Phân tích sống sót trong thống kê
Phân tích sống sót là một nhánh của thống kê tập trung vào việc mô hình hóa và phân tích khoảng thời gian cho đến khi một sự kiện xảy ra. Sự kiện này có thể là cái chết của bệnh nhân, sự tái phát bệnh, hỏng hóc linh kiện máy móc, sự bỏ đi của khách hàng, hoặc thời gian cho đến khi người tìm việc tìm được việc làm. Ưu điểm chính của phân tích sống sót so với các kỹ thuật thống kê khác nằm ở khả năng xử lý dữ liệu không đầy đủ do bị kiểm duyệt, tức là khi một sự kiện không xảy ra cho đến cuối kỳ quan sát hoặc không được quan sát đầy đủ.
Trong nghiên cứu y học, phân tích sống sót thường được sử dụng để so sánh hiệu quả của các liệu pháp dựa trên thời gian sống sót; trong kỹ thuật, để ước tính tuổi thọ của các linh kiện; và trong kinh doanh, để dự đoán khả năng giữ chân khách hàng. Bằng cách kết hợp các khái niệm về xác suất, ước lượng phi tham số và mô hình hồi quy, phân tích sống sót trở thành một công cụ quan trọng trong việc ra quyết định dựa trên dữ liệu.
Khái niệm cơ bản: thời điểm xảy ra sự kiện và kiểm duyệt.
Cốt lõi của phân tích sống sót là một biến ngẫu nhiên \(T\) biểu thị thời gian cho đến khi một sự kiện xảy ra. Ví dụ, \(T\) có thể là số ngày sau khi điều trị cho đến khi bệnh nhân bị tái phát. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu thường không quan sát được \(T\) một cách đầy đủ. Có một số hình thức kiểm duyệt phổ biến:
1. Kiểm duyệt phải: Điều này thường xảy ra nhất, ví dụ, khi bệnh nhân không trải qua biến cố nào cho đến khi kết thúc nghiên cứu, hoặc khi bệnh nhân bỏ cuộc giữa chừng. Chúng ta chỉ biết rằng \(T\) lớn hơn thời điểm quan sát cuối cùng.
2. Kiểm duyệt trái (left censoring): Sự kiện xảy ra trước khi bắt đầu quan sát, nhưng thời gian chính xác không được biết.
3. Khoảng thời gian bị kiểm duyệt: Sự kiện được biết là đã xảy ra giữa hai thời điểm quan sát (ví dụ: một bệnh nhân được khám hàng tháng và sự kiện được biết là đã xảy ra giữa tháng thứ 2 và tháng thứ 3).
Hầu hết các phương pháp cơ bản phổ biến (như mô hình Kaplan–Meier và Cox) đều tập trung vào trường hợp dữ liệu bị cắt cụt bên phải.
Chức năng sinh tồn và ứng phó nguy hiểm
Phân tích khả năng sống sót sử dụng hai chức năng chính:
1) Chức năng sinh tồn
Hàm sống sót được định nghĩa như sau:
\[
S(t) = P(T > t)
\]
Tức là, \(S(t)\) là xác suất một cá nhân/đối tượng sống sót sau thời gian \(t\). Ví dụ, \(S(12)=0{,}80\) có thể được hiểu là 80% số đối tượng dự kiến sẽ không trải qua sự kiện đó trong vòng 12 tháng.
2) Chức năng nguy hiểm
Hàm nguy hiểm (tỷ lệ rủi ro) mô tả rủi ro của một sự kiện “ngay bây giờ” với điều kiện đối tượng sống sót đến thời điểm đó:
\[
h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \le T < t+\Delta t \mid T \ge t)}{\Delta t} \] Nguy cơ không phải là xác suất, mà là tỷ lệ. Trong bối cảnh y tế, nguy cơ cao hơn có nghĩa là rủi ro gặp sự kiện tại thời điểm đó cao hơn đối với những người sống sót. Hai khái niệm này có liên quan với nhau bởi: \[ S(t)=\exp\left(-\int_0^th(u)\,du\right) \] Mối quan hệ này rất quan trọng vì một số mô hình tập trung vào nguy cơ và sau đó làm giảm khả năng sống sót, hoặc ngược lại. Ước lượng phi tham số: Kaplan–Meier Một trong những phương pháp nổi tiếng nhất trong phân tích sống sót là ước lượng Kaplan–Meier, là một ước lượng phi tham số của hàm sống sót mà không giả định một phân phối cụ thể. Ước lượng này xây dựng một đường cong sống sót như là tích của các xác suất sống sót tại mỗi thời điểm xảy ra sự kiện. Về mặt khái niệm, phương pháp Kaplan–Meier tính toán: - tại mỗi thời điểm xảy ra sự kiện \(t_i\), - \(d_i\) = số sự kiện tại \(t_i\), - \(n_i\) = số đối tượng “có nguy cơ” ngay trước \(t_i\), sau đó: \[ \hat{S}(t) = \prod_{t_i \le t}\left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right) \] Ưu điểm của phương pháp Kaplan–Meier là: - dễ diễn giải thông qua các đường cong sống sót, - có thể xử lý dữ liệu bị cắt cụt bên phải, - hữu ích cho việc khám phá dữ liệu và so sánh nhóm. Tuy nhiên, phương pháp Kaplan–Meier chủ yếu mang tính mô tả. Để kiểm tra xem hai đường cong sống sót có khác biệt đáng kể hay không, người ta thường sử dụng kiểm định log-rank. So sánh giữa các nhóm: kiểm định log-rank. Kiểm định log-rank được sử dụng để kiểm tra giả thuyết liệu có sự khác biệt về tỷ lệ sống sót giữa hai (hoặc nhiều) nhóm hay không, ví dụ như nhóm điều trị A so với nhóm điều trị B. Kiểm định này so sánh số lượng sự kiện "quan sát được" với số lượng sự kiện "dự kiến" tại mỗi thời điểm xảy ra sự kiện, có tính đến số lượng đối tượng vẫn còn nguy cơ.
