Statistik ma'lumotlardagi o'rtacha og'ishni aniqlash usullari
Statistikada ma'lumotlarning "markazi"ni shunchaki tushunish — masalan, o'rtacha yoki mediana orqali — ko'pincha yetarli emas. Ikkita ma'lumot to'plami bir xil o'rtacha qiymatga ega bo'lishi mumkin, ammo ularning "o'zgaruvchanlik" darajalarida sezilarli darajada farq qiladi. Shuning uchun dispersiya o'lchovlari muhimdir. Tushunish va foydalanish nisbatan oson bo'lgan dispersiya o'lchovlaridan biri bu o'rtacha og'ishdir. Ushbu maqolada statistik ma'lumotlarning turli shakllarida o'rtacha og'ishni aniqlash usullari, hisoblash bosqichlari va misollar bilan muhokama qilinadi.
O'rtacha og'ishni tushunish
O'rtacha og'ish - bu har bir ma'lumot nuqtasining markaziy tendentsiya o'lchovidan, odatda arifmetik o'rtacha (o'rtacha) yoki medianadan o'rtacha masofasini ko'rsatadigan o'lchovdir. Ko'rib chiqilayotgan masofa ma'lumotlar va markaziy qiymat o'rtasidagi farqning mutlaq qiymatidir, shuning uchun hech qanday salbiy farq musbat farqni "bekor qilmaydi".
Umuman olganda, o'rtacha og'ish ma'lumotlarning markaziy qiymatidan qanchalik uzoqda joylashganligini tavsiflaydi. O'rtacha og'ish qanchalik kichik bo'lsa, ma'lumotlar markaz atrofida shunchalik zich joylashgan bo'ladi; qiymat qanchalik katta bo'lsa, ma'lumotlar shunchalik o'zgaruvchan bo'ladi.
Nima uchun mutlaq qiymatdan foydalanish kerak?
Agar biz ma'lumotlar va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farqlarning o'rtacha qiymatini absolyut qiymatsiz hisoblasak, farqlar yig'indisi har doim nolga teng bo'ladi (chunki o'rtacha qiymat muvozanat nuqtasidir). Masalan, agar +5 va -5 farqlar bo'lsa, ularning yig'indisi 0 ga teng. Shuning uchun, mutlaq qiymatlar og'ishlar ma'lumotlarning markazdan masofasini chindan ham aks ettirishi uchun ishlatiladi.
Yagona ma'lumotlar uchun o'rtacha og'ish formulasi
Yagona ma'lumotlar uchun (guruhlanmagan) o'rtacha qiymatdan o'rtacha og'ish quyidagicha shakllantiriladi:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Ma `lumot:
– \( SR \): o'rtacha og'ish
– \( x_i \): i-chi ma'lumotlar
– \( \bar{x} \): arifmetik o'rtacha (o'rtacha)
– \( n \): ma'lumotlar miqdori
Yagona ma'lumotlarni hisoblash texnikasi (bosqichlar)
1. Barcha ma'lumotlarning o'rtacha qiymatini hisoblang.
2. Har bir ma'lumot va o'rtacha qiymat orasidagi farqni hisoblang: \( x_i – \bar{x} \).
3. Har bir farqning absolyut qiymatini oling: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Farqlarning barcha absolyut qiymatlarini qo'shing.
5. Ma'lumotlar soniga bo'ling \(n \).
Yagona ma'lumotlar namunasi
Qiymat ma'lumotlari: 6, 8, 10, 12, 14
1) O'rtacha:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Farqning absolyut qiymati:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Jami = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) O'rtacha og'ish:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
Bu shuni anglatadiki, o'rtacha har bir qiymat o'rtacha qiymatdan (10) 2,4 birlikka farq qiladi.
Tez-tez (diskret) ma'lumotlar uchun o'rtacha og'ish
Agar ma'lumotlar qiymatlar va chastotalar ko'rinishida taqdim etilsa (masalan, jadval), formula quyidagicha bo'ladi:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Ma `lumot:
– \( f_i \): ma'lumotlar chastotasi \( x_i \)
Chastotali ma'lumotlarni hisoblash usullari
1. O'rtacha qiymatni hisoblang: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. \( |x_i-\bar{x}| \) ni hisoblang.
3. Chastotaga ko'paytiring: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. 3-bosqichning barcha natijalarini qo'shing
5. Umumiy chastotaga bo'ling
Diskret ma'lumotlarga misollar
| Qiymat (x) | Chastota (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Umumiy chastota: \(2+3+1=6\)
Anglatadi:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Og'ishni hisoblang:
– x=5 uchun: |5−6,67|=1,67 → f=2 → 3,34 ga ko'paytiriladi
– x=7 uchun: |7−6,67|=0,33 → f=3 → 0,99 ga ko'paytiriladi
– x=9 uchun: |9−6,67|=2,33 → f=1 → 2,33 ga ko'paytiriladi
Jami: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
O'rtacha og'ish:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Guruhlangan ma'lumotlar uchun o'rtacha og'ish (sinf oralig'i)
Guruhlangan ma'lumotlarda (masalan, interval chastotasi taqsimoti) ma'lumotlar qiymatlari alohida emas, balki sinflarda ko'rsatiladi. Buning uchun sinf ichidagi ma'lumotlarni ifodalash uchun sinfning o'rta nuqtasi (xi) ishlatiladi.
Formula:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Biroq, \(x_i\) sinfining o'rta nuqtasidir.
Guruh ma'lumotlarini hisoblash usullari
1. Har bir sinfning o'rta nuqtasini aniqlang:
\[
x_i=\frac{\text{pastki chegara + yuqori chegara}}{2}
\]
2. Guruh o'rtacha qiymatini hisoblang:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. \( |x_i-\bar{x}| \) ni hisoblang.
4. Chastotaga ko'paytiring \( f_i \)
5. Barcha natijalarni qo'shing, so'ngra umumiy chastotaga bo'ling.
Guruh ma'lumotlari namunasi
| Sinf | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
O'rta nuqta:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Jami f = 10
Anglatadi:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Og'ish:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Jami = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
O'rtacha og'ish:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Medianadan o'rtacha og'ish
O'rtacha qiymatdan tashqari, o'rtacha og'ishni medianadan ham hisoblash mumkin. Printsip bir xil, faqat markaziy qiymat farq qiladi. Bu ma'lumotlarda chetga chiqish qiymatlari mavjud bo'lganda foydalidir, chunki mediana ekstremal qiymatlarga nisbatan ko'proq chidamli.
Yagona ma'lumotlar uchun:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
Chastota ma'lumotlari uchun:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
O'rtacha og'ishning afzalliklari va cheklovlari
Ortiqcha:
1. Ma'lumotlar markazidan "o'rtacha masofa" dan foydalanganligi sababli tushunish oson.
2. Barcha ma'lumotlardan foydalaning (faqat ma'lum ma'lumotlardan emas).
3. Ma'lumotlarni taqdim etishning turli shakllari uchun hisoblanishi mumkin.
Cheklovlar:
1. Ilg'or statistik tahlilda standart og'ishdan kamroq mashhur.
2. Mutlaq qiymatlardan foydalanish ba'zi algebraik manipulyatsiyalar uchun uni kamroq qulay qiladi.
3. Ko'pgina xulosa chiqarish usullarida standart og'ish kabi kuchli emas.
Yopish
Statistik ma'lumotlardagi o'rtacha og'ishni aniqlash usuli asosan izchil naqshga amal qiladi: markaziy qiymatni (o'rtacha yoki mediana) aniqlang, har bir ma'lumot nuqtasining (yoki sinf o'rta nuqtasining) markazdan mutlaq masofasini hisoblang va keyin ularning o'rtacha qiymatini oling - agar ma'lumotlar jadvalda keltirilgan bo'lsa, chastotani hisobga oling. O'rtacha og'ish ma'lumotlar o'zgaruvchanligini intuitiv ravishda tavsiflash uchun qulay dispersiya o'lchovidir. Bosqichlarni tushunish orqali siz ma'lumotlar to'plamlari bo'yicha o'zgarishni taqqoslashingiz va ma'lumotlar to'plamining barqarorligini to'liqroq baholashingiz mumkin.
Agar xohlasangiz, men sizga ushbu maqolaning maktab topshirig'i formatida (kirish-munozara-xulosa bilan) versiyasini yaratishda yordam berishim yoki muhokama bilan birga amaliy savollarni qo'shishim mumkin.
