Ví dụ về câu hỏi thảo luận về phép biến đổi tỷ lệ trong toán học
Phép biến đổi giãn nở, hay phép biến đổi phóng to và thu nhỏ, là một khái niệm quan trọng trong hình học biến đổi. Khái niệm này thường xuất hiện trong nhiều ngữ cảnh khác nhau, chẳng hạn như nghiên cứu về các quy luật, tính đối xứng và nhiều ứng dụng thực tế khác. Bài viết này sẽ thảo luận về khái niệm giãn nở trong toán học và cung cấp một số ví dụ bài toán cùng lời giải.
Hiện tượng giãn nở là gì?
Phép biến đổi tỷ lệ (Drilation) là một phép biến đổi hình học liên quan đến việc phóng to hoặc thu nhỏ một hình bằng một hệ số tỉ lệ nhất định. Trong phép biến đổi tỷ lệ, một điểm trên một hình hình học sẽ dịch chuyển ra xa hoặc lại gần điểm tâm biến đổi tỷ lệ với cùng một hệ số. Phép biến đổi tỷ lệ có thể phóng to (hệ số tỉ lệ > 1), thu nhỏ (0 < hệ số tỉ lệ < 1), hoặc thậm chí phản chiếu hình nếu hệ số tỉ lệ âm. Các ký hiệu trong phép biến đổi tỷ lệ Khi thực hiện phép biến đổi tỷ lệ, một số ký hiệu thường được sử dụng bao gồm: - Tâm biến đổi tỷ lệ (P): Một điểm cố định được sử dụng làm điểm tham chiếu trong quá trình biến đổi tỷ lệ. - Hệ số tỉ lệ (k): Tỷ lệ độ dài xác định mức độ phóng to hoặc thu nhỏ. Nếu (k > 1), đối tượng sẽ được phóng to. Nếu (0 < k < 1), đối tượng sẽ bị thu nhỏ.
Giả sử điểm A có tọa độ (x, y) được phóng đại thành điểm A' với hệ số tỉ lệ k và tâm phóng đại tại O (0,0), thì tọa độ của A' là (kx, ky). Công thức phóng đại Để tìm tọa độ mới của điểm sau khi phóng đại, công thức được sử dụng là: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] trong đó (x, y) là tọa độ ban đầu của điểm và k là hệ số tỉ lệ. Ví dụ và thảo luận Câu hỏi ví dụ 1 Điểm A (2, 3) được phóng đại với hệ số tỉ lệ 2 và tâm phóng đại tại O (0, 0). Xác định tọa độ của điểm A sau khi phóng đại. Thảo luận: Tọa độ của điểm A là (2, 3), hệ số tỉ lệ là k = 2, và tâm phóng đại là điểm O (0, 0). Theo công thức phép biến đổi tỉ lệ: \[ A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Vì vậy, tọa độ của điểm A sau phép biến đổi tỉ lệ là (4, 6). Ví dụ Câu hỏi 2 Điểm B (-1, 4) được biến đổi tỉ lệ với hệ số tỉ lệ là 0,5 và tâm biến đổi tỉ lệ là điểm O (0, 0). Xác định tọa độ của điểm B sau phép biến đổi tỉ lệ. Giải: Tọa độ của điểm B là (-1, 4), hệ số tỉ lệ k = 0,5 và tâm biến đổi tỉ lệ là điểm O (0, 0). Theo công thức phép biến đổi tỉ lệ: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Vậy, tọa độ của điểm B sau phép biến đổi tỷ lệ là (-0,5, 2). Ví dụ Câu hỏi 3: Điểm C (3, -2) được biến đổi tỷ lệ với hệ số tỉ lệ là -1 và tâm biến đổi tỷ lệ nằm tại O (0, 0). Xác định tọa độ của điểm C sau phép biến đổi tỷ lệ. Giải: Tọa độ của điểm C là (3, -2), hệ số tỉ lệ k = -1, và tâm biến đổi tỷ lệ nằm tại điểm O (0, 0). Theo công thức biến đổi tỷ lệ: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Vậy, tọa độ của điểm C sau phép biến đổi tỷ lệ là (-3, 2). Ví dụ Câu hỏi 4: Điểm D (2, 5) được biến đổi tỷ lệ với hệ số tỉ lệ là 3 và tâm biến đổi tỷ lệ nằm tại P (1, 1). Xác định tọa độ của điểm D sau phép biến đổi tỷ lệ. Thảo luận: Tọa độ của điểm D là (2, 5), hệ số tỉ lệ k = 3, và tâm phép biến đổi giãn là điểm P (1, 1). Đầu tiên, ta dịch chuyển điểm D đến hệ tọa độ của tâm phép biến đổi giãn P (1, 1): Tọa độ tương đối của D so với P là: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] Thực hiện phép biến đổi giãn với hệ số tỉ lệ k tại điểm D_r: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Cuối cùng, ta đưa điểm D_r' trở lại hệ tọa độ ban đầu: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Vì vậy, tọa độ của điểm D sau phép biến đổi tỷ lệ là (4, 13). Ví dụ Câu hỏi 5 Điểm E (-2, -3) được biến đổi tỷ lệ với hệ số tỉ lệ là 0,25 và tâm biến đổi tỷ lệ là điểm P (-1, -1). Xác định tọa độ của điểm E sau phép biến đổi tỷ lệ. Giải: Tọa độ của điểm E là (-2, -3), hệ số tỉ lệ k = 0,25 và tâm biến đổi tỷ lệ là điểm P (-1, -1). Đầu tiên, ta dịch chuyển điểm E đến hệ tọa độ tâm giãn nở P (-1, -1): Tọa độ tương đối của E so với P là: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] Thực hiện phép giãn nở với hệ số tỷ lệ k trên điểm E_r: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Cuối cùng, ta đưa điểm E_r' trở lại hệ tọa độ ban đầu: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Vì vậy, tọa độ của điểm E sau phép giãn nở là (-1,25, -1,5). Kết luận: Phép biến đổi tỷ lệ là một phép biến đổi hình học làm phóng to hoặc thu nhỏ một hình học theo một hệ số tỉ lệ xác định. Hiểu được khái niệm và ứng dụng của phép biến đổi tỷ lệ rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu, đặc biệt là hình học. Với các ví dụ và thảo luận, hy vọng rằng điều này sẽ giúp sinh viên và người đọc hiểu rõ hơn và áp dụng khái niệm phép biến đổi tỷ lệ trong các tình huống toán học khác nhau.