Bài viết về phương trình liên tục
Hãy thử mở vòi nước từ từ và chú ý đến tốc độ nước chảy ra từ miệng vòi. Bây giờ hãy so sánh, tốc độ nước chảy nhanh hơn ở đâu khi miệng vòi đóng và khi không đóng? Tại sao lại như vậy? Để hiểu điều này, hãy nghiên cứu phương trình liên tục.
Sắp xếp
Trong dòng chảy ổn định, tốc độ của mỗi hạt chất lỏng tại một điểm, chẳng hạn điểm A, luôn luôn như nhau. Khi đi qua điểm B, vận tốc của các hạt chất lỏng có thể thay đổi. Tuy nhiên, khi đến điểm B, các hạt chất lỏng theo sau sẽ chảy với tốc độ giống như các hạt chất lỏng đi trước. Tương tự như vậy khi đến điểm C và cứ thế tiếp tục. Đường dòng chảy là một đường cong nối các điểm A, B và C.
Lưu lượng
Ta có thể mô tả từng đường dòng đi qua mỗi điểm trong dòng chảy chất lỏng. Nếu ta hình dung một dòng chảy chất lỏng ổn định, một số đường dòng đi qua một góc nhất định trên diện tích bề mặt tưởng tượng sẽ tạo thành một ống dẫn dòng. Không có hạt chất lỏng nào giao nhau mà luôn song song, và ống dẫn dòng sẽ giống như một đường ống có hình dạng không đổi. Chất lỏng đi vào một đầu của ống sẽ đi ra ở đầu kia của ống.
Ghi nợ
Lưu lượng biểu thị thể tích chất lỏng chảy qua một tiết diện nhất định trong một khoảng thời gian nhất định. Về mặt toán học, có thể phát biểu như sau:
Lưu lượng = Thể tích chất lỏng / khoảng thời gian
Q = V / t
Để giúp bạn dễ hiểu hơn, chúng tôi sẽ sử dụng một ví dụ. Ví dụ, chất lỏng chảy qua một đường ống. Đường ống thường có hình trụ và có diện tích mặt cắt ngang nhất định. Đường ống cũng có chiều dài.
Khi chất lỏng chảy trong ống một đoạn dài L, thể tích chất lỏng trong ống là V = AL (V = thể tích chất lỏng, A = diện tích mặt cắt ngang và L = chiều dài ống). Vì khi chất lỏng chảy trong ống dọc theo chiều dài L, nó cần một khoảng thời gian nhất định, nên ta có thể nói rằng lượng chất lỏng là:
Vì v = s / t = L / t —> L = vt, nên phương trình trên được thay đổi thành:
Như vậy, khi chất lỏng chảy qua một đường ống có diện tích mặt cắt ngang và chiều dài nhất định, trong một khoảng thời gian nhất định, lượng chất lỏng chảy ra (Q) bằng diện tích mặt cắt ngang (A) nhân với vận tốc dòng chảy của chất lỏng (v).
Phương trình liên tục
Hãy xem xét sự chuyển động của chất lỏng trong một đường ống có đường kính khác nhau, như hình dưới đây.
Hình ảnh này thể hiện dòng chảy chất lỏng từ trái sang phải (chất lỏng chảy từ ống có đường kính lớn sang ống có đường kính nhỏ). Đường nét đứt là đường cong khí động học.
A1 = diện tích mặt cắt ngang của ống có đường kính lớn, A2 = diện tích mặt cắt ngang của ống có đường kính nhỏ, v1 = vận tốc dòng chảy của chất lỏng trong ống có đường kính lớn, v2 = vận tốc dòng chảy của chất lỏng trong ống có đường kính nhỏ, L = quãng đường chất lỏng di chuyển.
Trong dòng chảy ổn định, vận tốc của dòng các hạt chất lỏng tại một điểm bằng vận tốc của dòng các hạt chất lỏng khác đi qua điểm đó. Dòng chảy chất lỏng cũng không giao nhau (các đường song song). Do đó, khối lượng chất lỏng đi vào một đầu ống phải bằng khối lượng chất lỏng đi ra ở đầu kia. Nếu chất lỏng có một khối lượng nhất định khi đi vào ống có đường kính lớn, thì chất lỏng sẽ đi ra ở ống có đường kính nhỏ hơn với cùng khối lượng đó.
Bây giờ hãy xem hình vẽ đường ống ở trên. So sánh đường ống có đường kính lớn và đường ống có đường kính nhỏ.
Trong một khoảng thời gian nhất định, một lượng chất lỏng chảy qua đoạn ống có đường kính lớn (A1 ) đến độ dài L1 ( L1 = v1 / t ). Thể tích chất lỏng chảy qua là V1 = A1L1 = A1v1 / t . Trong cùng khoảng thời gian đó, một lượng chất lỏng khác chảy qua đoạn ống có đường kính nhỏ (A2 ) đến độ dài L2 ( L2 = v2 / t ) . Thể tích chất lỏng chảy qua là V2 = A2L2 = A2v2 / t.
Phương trình liên tục cho chất lỏng không nén được
Trong chất lỏng không nén được, mật độ chất lỏng luôn không đổi tại mọi điểm mà nó đi qua. Khối lượng chất lỏng chảy trong một ống có diện tích mặt cắt ngang A1 (đường kính ống lớn) trong một khoảng thời gian nhất định là:
Tương tự, khối lượng chất lỏng chảy trong một ống có tiết diện A2 ( đường kính ống nhỏ) trong một khoảng thời gian nhất định là:
Trong dòng chảy ổn định, khối lượng chất lỏng đi vào bằng khối lượng chất lỏng đi ra, do đó:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
Vậy, phương trình liên tục trong chất lỏng không nén được là:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Phương trình 1
A 1 = diện tích mặt cắt ngang 1, A 2 = diện tích mặt cắt ngang 2, v 1 = vận tốc dòng chảy của chất lỏng trong mặt cắt 1, v 2 = vận tốc dòng chảy của chất lỏng trong mặt cắt 2, A v = lưu lượng thể tích (V / t) = lưu lượng xả.
Phương trình 1 cho thấy lưu lượng luôn không đổi tại mọi điểm dọc theo đường ống hoặc ống dẫn. Khi tiết diện ống giảm, lưu lượng chất lỏng tăng, trong khi khi tiết diện ống lớn, lưu lượng chất lỏng giảm.
Khi một phần miệng vòi nước bị đóng lại, lưu lượng nước chảy ra sẽ mạnh hơn so với khi một phần miệng vòi nước không bị đóng. Điều này là do diện tích mặt cắt ngang của vòi nước bị thu hẹp lại khi một phần miệng vòi nước bị đóng, do đó lưu lượng nước chảy ra tăng lên. Nhưng điều quan trọng cần biết là lưu lượng hoặc lượng chất lỏng được xả ra luôn không đổi tại mỗi điểm dọc theo dòng nước, bất kể một phần miệng vòi nước của chúng ta có bị đóng hay không. Vậy thì lưu lượng chất lỏng thay đổi ở đâu?
Vậy còn dòng chảy của nước trong sông thì sao? Phần sông sâu có tiết diện lớn hơn phần sông nông, vì vậy tốc độ dòng chảy của nước ở phần sông sâu nhỏ hơn tốc độ dòng chảy của nước ở phần sông nông.
Phương trình liên tục cho chất lỏng nén được
Đối với chất lỏng bị nén, mật độ của chất lỏng không phải lúc nào cũng giống nhau. Nói cách khác, mật độ chất lỏng thay đổi khi bị nén. Nếu chất lỏng không bị nén, mật độ của chất lỏng sẽ được loại bỏ khỏi phương trình, vì vậy trong trường hợp này, mật độ chất lỏng được đưa vào phương trình. Dựa vào phương trình đã được thiết lập trước đó, chúng ta hãy thiết lập phương trình cho chất lỏng bị nén.
Khối lượng chất lỏng đi vào bằng khối lượng chất lỏng đi ra, do đó:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Khoảng thời gian dòng chảy chất lỏng là như nhau nên có thể loại bỏ được. Các phương trình được thay đổi thành:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Phương trình 2
Đây là phương trình dành cho chất lỏng bị nén. Sự khác biệt nằm ở mật độ của chất lỏng. Nếu chất lỏng bị nén, mật độ sẽ thay đổi. Ngược lại, nếu chất lỏng không bị nén, mật độ luôn không đổi nên có thể loại bỏ yếu tố này khỏi phương trình.
Ví dụ bài toán 1:
Nước chảy qua một ống có đường kính 10 cm với vận tốc 2 m/s. Lưu lượng nước là bao nhiêu?
Đã biết:
Đường kính ống = 10 cm
Bán kính của ống (r) = 5 cm = 0.05 m
Tốc độ của nước (v) = 2 m/s
Cần mua: Thẻ ghi nợ
Giải pháp:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
Ví dụ bài toán 2:
Một ống có đường kính 20 cm được nối với một ống khác có đường kính 10 cm. Nếu vận tốc nước trong ống có đường kính 20 cm là 4 m/s, thì vận tốc nước trong ống có đường kính 10 cm là bao nhiêu?
Đã biết:
Đường kính 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v 1 = 4 m/s
Đường kính 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0.05 m)
Cần tìm: phiên bản 1
Hàm:
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v 2 = 16 m/s
