בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן אַריטמעטישע סעריעס
אריטמעטישע סיקווענצן זענען א יסודותדיקער באגריף אין מאטעמאטיק וואס ערשיינט אָפט אין פארשידענע פּראָבלעמען, סיי אין מיטלשול און סיי אין העכערער בילדונג. דער באגריף באַשטייט פון א סיקווענץ פון נומערן וואו יעדער טערמין איז דער רעזולטאַט פון צולייגן אדער אַראָפּנעמען א קאָנסטאַנטע נומער פון דעם פריערדיקן טערמין. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען צו ווייטער פֿאַרשטיין דעם באגריף פון אריטמעטישע סיקווענצן.
פֿאַרשטיין אַריטמעטישע סעריעס
אן אריטמעטישע סעריע איז א סעריע וואס האט א קאנסטאנטן אונטערשייד (דיפערענץ) צווישן צוויי נאכאנאנדע טערמינען. למשל, אויב אן אריטמעטישע סעריע האט דעם ערשטן טערמין \(a\) און דעם אונטערשייד \(d\), דעמאלט קען מען שרייבן די טערמינען אזוי:
\[a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
אויב מיר ווילן געפֿינען דעם n-טן טערמין פֿון דער סעריע, איז די פֿאָרמולע פֿאַר דעם n-טן טערמין (\(U_n\)):
\[ U_n = a + (n-1)d \]
דערווייל, קען מען אויסרעכענען די סומע פון די ערשטע n טערמינען פון אן אריטמעטישע סעריע (\(S_n\)) ניצנדיק די פארמל:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
בייַשפּיל קשיא 1
פראגע: געגעבן אן אריטמעטישע סעריע מיטן ערשטן טערמין \(a = 5\) און דעם געמיינזאמען חילוק \(d = 3\). געפינט דעם 10טן טערמין פון דער סעריע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפינען דעם 10טן טערמין (\(U_{10}\)), קענען מיר ניצן די n-טע טערמין פאָרמולע:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 ⋅ 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
אַלזאָ, דער 10טער טערמין פֿון דער סעריע איז 32.
בייַשפּיל קשיא 2
פראגע: געפינט די סומע פון די ערשטע 15 טערמינען פון דער אריטמעטישער סעריע וועמענס ערשטער טערמין איז \(a = 4\) און געמיינזאמע חילוק איז \(d = 7\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפינען די סומע פון די ערשטע 15 טערמינען (\(S_{15}\)), קענען מיר ניצן די פארמל פאר די סומע פון די ערשטע n טערמינען:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
[S_{15} = \frac{15}{2} (2 ⋅4 + 14 ⋅7)]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
[S_{15} = \frac{15}{2} ≈ 106 \]
\[ S_{15} = 15 ⋅ 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
אַלזאָ, די סומע פֿון די ערשטע 15 טערמינען פֿון דער סעריע איז 795.
בייַשפּיל קשיא 3
פראגע: מען ווייסט אז דער 5טער טערמין פון אן אריטמעטישע סעריע איז 20 און דער 12טער טערמין איז 48. געפינט דעם ערשטן טערמין (\(a\)) און דעם געמיינזאמען אונטערשייד (\(d\)) פון דער סעריע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פון די געגעבענע באדינגונגען:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
מיר האָבן צוויי לינעאַרע גלייכונגען מיט צוויי וועריאַבאַלן וואָס מיר קענען סאָלווען:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
פֿון גלייכונג 1, קענען מיר אויסדריקן \(a\) אין טערמינען פֿון \(d\):
\[a = 20 – 4d \]
איצט שטעלן מיר אריין \(a\) אין גלייכונג 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ד = 4 \]
איצט שטעלן מיר אריין דעם ווערט פון \(d\) אין דער גלייכונג \(a = 20 – 4d\):
[a = 20 – 4 ⋅ 4]
\[a = 20 – 16 \]
\[a = 4 \]
אַלזאָ, דער ערשטער טערמין פֿון דער סעריע איז 4 און דער געמיינזאַמער אונטערשייד איז 4.
בייַשפּיל קשיא 4
פראגע: וויפיל טערמינען זענען נויטיג פאר אן אריטמעטישע סעריע מיטן ערשטן טערמין \(a = 2\) און געמיינזאמען חילוק \(d = 5\) צו סומירן צו 200?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
אין דעם פאַל, דאַרפֿן מיר געפֿינען די סומע פֿון די ערשטע n טערמינען (\(S_n\)) וואָס איז גלייך צו 200. ניצט די פֿאָרמולע פֿאַר די סומע פֿון די ערשטע n טערמינען:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
שטעלט איין די ווערטן פון \(a\) און \(d\):
[\frac{n}{2} (2 ⋅2 + (n-1) ⋅5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
דאָס איז אַ קוואַדראַטישע גלייכונג. כּדי זי צו סאָלווען, טוישן מיר איר פֿאָרעם:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
ניצט די קוואַדראַטישע פֿאָרמולע \(ax^2 + bx + c = 0\):
[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
אין דעם פאַל \(a = 5\), \(b = -1\), און \(c = -400\):
[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
דער ווערט פון \(\sqrt{8001}\) איז נאָענט צו 89.42, דעמאָלט:
[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
מיר נעמען די positive ווערטן:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \aprox \frac{90.42}{10} \]
\[ n \אומגעפער 9.042 \]
אַלזאָ, די צאָל טערמינען וואָס זענען נויטיק איז 9 טערמינען (אויב אָפּגערונדעט).
קעסימפּולאַן
אריטמעטישע סיקווענצן זענען א קריטישע טעמע אין מאטעמאטיק. א גרינטלעכע פארשטענדעניש פון דעם ערשטן טערמין, געמיינזאמע חילוק, n-טן טערמין, און סומע פון די ערשטע n טערמינען איז אומשאצבאר פארן לייזן א ברייטע פארשיידנקייט פון פראבלעמען. דורך ניצן די ביישפילן און דיסקוסיעס אויבן, האפט מען אז לייענער וועלן באקומען א בעסער פארשטענדעניש פון די גרונטלעכע קאנצעפטן פון אריטמעטישע סיקווענצן.
