ביישפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן מאַטעמאַטישער דילאַציע

בייַשפּיל פֿון מאַטעמאַטישע דיליישאַן דיסקוסיע פֿראַגעס

דיליישאַן, אדער טראַנספאָרמאַציע וואָס באַטראַפֿט פֿאַרגרעסערונג און רעדוקציע, איז אַ וויכטיקער באַגריף אין טראַנספאָרמאַציע געאָמעטריע. דער באַגריף דערשיינט אָפט אין פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן, ווי צום ביישפּיל די שטודיע פֿון מוסטערן, סימעטריע, און פֿיל אַנדערע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן דעם באַגריף פֿון דיליישאַן אין מאַטעמאַטיק און צושטעלן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און לייזונגען.

וואָס איז דיליישאַן?

דיליישאַן איז אַ געאמעטרישע טראַנספאָרמאַציע וואָס ינוואַלווז פאַרגרעסערן אָדער רעדוצירן אַ פיגור מיט אַ געוויסן סקאַלע פאַקטאָר. אין דיליישאַן, וועט אַ פּונקט אויף אַ געאמעטרישער פיגור זיך אַוועק אָדער נענטער צו דעם צענטער פּונקט פון דיליישאַן מיט דעם זעלבן פאַקטאָר. דיליישאַן קען פאַרגרעסערן (סקאַלע פאַקטאָר > 1), רעדוצירן (0 < סקאַלע פאַקטאָר < 1), אָדער אפילו שפּיגלען די פיגור אויב דער סקאַלע פאַקטאָר איז נעגאַטיוו. נאָטאַציעס אין דיליישאַן ווען איר דורכפירט דיליישאַן, עטלעכע נאָטאַציעס וואָס ווערן אָפט געניצט אַרייַננעמען: - צענטער פון דיליישאַן (P): א פיקסירטער פּונקט וואָס ווערט געניצט ווי אַ רעפערענץ אין דעם דיליישאַן פּראָצעס. - סקאַלע פאַקטאָר (k): די פאַרהעלטעניש פון לענגקטס וואָס באַשטימט ווי פיל פאַרגרעסערונג אָדער רעדוקציע פּאַסירט. אויב \( k > 1 \), וועט דער אָביעקט ווערן פאַרגרעסערט. אויב \( 0 < k < 1 \), וועט דער אָביעקט ווערן רעדוצירט.

זאגן מיר אז פונקט A מיט קאארדינאטן (x, y) איז פארברייטערט צו פונקט A' מיט א סקאלע פאקטאר פון k און דער צענטער פון פארברייטערונג ביי O (0,0), דעמאלט זענען די קאארדינאטן פון A' (kx, ky). פארברייטערונג פארמל צו געפינען די נייע קאארדינאטן פון דעם פארברייטערטן רעזולטאט פון א פונקט, די פארמל וואס ווערט גענוצט איז: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] וואו (x, y) זענען די ערשטע קאארדינאטן פון דעם פונקט און k איז דער סקאלע פאקטאר. ביישפיל פראגעס און דיסקוסיע ביישפיל פראגע 1 פונקט A (2, 3) איז פארברייטערט מיט א סקאלע פאקטאר פון 2 און דער צענטער פון פארברייטערונג איז ביי O (0, 0). באשטימט די קאארדינאטן פון פונקט A נאך פארברייטערונג. דיסקוסיע: די קאארדינאטן פון פונקט A זענען (2, 3), דער סקאלע פאקטאר איז k = 2, און דער צענטער פון פארברייטערונג איז פונקט O (0, 0). לויט דער דיליישאַן פאָרמולע: [A' = (kx, ky) = (2 ⋅2, 2 ⋅3) = (4, 6)] אַזוי, די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט A נאָך דיליישאַן זענען (4, 6). בייַשפּיל קשיא 2 פּונקט B (-1, 4) איז דילייטיד מיט אַ סקאַלע פאַקטאָר פון 0,5 און דער צענטער פון דיליישאַן איז ביי O (0, 0). באַשטימען די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט B נאָך דיליישאַן. לייזונג: די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט B זענען (-1, 4), דער סקאַלע פאַקטאָר k = 0,5, און דער צענטער פון דיליישאַן איז פּונקט O (0, 0). לויט דער דיליישאַן פאָרמולע: [B' = (kx, ky) = (0,5 ⋅-1, 0,5 ⋅4) = (-0,5, 2)] אַלזאָ, די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט B נאָך דיליישאַן זענען (-0,5, 2). בייַשפּיל קשיא 3 פּונקט C (3, -2) איז דילייטיד מיט אַ סקאַלע פאַקטאָר פון -1 און דער צענטער פון דיליישאַן איז ביי O (0, 0). באַשטימען די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט C נאָך דיליישאַן. לייזונג: די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט C זענען (3, -2), דער סקאַלע פאַקטאָר k = -1, און דער צענטער פון דיליישאַן איז ביי פּונקט O (0, 0). לויט דער דיליישאַן פאָרמולע: [C' = (kx, ky) = (-1 ⋅ 3, -1 ⋅ -2) = (-3, 2)] אַלזאָ, די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט C נאָך דיליישאַן זענען (-3, 2). בייַשפּיל קשיא 4 פּונקט D (2, 5) איז דילייטיד מיט אַ סקאַלע פאַקטאָר פון 3 און דער צענטער פון דיליישאַן איז ביי P (1, 1). באַשטימען די קאָאָרדינאַטן פון פּונקט D נאָך דיליישאַן. דיסקוסיע: די קאארדינאטן פון פונקט D זענען (2, 5), דער סקאלע פאקטאר k = 3, און דער צענטער פון דילאציע איז פונקט P (1, 1). ערשטנס, מיר פארשיבן פונקט D צו דער קאארדינאטן סיסטעם פון דעם צענטער פון דילאציע P (1, 1): די רעלאטיווע קאארדינאטן פון D צו P זענען: [D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4)] דורכפירן א דילאציע מיט סקאלע פאקטאר k ביי פונקט D_r: [D_r' = (kx, ky) = (3 ⋅1, 3 ⋅4) = (3, 12)] צום סוף, ברענגען מיר צוריק פונקט D_r' צום אנפאנגס קאארדינאטן סיסטעם: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] אזוי, די קאארדינאטן פון פונקט D נאך דילאציע זענען (4, 13). ביישפיל פראגע 5 פונקט E (-2, -3) איז דילירט מיט א סקאלע פאקטאר פון 0,25 און דער צענטער פון דילאציע איז ביי P (-1, -1). באשטימט די קאארדינאטן פון פונקט E נאך דילאציע. לייזונג: די קאארדינאטן פון פונקט E זענען (-2, -3), דער סקאלע פאקטאר k = 0,25, און דער צענטער פון דילאציע איז פונקט P (-1, -1). ערשטנס, מיר פארשיבן פונקט E צום פארברייטערונג צענטער קאארדינאטן סיסטעם P (-1, -1): די רעלאטיווע קאארדינאטן פון E צו P זענען: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] דורכפירן א פארברייטערונג מיט א סקאלע פאקטאר k אויף פונקט E_r: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 ⋅ -1, 0,25 ⋅ -2) = (-0,25, -0,5) \] צום סוף, מיר צוריקברענגען פונקט E_r' צום אריגינעלן קאארדינאטן סיסטעם: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] אזוי, די קאארדינאטן פון פונקט E נאך פארברייטערונג זענען (-1,25, -1,5). מסקנא: דיליישאַן איז אַ געאמעטרישע טראַנספאָרמאַציע וואָס פאַרגרעסערט אָדער פאַרקלענערט אַ געאמעטרישע פיגור מיט אַ ספּעציפֿישן סקאַלע פאַקטאָר. פֿאַרשטיין דעם באַגריף און אַפּליקאַציע פון ​​דיליישאַן איז זייער נוצלעך אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פון שטודיע, ספּעציעל אין געאמעטריע. מיט ביישפילן און דיסקוסיעס, האָפֿט מען אַז דאָס וועט העלפֿן סטודענטן און לייענער בעסער פֿאַרשטיין און אַפּליקירן דעם באַגריף פון דיליישאַן אין פֿאַרשידענע מאַטעמאַטישע סיטואַציעס.