בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די דעפֿיניציע פֿון אַ קרייז

בייַשפּיל פֿראַגעס דיסקוטירן די דעפֿיניציע פֿון אַ קרייז

דער קרייז איז איינע פון ​​די יסודות'דיגע געאמעטרישע פארמען וואס מיר טרעפן אָפט אין וואָכעדיקן לעבן. אין מאַטעמאַטיק, האָבן קרייזן אייגענאַרטיקע דעפֿיניציעס און כאַראַקטעריסטיקס. דער אַרטיקל וועט אויספאָרשן די דעפֿיניציע פֿון אַ קרייז און זיינע פֿאַרבונדענע עלעמענטן אין טיפֿקייט, ווי אויך צושטעלן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען צו פֿאַרטיפֿן אונדזער פֿאַרשטאַנד פֿון קרייזן.

דעפֿיניציע פֿון קרייז

א קרייז איז די גרופע פון ​​אלע פונקטן אין א פלאך וואס זענען גלייך ווייט פון א פעסטן פונקט גערופן דער צענטער פונעם קרייז. די ווייטקייט צווישן דעם צענטער און יעדן פונקט אויפן קרייז ווערט גערופן דער ראדיוס פונעם קרייז. די אלגעמיינע גלייכונג פון א קרייז מיטן צענטער ביי פונקט \((h, k)\) און ראדיוס \(r\) ווערט געגעבן דורך:

\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

דאָרט:
– \((h, k)\) זײַנען די קאָאָרדינאַטן פֿונעם צענטער פֿונעם קרייז,
– \(r\) איז דער ראַדיוס פֿון דעם קרייז,
– \(x\) און \(y\) זענען די קאָאָרדינאַטן פון יעדן פּונקט אויף דעם קרייז.

עלעמענטן פון א קרייז

איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראגעס, איז עס א גוטע געדאנק צו וויסן עטלעכע פון ​​די וויכטיגע עלעמענטן אין דעם קרייז:
1. צענטער פון קרייז: א פעסטער פונקט וואס איז דער צענטער פון אלע פונקטן וואס זענען די זעלבע ווייטקייט איינער פון צווייטן.
2. ראַדיוס (r): די דיסטאַנץ פֿון צענטער פֿון קרייז צו יעדן פּונקט אויף דעם קרייז.
3. דיאַמעטער (ד): א גלייכע ליניע וואָס גייט דורך דעם צענטער פון דעם קרייז און פֿאַרבינדט צוויי פּונקטן אויף דעם קרייז, האט אַ לענג צוויי מאָל דעם ראַדיוס (\(ד = 2r\)).
4. באָגן: דער טייל פֿון דעם אַרומקרייז פֿון אַ קרייז וואָס ליגט צווישן צוויי פּונקטן אויף דעם קרייז.
5. אַקאָרד: אַ גלייכע ליניע וואָס פֿאַרבינדט צוויי פּונקטן אויף אַ קרייז אָבער גייט נישט דורך דעם צענטער.
6. אפאטעם: די קירצסטע דיסטאַנץ פֿון צענטער פֿון אַ קרייז ביז אַן אַקאָרד.
7. צענטראלער ווינקל: דער ווינקל געשאפן דורך צוויי ראדיוסן פון דעם צענטער פון דעם קרייז.
8. פּערימעטער ווינקל: דער ווינקל געפארמט דורך צוויי קאָרדן וואָס שניידן זיך אין איין פונקט אויף אַ קרייז.

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיעס

בייַשפּיל קשיא 1
פראגע: געגעבן א קרייז מיטן צענטער ביי פונקט \((3, 4)\) און גייט דורך פונקט \((7, 4)\). באשטימט די גלייכונג פונעם קרייז.

דיסקוסיע:
כדי צו געפינען די גלייכונג פון א קרייז, דארפן מיר ערשט וויסן זיין ראדיוס. ווייל דער קרייז גייט אדורך דעם פונקט \((7, 4)\), קענען מיר אויסרעכענען די דיסטאנץ צווישן דעם פונקט און דעם צענטער פונעם קרייז, וואס איז \((3, 4)\).

\[
ר = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
ר = \סקרט{(7 - 3) ^ 2 + (4 - 4) ^ 2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
ר = קסנומקס
\]

מיטן צענטער ביי \((3, 4)\) און א ראדיוס פון 4, איז די גלייכונג פונעם קרייז:

\[
(רענטגענ - 3) ^ 2 + (י - 4) ^ 2 = 4 ^ 2
\]
\[
(רענטגענ - 3) ^ 2 + (י - 4) ^ 2 = 16
\]

בייַשפּיל קשיא 2
פראגע: באַשטימען די שטח און אַרומנעם פון אַ קרייז מיט אַ ראַדיוס פון 5 ס״מ.

דיסקוסיע:
– די שטח פון אַ קרייז (A) קען מען אויסרעכענען מיט דער פֿאָרמל \(A = \π r^2\),
\[
א = π מאל 5^2
\]
\[
א = 25 π ס״מ²
\]
אויב π איז אַפּפּראָקס 3.14, דעמאָלט:
\[
א \אומגעפער 25 \מאל 3.14 = 78.5 \טעקסט{ סענטימעטער}^2
\]

– דעם אַרומנעם פֿון אַ קרייז (C) קען מען אויסרעכענען מיט דער פֿאָרמל \(C = 2\pi r\),
\[
C = 2 × π × 5
\]
\[
C = 10µπ ס״מ
\]
אויב π איז אַפּפּראָקס 3.14, דעמאָלט:
\[
C \אומגעפער 10 \מאל 3.14 = 31.4 \טעקסט{ סענטימעטער}
\]

בייַשפּיל קשיא 3
פראגע: א קרייז האט א צענטער ביי פונקט O און א ראדיוס פון 7 ס״מ. אויב א קארד מיט א לענג פון 10 ס״מ ווערט געצייכנט אויפן קרייז, באשטימט די קירצסטע דיסטאַנץ פון צענטער O ביזן קארד.

דיסקוסיע:
כדי צו געפינען די קירצסטע דיסטאַנץ פֿון צענטער צום אַקאָרד, ניצן מיר דעם באַגריף פֿון אַפּאָטעם, וואָס איז די קירצסטע דיסטאַנץ פֿון צענטער צום אַקאָרד. מיט אַ ראַדיוס פֿון 7 ס״מ און אַ אַקאָרד לענג פֿון 10 ס״מ, קענען מיר זיך צוגיין צו דעם פּראָבלעם מיטן געפֿאָרעמטן רעכטן דרייַעק.

אויב דער מיטלפונקט פון דעם אַקאָרד איז פונקט C, דאַן איז OC דער אַפּאָטעם וואָס מיר זוכן. אויב A און B זענען די ענדפּונקטן פון דעם אַקאָרד, דאַן זענען AC און BC יעדער 5 ס״מ (האַלב פון 10 ס״מ).

פֿון טרייענגל OAC וואָס איז רעכט-ווינקלדיק ביי C, ניצן מיר דעם פּיטהאַגאָרעאַן טעאָרעם:

\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = 24 ס״מ = 26 ס״מ
\]

בייַשפּיל קשיא 4
פראגע: געגעבן א קרייז מיט דער גלייכונג \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\). באשטימט דעם צענטער און ראדיוס פון דעם קרייז.

דיסקוסיע:
כדי צו געפינען דעם צענטער און ראַדיוס, טראַנספאָרמירן מיר די גלייכונג אין סטאַנדאַרט פאָרעם:

\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]

מיר לייזן דורך פערפעקציאָנירן די קוואַדראַטישע פאָרעם:

\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]

צולייגן און אַראָפּרעכענען (6/2)\(^2\) צום x-טערמין און (8/2)\(^2\) צום y-טערמין:

\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]

פֿון דער גלייכונג \((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\), געפֿינען מיר אַז דער צענטער פֿון דעם קרייז איז \((-3, 4)\) און דער ראַדיוס איז \(r = \sqrt{16} = 4\).

קעסימפּולאַן
דער קרייז איז אַ יסודותדיקער און קריטישער באַגריף אין געאָמעטריע. דורך די בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוסיעס אויבן, קענען מיר באַקומען אַ טיפערן פארשטאנד פון די פארשידענע אַספּעקטן און אייגנשאַפטן פון קרייזן. באַהערשן דעם טעמע וועט מאַכן עס גרינגער צו פֿאַרשטיין און סאָלווען מער קאָמפּליצירטע געאָמעטרישע פּראָבלעמען.