כּללים פֿאַר אויספֿילן לעכער אין מאַטעמאַטיק
פּלאַץ-פֿילנדיקע כּללים, אויך באַקאַנט ווי פּערמוטאַציע און קאָמבינאַציע כּללים, זענען יסודותדיקע קאָנצעפּטן אין וואַרשיינלעכקייט און סטאַטיסטיק. די כּללים לאָזן אונדז ציילן די צאָל פֿאַרשידענע וועגן צו אָרדענען אָדער סעלעקטירן אַ זאַמלונג פון אָביעקטן. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר אויספֿאָרשן די גרונטלעכע קאָנצעפּטן, אַפּליקאַציעס און פּראַקטישע ביישפּילן פון פּלאַץ-פֿילנדיקע כּללים.
גרונטלעכע פארשטאנד
אין מאטעמאטיק, ווערן אָרט-פֿיל-רעגולאציעס גענוצט צו ציילן די צאָל פֿאַרשידענע וועגן צו אָרדענען אָדער אויסקלייבן עלעמענטן אין אַ סכום. עס זענען דאָ צוויי הויפּט קאָנצעפּטן אין די רעגולאציעס: פּערמוטאַציעס און קאָמבינאַציעס.
פּערמוטאַציע
א פּערמוטאַציע איז אַ ריאָרדענונג פון אָביעקטן אין אַ ספּעציפֿישער סדר. אין פּערמוטאַציעס איז סדר זייער וויכטיק. למשל, אַ פּערמוטאַציע פון דריי אָביעקטן A, B, און C איז:
– אַבק
– עי סי בי
– BAC
– בקאַ
– קאַב
– קא-בי-עי
אויב מיר האָבן n אָביעקטן, איז די צאָל פּערמוטאַציעס פון n אָביעקטן n!. די פאַקטאָריאַלע נאָטאַציע (n!) מיינט די מאַלטיפּליקאַציע פון אַלע פּאָזיטיווע גאַנצע צאָלן ביז n. למשל, 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
אויב מיר ווילן אויסרעכענען די פּערמוטאַציעס פון n אָביעקטן גענומען r אין א צייט, ניצן מיר די פּערמוטאַציע פאָרמולע:
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!} \]
קאָמבינאַציע
א קאָמבינאַציע איז די אויסוואַל פון אָביעקטן אָן קיין באַצוג צו סדר. למשל, אַ קאָמבינאַציע פון דריי אָביעקטן A, B, און C גענומען צוויי אין איין מאָל איז:
– אב
– AC
– בק
די צאָל קאָמבינאַציעס פון n אָביעקטן גענומען r אין אַ צייט ווערט באַצייכנט מיט \( C(n, r) \) אָדער \( \binom{n}{r} \), און ווערט קאַלקולירט דורך דער פאָרמולע:
\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
דורכפירונג פון אָרט-פילן כּללים
פּלאַץ-פֿילן כּללים האָבן פילע פּראַקטישע אַפּלאַקיישאַנז אין פעלדער ווי סטאַטיסטיק, וואַרשיינלעכקייט, קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט און וויסנשאַפטלעכע פאָרשונג.
אין סטאַטיסטיק
אין סטאַטיסטיק, ווערן פּלאַץ-פֿיל-רעגולאַציעס גענוצט צו רעכענען די צאָל מעגלעכע וועגן צו אָרדענען דאַטן. למשל, אין אַן אַנקעטע, קענען מיר וועלן וויסן וויפֿל וועגן מיר קענען אויסקלייבן אַ מוסטער פֿון אַ פּאָפּולאַציע.
אין וואַרשיינלעכקייט
אין ווארשיינליכקייט, העלפן אָרט-פילן כּללים אויסרעכענען די ליקעליהאָאָד פון אַ געשעעניש. למשל, מיר קענען אויסרעכענען די ווארשיינליכקייט פון באַקומען אַ געוויסע קאָמבינאַציע פון קאַרטן אין אַ שפּיל פּאָקער.
אין קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט
אין קאמפיוטער וויסנשאפט, ווערן אָרט-פילן כּללים גענוצט אין אַלגעריטמען און דאַטן סטרוקטורן. למשל, אין פּראָגראַמירן, קענען מיר וועלן וויסן די צאָל פֿאַרשידענע וועגן צו סאָרטירן דאַטן.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
כּדי צו פֿאַרשטיין ווײַטער, לאָמיר קוקן אויף עטלעכע בײַשפּיל־פֿראַגעס און זייערע דיסקוסיעס.
בייַשפּיל 1: פּערמוטאַציע אָן איבערחזרן
אויף וויפיל וועגן קענט איר אויסשטעלן דאס ווארט "מאטעמאטיק"?
דאס וואָרט "מאַטעמאַטיק" באַשטייט פֿון 10 אותיות, עטלעכע פֿון וועלכע ווערן איבערגעחזרט. כּדי צו רעכענען די צאָל פּערמוטאַציעס פֿון דעם וואָרט, ניצן מיר די פֿאָרמולע:
\[ \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldot \cdot k_m!} \]
וואו \(n \) איז די גאַנצע צאָל אותיות און \(k_1, k_2, \ldots, k_m \) איז די צאָל איבערחזרונגען פון יעדן אות. אין וואָרט "מאַטעמאַטיק":
– מ: 2 מאָל
– א: 3 מאָל
– ט: 2 מאָל
– ע: 1 מאָל
– איך: 1 מאָל
– ק: 1 מאָל
אַזוי, די נומער פון פּערמוטאַציעס איז:
[\frac{10!}{2! 3! 2! 1! 1! 1!} = \frac{3628800}{2 6 2 1 1 1} = \frac{3628800}{24} = 151200]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 151200 וועגן צו סדר דאָס וואָרט "מאַטעמאַטיק".
בייַשפּיל 2: קאָמבינאַציע
וויפיל וועגן זענען דא צו קלייבן 3 סטודענטן פון 5 סטודענטן?
מיר ניצן די קאָמבינאַציע פאָרמולע:
\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
מיט n = 5 און r = 3:
[C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 10 וועגן צו קלייבן 3 סטודענטן פֿון 5 סטודענטן.
בייַשפּיל 3: פּערמוטאַציע מיט איבערחזרן
אויף וויפיל וועגן קען מען אויסשטעלן דאס ווארט "באַלאָן" אויב די אות O ערשיינט צוויי מאָל?
דאס וואָרט "באַלאָן" באַשטייט פון 5 אותיות מיט איין איבערחזרנדיקן אות (O). מיר ניצן די פאָרמולע:
\[ \frac{n!}{k!} \]
וואו n איז די גאַנצע צאָל אותיות און k איז די צאָל איבערחזרן פון די אותיות. אין וואָרט "באַלאָן":
– n = 5
– k = 2 (אות O)
אַזוי, די נומער פון פּערמוטאַציעס איז:
\[ \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \]
אַלזאָ, עס זענען דאָ 60 וועגן צו אָרדענען דאָס וואָרט "באַלאָן" מיטן אות O צוויי מאָל.
קעסימפּולאַן
פלאץ-אויספיל-רעגולאציעס זענען א וויכטיגע קאנצעפט אין מאטעמאטיק וואס ווערט גענוצט צו ציילן די צאל פארשידענע וועגן צו אראנזשירן אדער אויסקלויבן עלעמענטן אין א סכום. פארשטיין פערמוטאציעס און קאמבינאציעס ערלויבט אונז צו לייזן פארשידענע פראבלעמען אין ווארשיינליכקייט, סטאטיסטיק, און פילע אנדערע פעלדער. פארשטיין און באהערשן די קאנצעפטן עפנט אויף פילע געלעגנהייטן פאר אנאליזירן און לייזן מער קאמפליצירטע פראבלעמען אין פארשידענע דיסציפלינעס.
