בייַשפּיל פֿון פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן דעריוואַטיווע אַפּליקאַציעס

ביישפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן דער אַפּליקאַציע פֿון דעריוואַטיוון

די דעריוואַטיוו איז אַ יסודותדיקער באַגריף פון קאַלקולוס וואָס האט פילע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיק לעבן און אַנדערע פעלדער פון וויסנשאַפֿט, אַזאַ ווי פיזיק, עקאָנאָמיק, ביאָלאָגיע און אינזשעניריע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוטירן די אַפּליקאַציעס פון דעריוואַטיוון, ספּעציעל אין דעם קאָנטעקסט פון אָפּטימיזאַציע און פונקציע אַנאַליז.

הקדמה צו דעריוואַטעד אַפּליקאַציעס

די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע גיט אין עיקר אינפֿאָרמאַציע וועגן דער ראַטע פֿון ענדערונג פֿון יענער פֿונקציע אין באַצוג צו איר אומאָפּהענגיקער וואַריאַבלע. דער פּשוטסטער בייַשפּיל איז גיכקייט, וואָס איז די דעריוואַטיוו פֿון פּאָזיציע אין באַצוג צו צייט. ברייטער, קענען דעריוואַטיוון ווערן גענוצט צו געפֿינען די מאַקסימום און מינימום ווערטן פֿון אַ פֿונקציע, באַשטימען אינטערוואַלן איבער וועלכע אַ פֿונקציע וואַקסט אָדער פֿאַלט, און צושטעלן אינפֿאָרמאַציע וועגן די אייגנשאַפֿטן און גראַפֿישע נאַטור פֿון אַ פֿונקציע.

בייַשפּיל קשיא 1: געפֿינען די מאַקסימום און מינימום ווערטן

פראגע:
באַשטימט די מאַקסימום און מינימום פונקטן פון דער פונקציע \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).

פֿאַרעפֿנטלעכט:

1. געפינען די ערשטע דעריוואַטיווע:
כדי צו געפֿינען די קריטישע פונקטן, דאַרפֿן מיר געפֿינען די ערשטע דעריוואַטיווע פֿון דער פֿונקציע און זי פֿאַרגלײַכן צו נול.
\[
פֿ'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]

2. לייזט די גלייכונג:
מיר פאַקטאָרירן די גלייכונג:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
דעריבער באַקומען מיר קריטישע פּונקטן ביי \(x = 0 \) און \(x = 2 \).

3. אנאליזירן די צווייטע דעריוואטיוו:
כדי צו באַשטימען צי די קריטישע פונקטן זענען מאַקסימאַ אָדער מינימאַ, דאַרפן מיר געפֿינען די צווייטע דעריוואַטיוו פֿון דער פֿונקציע:
\[
פֿ"(x) = 6x – 6
\]

עוואַלואַציע ביי קריטישע פונקטן:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{נעגאַטיוו, אַזוי\ } x = 0 \text{\ איז אַ לאָקאַלער מאַקסימום})
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{positive, so\ } x = 2 \text{\text{\ איז א לאקאלער מינימום})
\]

4. רעכן אויס די מאַקסימום און מינימום ווערטן:
אריינשטעלן די קריטישע פונקטן אין דער אריגינעלער פונקציע:
\[
f(0) = 0^3 – 3 ⋅ 0^2 + 4 = 4 ⋅ (מאַקסימום)
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 ⋅ 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 ⋅ (מינימום)
\]

אַלזאָ, די פֿונקציע \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) האט אַ לאָקאַלן מאַקסימום ביי \((0, 4) \) און אַ לאָקאַלן מינימום ביי \((2, 0) \).

בייַשפּיל קשיא 2: אָפּטימיזאַציע מיט באַגרענעצונגען

פראגע:
א פארמער וויל בויען א רעכטעקיגן אײַנגעצוימטן אײַנגרענעצונג וואָס גרענעצט מיט א טײַך. געגעבן 100 מעטער פּלויט, באַשטימט די גרייסן פונעם אײַנגעצוימטן אײַנגרענעצונג צו מאַקסאַמיזירן זײַן שטח.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

1. מאַכט אַ גלייכונג:
לאָמיר זאָגן אַז די לענג פֿון דעם צוימען פּאַראַלעל צום טייך איז _(x) מעטער און די ברייט איז _(y) מעטער. ווײַל איין זײַט גרענעצט מיטן טייך, איז דער צוימען וואָס איז נויטיק פֿאַר דרײַ זײַטן.
\[
2y + x = 100
\]

2. געפינט די מאקסימום שטח:
די שטח פון דעם קעידזש \(A \) איז:
\[
א = x ⋅ y
\]

פֿון דער פּלויט גלייכונג, קענען מיר אויסדריקן _( ​​y \) אין טערמינען פֿון _(x \):
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]

אַזוי, די גלייכונג פֿאַר שטח ווערט:
\[
א(x) = x ≈ 100 – x² = 50x – x²
\]

3. געפינען די ערשטע דעריוואַטיווע:
כדי צו געפֿינען דעם מאַקסימום ווערט, געפֿינען מיר די ערשטע דעריוואַטיווע פֿון \( A(x) \):
\[
א'(x) = 50 – x
\]

אויסגלייכן צו נול:
\[
50 – x = 0 \implices x = 50
\]

4. רעכנט אויס דעם ווערט פון \(y \):
אריינשטעלן \(x = 50 \) אין דער גלייכונג:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]

אַזוי, די דימענסיעס פון די שטייַג וואָס צושטעלן די מאַקסימום שטח זענען 50 מעטער פֿאַר לענג און 25 מעטער פֿאַר ברייט.

בייַשפּיל קשיא 3: באַשטימען מאַקסימום גיכקייט

פראגע:
א טיילכל באוועגט זיך אויף א גלייכער ליניע מיט א פאזיציע אויסגעדריקט אלס א פונקציע פון ​​צייט (s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1). באשטימט די מאקסימום שנעלקייט פון דעם טיילכל.

פֿאַרעפֿנטלעכט:

1. באַשטימען די גיכקייט (פּאָזיציע דעריוואַטיוו):
די גיכקייט פון אַ פּאַרטיקל איז די ערשטע דעריוואַטיוו פון פּאָזיציע אין באַצוג צו צייט:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]

2. באַשטימען די צווייטע דעריוואַטיוו:
כדי צו געפֿינען די מאַקסימום פונקטן, געפֿינען מיר די צווייטע דעריוואַטיוו:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]

3. געפינען דעם קריטישן פונקט:
גלייכשטעלן די ערשטע דעריוואטיוו פון דער גיכקייט צו נול:
\[
3ט^2 – 12ט + 9 = 0
\]
טיילן אויף 3:
\[
ט^2 – 4ט + 3 = 0
\]
פאַקטאָרינג:
\[
(ט – 3)(ט – 1) = 0
\]

אַלזאָ, די קריטישע פּונקטן זײַנען \(t = 1 \) און \(t = 3 \).

4. אנאליזירן די פארגיכערונג צו געפינען די מאקסימום:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \implises t = 1 \text{\ איז א לאקאלער מאקסימום}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \implises t = 3 \text{\ איז א לאקאלער מינימום}
\]

5. אויסרעכענען מאַקסימום גיכקייט:
אריינשטעלן \(t = 1 \) אין דער גיכקייט גלייכונג:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{נישט אינטערעסאנט})
\]
טשעק אנדערע באַטייַטיק לימאַץ אָדער אינטערוואַל פונקטן צו ענשור די בעסטע לייזונג.

מיט די טריט קענען מיר קאנסטרואירן א דעריוואט-באזירט לייזונג מוסטער פאר די פארשידענע אפליקאציע פראבלעמען אויבן.

קעסימפּולאַן

די ביישפילן פון אויבן ווייזן ווי דעריוואַטיוון קענען גענוצט ווערן צו סאָלווען פּראָבלעמען אין אַ פאַרשיידנקייט פון קאָנטעקסטן. געפֿינען מאַקסימום און מינימום ווערטן, באַגרענעצטע אָפּטימיזאַציע, און באַוועגונג אַנאַליז זענען בלויז אַ פּאָר אַפּליקאַציעס פון דעם באַגריף פון דעריוואַטיוון. באַהערשן די טעקניקס און מעטאָדן איז וויכטיק פֿאַר יענע וואָס שטודירן אַוואַנסירטע מאַטעמאַטיק און פֿאַרבונדענע דיסציפּלינעס.