בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן אומענדלעכע געאָמעטרישע סעריעס

בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן אומענדלעכע געאָמעטרישע סעריעס

אן אומענדלעכע געאמעטרישע סעריע איז א סעריע וואס נעמט אריין אן אומענדלעכע צאל טערמינען אין א געאמעטרישער פראגרעסיע. די סעריעס האבן ספעציפישע באדערפענישן כדי זייער סומע (אדער לימיט) זאל ​​זיין אויסרעכענבאר. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן דעם גרונט-באגריף פון אומענדלעכע געאמעטרישע סעריעס, די באדערפענישן פארן קאנסטרואירן זיי, און עטלעכע ביישפיל פראבלעמען און זייערע לייזונגען.

גרונטלעכע קאנצעפטן פון אומענדלעכע געאמעטרישע סעריעס

אין עיקר, איז א געאמעטרישע סעריע א סיקווענץ פון נומערן אין וועלכע יעדער טערמין נאך דעם ערשטן ווערט באקומען דורך פארמערן דעם פריערדיגן טערמין מיט א קאנסטאנט גערופן די געמיינזאמע פראפארציע (r). לאמיר זאגן מיר האבן א געאמעטרישע סעריע:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]

פֿאַר אַן אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע, באַטראַכטן מיר די סומע פֿון אַלע טערמינען אין דער סעריע. די סומע פֿון דער סעריע ווערט דעפֿינירט ווי:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ∫]

די סומע פון ​​אַן אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע קאָנווערדזשירט (האט אַ באַשטימטע סומע) אויב און נאָר אויב די פאַרהעלטעניש ∫( |r| < 1 ). אויב ∫( |r| ∫geq 1 ), דאַן דיווערדזשירט די סעריע און האט נישט קיין באַשטימטע סומע (גייט צו אומענדלעכקייט).

אויב \( |r| < 1 \), קען מען דעפינירן די סומע S פון אן אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע אלס: \[ S = \frac{a}{1-r} \] וואו: - \( S \) איז די סומע פון ​​דער סעריע, - \( a \) איז דער ערשטער טערמין, - \( r \) איז די פראפארציע. ביישפיל פראגעס און דיסקוסיע ביישפיל פראגע 1 פראגע: געפינט די סומע פון ​​דער אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע פאר דער פאלגנדער סעריע: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] דיסקוסיע: לאמיר אידענטיפיצירן די וויכטיגע עלעמענטן פון דער סעריע: דער ערשטער טערמין \( a = 3 \) די פראפארציע \( r \) קען מען געפינען דורך צעטיילן דעם צווייטן טערמין מיטן ערשטן טערמין, דאס הייסט: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] ווייל \( |r| = 0.5 < 1 \), קאנווערדזשירט די סעריע און מיר קענען אויסרעכענען די סומע פון ​​דער אומענדלעכער סעריע. ניצט די פֿאָרמל פֿאַר דער סומע פֿון אַן אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] אַלזאָ, די סומע פֿון דער אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע איז 6. בייַשפּיל פֿראַגע 2 פֿראַגע: געפֿינט די סומע פֿון אַן אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע מיטן ערשטן טערמין 8 און דעם פֿאַרהעלטעניש \( r = -\frac{1}{3} \). דיסקוסיע: דער ערשטער טערמין \( a = 8 \) פאַרהעלטעניש \( r = -\frac{1}{3} \) זינט \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), קאָנווערדזשירט די סעריע און מיר קענען רעכענען די סומע פון ​​דער אומענדלעכער סעריע. ניצט די פאָרמולע פֿאַר דער סומע פון ​​אַן אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] אַזוי, די סומע פון ​​דער אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע איז 6. בייַשפּיל קשיא 3 קשיא: צי האט די פאלגענדע סעריע אַן אומענדלעכע סומע? אויב יאָ, געפינט די סומע. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] דיסקוסיע: דער ערשטער טערמין \( a = 5 \) די פאַרהעלטעניש \( r \) קען מען געפֿינען דורך צעטיילן דעם צווייטן טערמין מיטן ערשטן טערמין, דאָס הייסט: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] ווייל \( |r| = 0.5 < 1 \), קאָנווערגירט די סעריע און מיר קענען רעכענען די סומע פון ​​דער אומענדלעכער סעריע. ניצט די פֿאָרמולע פֿאַר דער סומע פֿון אַן אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] אַזוי, די סומע פֿון דער אומענדלעכער געאָמעטרישער סעריע איז 10. בייַשפּיל פֿראַגע 4 פֿראַגע: באַשטימט צי די פֿאָלגנדיקע סעריע איז קאָנווערגענט אָדער דיווערגענט: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] דיסקוסיע: דער ערשטער טערמין (a = 4). מען קען געפינען דעם פאַרהעלטעניש (r) דורך צעטיילן דעם צווייטן טערמין מיטן ערשטן טערמין, דאָס הייסט: [r = -6}{4 = -1.5]. זינט (r = 1.5 > 1), איז די סעריע דיווערדזשענט און האט נישט קיין באַשטימטע סומע.

אַזוי, די סעריע איז אַנדערש.

בייַשפּיל קשיא 5
פראגע: לאמיר זאגן אז איר האט די פאלגנדע אומענדלעכע סעריע:
[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ∫]
באַשטימען די סומע פון ​​דער סעריע.

פֿאַרעפֿנטלעכט:
ערשטער טערמין (a = 1/2)
די פּראָפּאָרציע r קען מען געפֿינען דורך צעטיילן דעם צווייטן טערמין מיטן ערשטן טערמין, דאָס הייסט:
r = \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]

זינט _( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), קאנווערדזשירט די סעריע און מיר קענען אויסרעכענען די סומע פון ​​דער אומענדלעכער סעריע. ניצט די פארמל פאר דער סומע פון ​​אן אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] אזוי, די סומע פון ​​דער אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע איז 1. מסקנא אן אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע איז א וויכטיגער מאטעמאטישער באגריף וואס האט ברייטע אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער. צו באשטימען די סומע פון ​​אן אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע, מוזן מיר זיכער מאכן אז די פראפארציע \( |r| < 1 \). אזוי, קען די סומע פון ​​דער סעריע אויסגערעכנט ווערן מיט א פשוטער און גלייכער פארמל. פון די ביישפיל פראבלעמען אויבן, קענען מיר זען אז די טעכניק מאכט עס זייער גרינג צו לייזן פראבלעמען וואס האבן צו טון מיט אומענדלעכער געאמעטרישער סעריע.