בייַשפּיל פֿראַגעס דיסקוטירן די כּללים פֿאַר אָנפֿילן די לעכער
די אָרט-פֿיל-רעגולע, אדער פּלייסמאַנט-רעגולע, איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק און וואַרשיינלעכקייט וואָס איז זייער נוצלעך אין פילע סיטואַציעס. די רעגולע ווערט טיפּיש גענוצט אין דעם קאָנטעקסט פון אָרדענען אָביעקטן אין אַ ספּעציפֿישן סדר אָדער אין פֿאַרשידענע אָרדענונגען. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט דער אָרט-פֿיל-רעגולע, און צושטעלן דעטאַלירטע לייזונגען פֿאַר יעדן.
הקדמה
פּלאַץ-פֿילן איז אַ געוויינטלעכע טעכניק געניצט אין קאָמבינאַטאָריק, אַ פעלד פון מאַטעמאַטיק וואָס שטודירט די אָרדענונג, קאָמבינאַציע און סעלעקציע פון אָביעקטן. איינער פון די גרונט פּרינציפּן פון קאָמבינאַטאָריק איז די מאַלטיפּליקאַציע הערשן, וואָס זאָגט אַז אויב עס זענען עטלעכע סטאַגעס אין אַ פּראָצעס און יעדער סטאַגע האט אַ געוויסע צאָל ברירות, דעמאָלט קען די גאַנצע צאָל פון מעגלעכע אָרדענונגען געפֿונען ווערן דורך מאַלטיפּליקירן די צאָל ברירות אין יעדער סטאַגע.
למשל, אויב מיר האָבן צוויי סטאַגעס, וואו די ערשטע סטאַגע האט ⅔ ברירות און די צווייטע סטאַגע האט ⅔ ברירות, דאַן איז די גאַנצע צאָל מעגלעכע אַראַנזשירונגען ⅔ מאָל ⅔.
לאָמיר אָנווענדן דעם קאָנצעפּט צו סאָלווען עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען.
בייַשפּיל 1: אויסשטעלן ביכער אויף אַ פּאָליצע
פראגע:
עס זענען דא 5 פֿאַרשידענע ביכער און אַ ביכערשאַנק מיט 5 פּלעצער צו פֿילן. אויף וויפֿל וועגן קען מען אויסשטעלן די פֿינף ביכער אויף דער פּאָליצע?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
אין דעם פאַל, דאַרפן מיר אויסשטעלן די פינף ביכער אין פינף פֿאַרשידענע פּלעצער. דאָס איז אַ פּערמוטאַציע פּראָבלעם ווײַל סדר איז קריטיש. מיר קענען נוצן די פּלאַץ-פֿילן הערשן אָדער די מאַלטיפּליקאַציע הערשן צו סאָלווען דעם פּראָבלעם.
1. פֿאַר דעם ערשטן צימער, האָבן מיר 5 בוך ברירות.
2. נאכדעם וואס איין בוך ווערט געלייגט אין ערשטן צימער, בלייבן נאך 4 בוך אויסוואלן פארן צווייטן צימער.
3. פארן דריטן צימער, האבן מיר נאך 3 ביכער וואס זענען פארבליבן, און אזוי ווייטער.
די גלייכונג פֿאַר די גאַנצע צאָל סעטטינגס איז:
\[ 5 מאָל 4 מאָל 3 מאָל 2 מאָל 1 = 5! = 120 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 120 וועגן צו אָרדענען די פֿינף ביכער.
בייַשפּיל 2: מאַכן ווערטער פון פאַרשידענע אותיות
פראגע:
וויפיל פֿאַרשידענע ווערטער קען מען שאַפֿן ניצנדיק אַלע אותיות אין וואָרט "מאַטעמאַטיק", אָן זיי צו איבערחזרן?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר דאַרפֿן ערשט זען וויפֿל אותיות זענען אין וואָרט "מאַטעמאַטיק". עס זענען דאָ 11 אותיות, עטלעכע פֿון וועלכע ווערן איבערגעחזרט. די איבערגעחזרטע אותיות זענען:
– אזויפיל ווי 2
– אזויפיל ווי 3
– אזויפיל ווי 2
– די אנדערע אותיות (E, I, K) דערשייַנען יעדע איין מאָל.
מיר ניצן די פּערמוטאַציע פאָרמולע פֿאַר ריפּיטיד עלעמענטן, נעמליך:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
וואו \(n \) איז די גאַנצע צאָל עלעמענטן (אותיות) און \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) איז די צאָל רעפּעטיציעס פון יעדן באַזונדערן עלעמענט.
מיטן וואָרט "מאַטעמאַטיק":
[n = 11, n_1 = 2 (M)}, n_2 = 3 (A)}, n_3 = 2 (T)}, n_4 = 1 (E)}, n_5 = 1 (I)}, n_6 = 1 (K)}]
אַזוי די צאָל ווערטער וואָס קענען געשאַפֿן ווערן איז:
\[ \frac{11!}{2! \מאל 3! \מאל 2! \מאל 1! \מאל 1! \מאל 1!} = \frac{39916800}{2 \מאל 6 \מאל 2 \מאל 1 \מאל 1 \מאל 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
עס זענען דא 1,663,200 פארשידענע ווערטער וואָס קענען געשאפן ווערן.
בייַשפּיל 3: באַשטימען די נומער פון קאָמבינאַציעס אין מאַרטאַבאַק
פראגע:
א מאַרטאַבאַק פארקויפער אָפפערט פינף פילונג אָפּציעס (קעז, שאָקאָלאַד, פיסטאַשקעס, באַנאַנע און ראָזינקעס). אויב אַ קונה וויל אויסקלייבן דריי פון די פינף פילונגען פֿאַר זייער מאַרטאַבאַק, וויפיל פֿאַרשידענע קאָמבינאַציעס קענען זיי אויסקלייבן?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דאָס איז אַ קאָמבינאַציע פּראָבלעם, נישט קיין פּערמוטאַציע, ווײַל די סדר איז נישט וויכטיק. מיר ניצן די קאָמבינאַציע פֿאָרמולע:
\[ C(n, ק) = \frac{n!}{ק!(נק)!} \]
וואו \(n \) איז די גאַנצע צאָל ברירות, און \(k \) איז די צאָל געמאַכטע ברירות.
פֿאַר דעם פֿאַל, n = 5 און k = 3, אַזוי:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
עס זענען דא 10 פארשידענע קאמבינאציעס צו קלייבן 3 אינהאלט פון 5 אפציעס.
בייַשפּיל 4: טיילנעמער אַראַנזשירונג אין אַ שפּיל
פראגע:
עס זענען דא 8 טיילנעמער אין א לויף-פארמעסט. אויף וויפיל וועגן קען מען שטעלן די דריי בעסטע?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דאָס איז אַ פּערמוטאַציע פּראָבלעם אָן איבערחזרן ווײַל פּאָזיציע באַדײַט אַז סדר איז וויכטיק. מיר ניצן די פּערמוטאַציע פֿאָרמולע:
\[ P(n, ק) = \frac{n!}{(נק)!} \]
פֿאַר דעם פֿאַל, \(n = 8 \) און \(k = 3 \), דעמאָלט:
[P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 336 וועגן צו שטעלן די שפּיץ דריי פּאָזיציעס פון 8 טיילנעמער.
אין דעם אַרטיקל, האָבן מיר דיסקוטירט עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און זייערע לייזונגען ניצנדיק פּלאַץ-פֿילנדיקע כּללים אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון סיטואַציעס: פֿון אָרדענען ביכער אויף אַ פּאָליצע ביז באַשטימען דעם געווינער פֿון אַ קאָנקורס. פֿאַרשטיין די יסודות וועט געבן אײַך מער בטחון אין סאָלווען די פֿאַרשיידענע קאָמבינאַטאָריק און וואַרשיינלעכקייט פּראָבלעמען וואָס איר קענט באַגעגענען.
