בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן אַריטמעטישע סיקוואַנסעס

בייַשפּיל פֿראַגן וועגן אַריטמעטישע סיקוואַנסן

אריטמעטישע סיקווענצן זענען א יסודותדיקער באגריף אין מאטעמאטיק וואס ערשיינט אָפט אין פארשידענע עקזאַמענס און פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. אן אריטמעטישע סיקווענץ איז א סיקווענץ פון נומערן מיט א קאָנסטאַנטן אונטערשייד צווישן יעדע צוויי קאָנסעקוטיווע טערמינען. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר אויספאָרשן דעם באגריף פון אריטמעטישע סיקווענצן אין מער טיפקייט דורך עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען באַגלייט מיט קאָמפּרעהענסיווע דערקלערונגען.

דעפֿיניציעס און נאָטאַציעס

איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראבלעמען, איז וויכטיג צו פארשטיין די נאטאציע וואס ווערט אפט גענוצט אין אריטמעטישע סיקווענצן. אויב \(a\) איז דער ערשטער טערמין און \(d\) איז דער געמיינזאמער אונטערשייד (קאנסטאנטער אונטערשייד), דעמאלט קען די אריטמעטישע סיקווענץ געשריבן ווערן אלס:

[a, a+d, a+2d, a+3d, ∫, a+(n-1)d]

דער n-טער טערמין (Un) פון דעם סיקוואַנס קען פאָרמולירט ווערן ווי:

\[ U_n = a + (n-1)d \]

די פאלגענדע זענען עטלעכע בייַשפּיל פֿראַגעס און זייערע דיסקוסיעס צו מאַכן עס גרינגער צו פֿאַרשטיין אַריטמעטיק סיקוואַנסן.

בייַשפּיל קשיא 1

פראגע:

געגעבן אַן אַריטמעטישע סיקוואַנס מיטן ערשטן טערמין _(a = 5)_ און דעם געמיינזאַמען אונטערשייד _(d = 3)_. באַשטימט דעם 10טן טערמין פֿון דער סיקוואַנס.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

ניצנדיק די אַלגעמיינע פֿאָרמולע פֿאַר דעם n-טן טערמין, נעמלעך \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) ≥ 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 ⋅ 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]

אַלזאָ, דער 10טער טערמין פֿון דער סיקוואַנס איז 32.

בייַשפּיל קשיא 2

פראגע:

געגעבן אַן אַריטמעטישע סעקווענץ מיטן פינפטן טערמין 20 און דעם אַכטן טערמין 35. באַשטימט דעם ערשטן טערמין \(a\) און דעם געמיינזאַמען אונטערשייד \(d\) פון דער סעקווענץ.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

פֿון דער פֿראַגע ווייסן מיר:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]

אַראָפּרעכענען ביידע גלייכונגען צו עלימינירן \(a\):
\[ (אַ + 7 ד) - (אַ + 4 ד) = 35 - 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ד = 5 \]

איצט שטעלן מיר אריין \(d = 5\) צו געפינען \(a\):
[a + 4 ⋅ 5 = 20]
\[a + 20 = 20 \]
\[a = 0 \]

אַזוי, דער ערשטער טערמין פון דער סיקוואַנס איז 0 און דער חילוק איז 5.

בייַשפּיל קשיא 3

פראגע:

וואָס איז די סומע פֿון די ערשטע 20 טערמינען פֿון אַן אַריטמעטישע סיקוואַנס וועמענס ערשטער טערמין איז _(a = 2_) און געמיינזאַמע אונטערשייד _(d = 4_)?

פֿאַרעפֿנטלעכט:

די סומע פון ​​די ערשטע n טערמינען פון אן אריטמעטישע סיקווענץ קען אויסגערעכנט ווערן מיט דער פארמל:
[S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]

פֿאַר דעם שורה:
[S_{20} = \frac{20}{2} (2 ⋅2 + (20-1) ⋅4 רעכטס)]
\[ S_{20} = 10 \(4 + 76 \רעכטס) \]
\[ S_{20} = 10 ⋅ 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]

אַלזאָ, די סומע פֿון די ערשטע 20 טערמינען פֿון דער סיקוואַנס איז 800.

בייַשפּיל קשיא 4

פראגע:

דער דריטער טערמין פון אַן אַריטמעטישע סיקוואַנס איז 15 און דער זיבעטער טערמין איז 27. געפינט דעם 12טן טערמין פון דער סיקוואַנס.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

ערשטנס, דארפן מיר געפינען די ווערטן \(a\) און \(d\). פון דער פראגע, ווייסן מיר:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]

אַראָפּרעכענען ביידע גלייכונגען צו עלימינירן \(a\):
\[ (אַ + 6 ד) - (אַ + 2 ד) = 27 - 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ד = 3 \]

איצט שטעלן מיר אריין \(d = 3\) צו געפינען \(a\):
[a + 2 ⋅ 3 = 15]
\[a + 6 = 15 \]
\[a = 9 \]

ניצן די n-טע טערמין פאָרמולע צו געפֿינען דעם 12טן טערמין:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 ⋅ 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]

אַלזאָ, דער 12טער טערמין פֿון דער סיקוואַנס איז 42.

בייַשפּיל קשיא 5

פראגע:

אן אריטמעטישע סעקווענץ מיטן ערשטן טערמין \(a\) און געמיינזאמען אונטערשייד \(d\) האט א סומע פון ​​די ערשטע 10 טערמינען, נעמליך 55. אויב \(d = 1\), באשטימט דעם ערשטן טערמין \(a\).

פֿאַרעפֿנטלעכט:

געגעבן \(d = 1\) און \(S_{10} = 55\). ניצט די פארמל פאר דער סומע פון ​​די ערשטע טערמינען:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

פֿאַר n = 10:
[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 ⋅1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[a = 1 \]

אַזוי, דער ערשטער טערמין פון דער סיקוואַנס איז 1.

קעסימפּולאַן

אריטמעטישע סיקווענצן זענען א יסודותדיקער באגריף אין מאטעמאטיק וואס איז גאר נוצלעך אין פארשידענע פעלדער. אין דעם ארטיקל האבן מיר דיסקוטירט עטליכע ביישפילן פון אריטמעטישע סיקווענצן און זייערע לייזונגען. א גוט פארשטאנד פון די פארמלען און גרונטלעכע אייגנשאפטן פון אריטמעטישע סיקווענצן וועט זיין זייער נוצלעך אין לייזן פארשידענע סארטן פראבלעמען פארבונדן מיט דעם טעמע.

דורך פּראַקטיצירן ביישפילן ווי די אויבן דערמאָנטע, האָפט מען אַז איר וועט ווערן מער באַהאַוונט און שנעלער אין סאָלווען פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט אַריטמעטרישע סיקוואַנסן.