בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די קייט הערשן אין דעריוואַטיוון

בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון דער קייט־רעגולאַציע אין דעריוואַטיוון

די קייטן-רעגולאציע איז איינע פון ​​די מערסט יסודות'דיגע קאנצעפטן אין דיפערענציאל קאלקולוס, גענוצט צו רעכענען די דעריוואטיוו פון א פונקציע צוזאמענגעשטעלט פון צוויי אדער מער פונקציעס. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן דעם גרונט-קאנצעפּט פון דער קייטן-רעגולאציע, ווי אזוי עס צו נוצן, און ביישפילן פון זיין נוצן אין דעריוואטיוו פראבלעמען וואס קומען אפט ארויף סיי אין מיטלשול און סיי אין קאלעדזש.

1. הקדמה צו דער קייטן-רעגולאציע

איידער מיר גייען אריין אין דעם ביישפיל פראבלעם, לאמיר ערשט פארשטיין וואס די קייט-רעגולאציע איז. די קייט-רעגולאציע זאגט אז אויב מיר האבן צוויי דיפערענציאירבארע פונקציעס \(f \) און \(g \), און מיר ווילן געפינען די דעריוואטיוו פון דער צוזאמענשטעלונג פון די פונקציעס \(h = f(g(x)) \), דעמאלט איז די דעריוואטיוו פון \(h \):

[ה'(x) = f'(g(x)) ⋅ג'(x)]

אין פּשוטע ווערטער, מיר רעכענען אויס די דעריוואַטיוו פון דער אויסערלעכער פונקציע אויף g(x), און דערנאָך טאפלען מיר דעם רעזולטאַט מיטן דעריוואַטיוו פון דער אינערלעכער פונקציע \(g(x) \).

2. פֿאַרשטיין די פֿונקציע פֿון קאָמפּאָזיציע

איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראבלעמען, איז וויכטיג צו פארשטיין קאמפאזיציע פונקציעס. א קאמפאזיציע פונקציע איז א פונקציע וואס מען באקומט דורך אריינשטעלן איין פונקציע אין א צווייטער. למשל, אויב מיר האבן \(f(x) = \sin(x) \) און \(g(x) = x^2 \), דעמאלט וועט די קאמפאזיציע פון ​​די צוויי פונקציעס זיין \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).

אין קאמפאזיציע פונקציעס, טראכטן מיר אָפט פון \(g(x) \) ווי די "אינעווייניקסטע פונקציע" און \(f(x) \) ווי די "אויסווייניקסטע פונקציע". אין דעם בייַשפּיל, איז די אינעווייניקסטע פונקציע \(x^2 \) און די אויסווייניקסטע פונקציע איז סינוס.

3. בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע

לאָמיר קוקן אויף עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען וואָס נוצן די קייט הערשן צו זיי סאָלווע.

בייַשפּיל 1:

געגעבן די פונקציע (y = ∫cos(3x^2)), געפינט די ערשטע דעריוואטיוו פון y אין באצוג צו x.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

ערשטנס, אידענטיפיצירן מיר די אינעווייניקסטע און אויסווייניקסטע פונקציעס. דא, די אינעווייניקסטע פונקציע איז _(g(x) = 3x^2 _) און די אויסווייניקסטע פונקציע איז _(f(g) = _cos(g) _).

מיר ווייסן:

1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)

לויטן קייטן-רעגול, באַקומען מיר:

[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = -sin(3x^2) ⋅ 6x]

אַזוי, די דעריוואַטיוו פון (y = cos(3x^2)) איז:

\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]

בייַשפּיל 2:

געפינט די ערשטע דעריוואַטיווע פון ​​\( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).

פֿאַרעפֿנטלעכט:

דאָ איז די אינעווייניקסטע פונקציע \(g(x) = 5x^3 + 2x \) און די אויסווייניקסטע פונקציע איז \(f(g) = e^g \).

מיר ווייסן:

1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)

לויטן קייטן-רעגול, באַקומען מיר:

[ h'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = e^{5x^3 + 2x} ⋅ (15x^2 + 2)]

אַלזאָ, די דעריוואַטיוו פֿון \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) איז:

\[ ה'(רענטגענ) = (15קס ^ 2 + 2) ע ^ {5קס ^ 3 + 2 קס} \]

בייַשפּיל 3:

געפינט די ערשטע דעריוואַטיווע פון ​​\( y = \ln(4x^2 – 5) \).

פֿאַרעפֿנטלעכט:

די אינעווייניקסטע פונקציע איז \(g(x) = 4x^2 – 5 \) און די אויסערליכע פונקציע איז \(f(g) = \ln(g) \).

מיר ווייסן:

1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)

לויטן קייטן-רעגול, באַקומען מיר:

[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} ⋅ 8x \]

אַזוי, די דעריוואַטיוו פון (y = ln(4x^2 – 5)) איז:

\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]

בייַשפּיל 4:

געגעבן די פונקציע \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), געפינט איר דעריוואטיוו.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

די אינעווייניקסטע פונקציע איז \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) און די אויסערליכע פונקציע איז \(f(g) = g^4 \).

מיר ווייסן:

1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)

לויטן קייטן-רעגול, באַקומען מיר:

[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 ⋅ (6x + 2)]

אַלזאָ, די דעריוואַטיוו פֿון \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) איז:

\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]

4. ספּעציעלע פאַלן און אַנטוויקלונג פון קייט כּללים

מאנchmal, שטעלט זיך די קייט-רעגולאציע נישט אפ ביי דער צוזאמענשטעלונג פון בלויז צוויי פונקציעס. עס זענען מאל ווען א פונקציע איז א צוזאמענשטעלונג פון מער ווי צוויי פונקציעס, למשל: \( h(x) = f(g(k(x))) \).

פֿאַר דעם פאַל פֿון דרײַ פֿונקציעס, קען מען אָנווענדן די קייט־רעגולאַציע אין שיכטן:

[ה'(x) = f'(g(k(x))) ⋅ג'(k(x)) ⋅ק'(x)]

מיר קענען זען אז אין יעדער שיכט, רעכענען מיר אויס די דעריוואטיוון פון די אויסערליכע שיכטן איידער מיר גייען ווייטער צו די דעריוואטיוון פון די אינערליכע שיכטן.

בייַשפּיל 5:

געגעבן (y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)}), געפינט זיין דעריוואט.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

די אינעווייניקסטע פונקציע איז \(k = 2x^2 + 1 \), מיטעלע: \(g = \ln(k) \) און אויסווייניקסטע: \(f = \sqrt{g} \).

מיר ווייסן:

1. \(k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)

לאָמיר אָנווענדן די קייט־רעגולאַציע אין שיכטן:

[y' = f'(g(k(x))) ⋅ g'(k(x)) ⋅ k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} ⋅ \frac{1}{2x^2 + 1} ⋅ 4x \]

אַזוי די דעריוואַטיוו פון \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) איז:

\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]

5. קעסימפולאַן

די קייטן-רעגולאציע שפּילט אַ וויכטיקע ראָלע אין דיפערענציאַל קאַלקולוס, ספּעציעל ווען מען האַנדלט מיט דער צוזאַמענשטעלונג פון פונקציעס. פֿאַרשטיין און באַהערשן די קייטן-רעגולאציע גיט אַ שטאַרקע יסוד פֿאַר זיך צו באַגיין מיט מער קאָמפּליצירטע פּראָבלעמען אין קאַלקולוס. דער אַרטיקל האָט דיסקוטירט עטלעכע וויכטיקע ביישפילן צו געבן אַ שטאַרקע פארשטענדעניש פון דער אַפּליקאַציע פון ​​דער קייטן-רעגולאציע צו דעריוואַטיוון. מיר האָפן אַז די דיסקוסיע איז נוצלעך פֿאַר סטודענטן און קען ווערן אַפּליקירט צו אַ פאַרשיידנקייט פון שווערע מאַטעמאַטישע סיטואַציעס.