ביישפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן דער כלל פֿאַר צולייגן צוויי קעגנצייַטיק־אויסשליסנדיקע געשעענישן A און B.

בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן די כלל פֿאַר צולייגן צוויי עקסקלוסיווע געשעענישן A און B

אין וואַרשיינלעכקייט טעאָריע, איז די סומע-רעגול פון צוויי געשעענישן איינער פון די יסודותדיקע פּרינציפּן געניצט צו רעכענען די וואַרשיינלעכקייט פון קייפל געשעענישן. דעם באַגריף ווערט אָפט געווענדט אין פֿאַרשידענע סיטואַציעס צו פֿאַרשטיין די מעגלעכע רעזולטאַטן פון געוויסע געשעענישן. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן די סומע-רעגול פון צוויי געשעענישן וואָס זענען איינער דעם אַנדערן אויסשליסלעך און צושטעלן ביישפילן צו קלעראַפיצירן דעם באַגריף.

די כלל פון צולייגן צוויי קעגנצייַטיק אויסשליסנדיקע געשעענישן

ערשטנס, איז וויכטיג צו פארשטיין וואס מען מיינט מיט "קעגנזייַטיג אויסשליסנדיקע געשעענישן". צוויי געשעענישן ווערן געזאגט צו זיין דיסדזשוינט אדער קעגנזייַטיג אויסשליסנדיק אויב זיי קענען נישט פּאַסירן אין דער זעלבער צייט. מיט אנדערע ווערטער, קיין עלעמענט אין דער סכום פון איין געשעעניש איז נישט אויך אן עלעמענט אין דער סכום פון אן אנדער געשעעניש.

די צוגאב-רעגול אין ווארשיינליכקייט זאגט אז אויב צוויי געשעענישן \(A\) און \(B\) זענען איינער דעם אנדערן אויסשליסנדיק, דעמאלט איז די ווארשיינליכקייט פון אדער געשעעניש \(A\) אדער \(B\) די סומע פון ​​די ווארשיינליכקייטן פון די צוויי געשעענישן. מאטעמאטיש, קען מען אויסדריקן די רעגול ווי:

[P(A −B) = P(A) + P(B)]

וואו \(P(A \cup B)\) איז די וואַרשיינלעכקייט פון \(A\) אדער \(B\), \(P(A)\) איז די וואַרשיינלעכקייט פון געשעעניש \(A\), און \(P(B)\) איז די וואַרשיינלעכקייט פון געשעעניש \(B\).

בייַשפּיל דיסקוסיע פֿראַגן

לאָמיר דיסקוטירן עטלעכע ביישפילן צו קלעראַפיצירן די אַפּליקאַציע פון ​​​​דער כלל פֿאַר צולייגן צוויי קעגנצייַטיק אויסשליסנדיקע געשעענישן.

בייַשפּיל קשיא 1

פראגע:

אַ זעקס-זייַטיקער קוביק ווערט געוואָרפן איין מאָל. געפינט די וואַרשיינלעכקייט אַז די רעזולטאַטן נומער איז 2 אָדער 4.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

מיר קענען דעפינירן געשעעניש \(A\) אלס דאס אויפטרעטן פון דעם ווערט 2, און געשעעניש \(B\) אלס דאס אויפטרעטן פון דעם ווערט 4. אזוי:

– \(P(A)\) איז די ווארשיינליכקייט אז דער ווערט 2 זאל ערשיינען.
– \(P(B)\) איז די ווארשיינליכקייט אז דער ווערט 4 זאל ערשיינען.

זינט אַ קוביק האט זעקס גלייך-ווארשיינלעכע זייטן, איז די ווארשיינלעכקייט פון א באשטימטן ווערט וואס ערשיינט \( \frac{1}{6} \). אַזוי:

[P(A) = \frac{1}{6} \]
[P(B) = \frac{1}{6} \]

די געשעענישן \(A\) און \(B\) זענען איינער פון די צווייטן אויסשליסנדיק ווייל די ווערטן 2 און 4 קענען נישט דערשייַנען סיימאַלטייניאַסלי אין איין וואָרף פון די קוביק. דעריבער, ניצן די אַדישאַן הערשן פֿאַר צוויי איינער פון די צווייטן אויסשליסנדיק געשעענישן:

[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = ⋅1/6 + ⋅1/6 = ⋅2/6 = ⋅1/3]

אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז דער ווערט וואָס דערשיינט איז 2 אָדער 4 איז \( \frac{1}{3} \) אָדער אַרום 33.33%.

בייַשפּיל קשיא 2

פראגע:

אין אַ זעקל זענען דאָ 10 באַלן, באַשטייענדיק פֿון 4 רויטע באַלן און 6 בלויע באַלן. אויב מיר נעמען איין באַלל צופֿעליק, וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז דער באַלל וואָס מיר ציען איז רויט אָדער בלוי?

פֿאַרעפֿנטלעכט:

מיר קענען דעפינירן דעם געשעעניש \(A\) אלס נעמען דעם רויטן באל, און דעם געשעעניש \(B\) אלס נעמען דעם בלויען באל. אזוי:

– \(P(A)\) איז די וואַרשיינלעכקייט פון אויסקלייבן אַ רויטן באַל.
– \(P(B)\) איז די וואַרשיינלעכקייט פון קלייבן אַ בלויען באַל.

די וואַרשיינלעכקייט פון יעדער געשעעניש קען ווערן קאַלקולירט ווי פאלגנד:

\[ P(A) = \frac{\text{נומער פון רויטע באַלן}}{\text{גאַנץ נומער פון באַלן}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{נומער פון בלויע באַלן}}{\text{גאַנץ נומער פון באַלן}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

די געשעענישן \(A\) און \(B\) זענען איינער פון די צווייטן אויסשליסנדיק ווייל אַ באַל קען נישט זיין ביידע רויט און בלוי. דעריבער, ניצן די אַדיציע כלל פֿאַר צוויי איינער פון די צווייטן אויסשליסנדיקע געשעענישן:

[P(A −B) = P(A) + P(B) = −2/5 + −3/5 = 1]

אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז דער באַל וואָס ווערט געצויגן איז אָדער רויט אָדער בלוי איז 1, אָדער 100%. דאָס מאַכט זינען ווײַל אַלע באַלן אין זעקל זענען אָדער רויט אָדער בלוי.

בייַשפּיל קשיא 3

פראגע:

אין אַ קלאַס פֿון 20 סטודענטן, 7 פֿון זיי האָבן ליב מאַטעמאַטיק, 5 פֿון זיי האָבן ליב וויסנשאַפֿט, און קיינער האָט נישט ליב ביידע. אויב איין סטודענט ווערט אויסגעקליבן צופֿעליק, געפֿינט די וואַרשיינלעכקייט אַז דער סטודענט האָט ליב אָדער מאַטעמאַטיק אָדער וויסנשאַפֿט.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

מיר קענען דעפינירן געשעעניש \(א\) אלס א ליב האבן מאטעמאטיק, און געשעעניש \(ב\) אלס א ליב האבן וויסנשאפט. אזוי:

– \(P(A)\) איז די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ תּלמיד האָט ליב מאַטעמאַטיק.
– \(P(B)\) איז די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ תּלמיד האָט ליב וויסנשאַפֿט.

די וואַרשיינלעכקייט פון יעדער געשעעניש קען ווערן קאַלקולירט ווי פאלגנד:

\[ P(A) = \frac{\text{נומער פון סטודענטן וואָס האָבן ליב מאַטעמאַטיק}}{\text{גאַנץ נומער פון סטודענטן}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{נומער פון סטודענטן וואָס האָבן ליב וויסנשאַפֿט}}{\text{גאַנץ נומער פון סטודענטן}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]

די געשעענישן \(A\) און \(B\) זענען איינער דעם אַנדערן אויסשליסנדיק ווײַל קיין סטודענט האט נישט ליב ביידע פון ​​זיי. דעריבער, ניצן די אַדיציע-רעגולע פֿאַר צוויי איינער דעם אַנדערן אויסשליסנדיקע געשעענישן:

[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = ⋅7/20 + ⋅5/20 = ⋅12/20 = ⋅3/5]

אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ צופֿעליק אויסגעקליבענער סטודענט האָט ליב אָדער מאַטעמאַטיק אָדער וויסנשאַפֿט איז \( \frac{3}{5} \) אָדער 60%.

קעסימפּולאַן

די צוגאב-רעגולאציע פון ​​צוויי איינע-זייטיג אויסשליסנדיקע געשעענישן איז א יסודות'דיגער באגריף אין ווארשיינליכקייט טעאריע וואס ערלייכטערט די רעכענונג פון די ווארשיינליכקייט פון א געמיינזאמע געשעעניש. אין די ביישפילן אויבן, האבן מיר געזען אז דעם פרינציפ קען ווערן אנגעווענדעט צו רעאל-וועלט סיטואציעס ווי ווארפן קוביקעס, ארויסציען באלן פון א זעקל, אדער אויסקלויבן סטודענטן פון א קלאס. דורך פארשטיין און באהערשן דעם באגריף, קענען מיר מער עפעקטיוו רעכענען די ווארשיינליכקייטן פון פארשידענע איינע-זייטיג אויסשליסנדיקע געשעענישן אין טעגליכן לעבן.