוואַרטעטער ווערט (מיטל) \( \mu = np \)
– וואַריאַנס ( \sigma^2 = np(1-p) \)
מיט n = 10 און p = 0.95):
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
סיגמא^2 = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
אַלזאָ, דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון דער צאָל קאָמפּאָנענטן וואָס דורכגיין דעם קוואַליטעט־טעסט איז 9.5, און די וואַריאַנס איז 0.475.
קעסימפּולאַן
דורך די דריי ביישפיל פראבלעמען אויבן, האבן מיר דיסקוטירט ווי אזוי צו רעכענען ווארשיינליכקייט ניצנדיג די בינאמיאל פארטיילונג פאר פארשידענע סיטואציעס: רעכענען גענויע ווארשיינליכקייט, קומולאַטיווע ווארשיינליכקייט, און רעכענען ערווארטעטע ווערט און וואריאנץ. וויסן פון די בינאמיאל פארטיילונג איז נוצלעך אין פארשידענע פעלדער, ווי פאבריקאציע, מעדיצינישע פארשונג, און סאציאלע סטאטיסטיק, וואו די רעזולטאטן פון איבערגעחזרטע עקספערימענטן מיט צוויי מעגלעכע רעזולטאטן קענען אנאליזירט ווערן צו העלפן באשלוס-מאכן. האפענטליך, די ביישפיל פראבלעמען און דיסקוסיעס וואס ווערן צוגעשטעלט וועלן העלפן ווייטער פארשטענדעניש פון די בינאמיאל פארטיילונג.
