Statistik ma'lumotlarda kvartillar, desillar va foizlarni qanday hisoblash mumkin
Statistikada biz ko'pincha ma'lumotlar to'plamidagi qiymatning o'rnini bilishimiz kerak. O'rtacha qiymatni yoki medianani hisoblashning o'zi yetarli emas, chunki bu o'lchovlar ma'lumotlar qanday taqsimlanganligini va kuzatuv boshqalar bilan qanday taqqoslanganligini tasvirlab bera olmaydi. Bu yerda kvartillar, desillar va foizillar rol o'ynaydi. Bu uchtasi saralangan ma'lumotlarni teng qismlarga ajratadigan pozitsion o'lchovlardir. Ushbu maqolada yakka va guruhlangan ma'lumotlar uchun kvartillar, desillar va foizillarni qanday hisoblash ta'rifi, umumiy bosqichlari va muhokama qilinadi.
-
1. Asosiy tushuncha: Ma'lumotlar saralanishi kerak
Kvartillar, desillar yoki foizlarni hisoblashdan oldin, eng muhim qadam ma'lumotlarni eng kichikdan eng kattasiga saralashdir. Ma'lumotlar saralangandan so'ng, biz kvartillar, desillar yoki foizlarning joylashuvini ularning indeks pozitsiyalariga qarab aniqlashimiz mumkin.
Umuman:
– Kvartillar ma'lumotlarni 4 qismga ajratadi.
– Desillar ma'lumotlarni 10 qismga ajratadi.
– Foizlar ma'lumotlarni 100 qismga ajratadi.
Amalda, kvartillar, desillar va foizillar odatda test ballarini, daromad ma'lumotlarini, antropometrik o'lchovlarni (bo'y/vazn) va ish faoliyatini baholashni tahlil qilish uchun ishlatiladi.
-
2. Kvartillarni qanday hisoblash mumkin (1-chorak, 2-chorak, 3-chorak)
A. Yagona ma'lumotlardagi kvartillar (guruhlanmagan)
Kvartillar quyidagilardan iborat:
– 1-chorak: pastki kvartil (ma'lumotlarning 25% undan pastda)
– 2-chorak: o'rtacha (50%)
– 3-chorak: yuqori chorak (75%)
Yagona ma'lumotlar kvartillarini hisoblash bosqichlari:
1. Ma'lumotlarni saralang.
2. Kvartil pozitsiyasini pozitsiya formulasidan foydalanib hisoblang:
– Q1 pozitsiyasi = \((n+1)/4\)
– Q2 pozitsiyasi = \(2(n+1)/4\) yoki \((n+1)/2\)
– Q3 pozitsiyasi = \(3(n+1)/4\)
Agar pozitsiya butun son bo'lsa, o'sha pozitsiyadagi qiymatni oling. Agar pozitsiya kasr bo'lsa, interpolatsiya qiling (ikki eng yaqin ma'lumotlar nuqtasi orasidagi qiymatni oling).
Tezkor misol:
Saralangan ma'lumotlar: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Q1 pozitsiyasi = (8+1)/4 = 2,25 → 2-chi va 3-chi ma'lumotlar orasida.
Shunday qilib, 1-savol 6 va 7 oralig'ida. Interpolatsiya:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Guruhlangan ma'lumotlardagi kvartillar (chastota taqsimoti)
Guruhlangan ma'lumotlar (masalan, sinf intervallari) uchun kvartillar quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
\[
Q_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{4}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Ma `lumot:
– \(Q_k\): k-chi kvartil (k = 1,2,3)
– \(L\): kvartil sinfining pastki cheti
– \(n\): ma'lumotlar soni (umumiy chastota)
– \(F\): kvartil sinfidan oldingi kümülatif chastota
– \(f\): kvartil sinfidagi chastota
– \(c\): sinf uzunligi
Umumiy qadamlar:
1. Kümülatif chastotani yarating.
2. Kvartilning joylashuvini aniqlang: \(k/4 \times n\).
3. Ushbu pozitsiyani o'z ichiga olgan sinfni toping.
4. Formulaga kiriting.
-
3. Desillarni qanday hisoblash mumkin (D1 dan D9 gacha)
Desillar ma'lumotlarni 10 qismga ajratadi, ya'ni:
– \(D_1\) ma'lumotlarning eng pastki 10% chegarasini bildiradi,
– \(D_5\) medianaga teng,
– \(D_9\) 90% ma'lumotlar chegarasini bildiradi.
A. Yagona ma'lumotlardagi desillar
Desil pozitsiyasi formulasi:
\[
\text{Position } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
\(k = 1,2,\dots,9\) bilan.
Pozitsiya olingandan so'ng, qiymatni olish usuli kvartil uchun bo'lgani kabi bir xil: agar u butun bo'lsa, uni to'g'ridan-to'g'ri oling, agar u kasr bo'lsa, interpolyatsiya qiling.
-
B. Guruhlangan ma'lumotlardagi desillar
Guruhlangan ma'lumotlar uchun desil formulasi:
\[
D_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{10}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Tavsif kvartil bilan bir xil, faqat bo'luvchi 10 ga teng.
Qadam:
1. \(k/10 \marta n\) ni hisoblang.
2. Kümülatif chastotaga asoslanib desil sinfini aniqlang.
3. Formulaning o'rniga qo'ying.
Desillar ko'pincha iqtisodiy tahlilda qo'llaniladi, masalan, odamlarning daromadlarini 10 guruhga bo'lish (1-desil eng kambag'al, 10-desil esa eng boy).
-
4. Persentillarni qanday hisoblash mumkin (P1 dan P99 gacha)
Persentillar batafsilroq, chunki ular ma'lumotlarni 100 qismga ajratadi. Qiymat P25 = Q1, P50 = mediana va P75 = Q3. Bu shuni anglatadiki, kvartillar aslida foizillarning maxsus holatidir.
A. Yagona ma'lumotlardagi foizlar
Persentil pozitsiyasi formulasi:
\[
\text{Position } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
\(k = 1,2,\dots,99\) bilan.
Jarayon bir xil: ma'lumotlarni saralash, pozitsiyani hisoblash, keyin qiymatni olish yoki interpolatsiya qilish.
-
B. Guruhlangan ma'lumotlardagi foizlar
Guruhlangan ma'lumotlar foizli formulasi:
\[
P_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{100}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Bosqichlar desil/kvartillar bilan bir xil:
1. (k/100 marta n) pozitsiyasini aniqlang.
2. Kümülatif chastotaning foizli sinfini toping.
3. Formuladan foydalaning.
Persentillar ko'pincha akademik va sog'liqni saqlashni baholashda qo'llaniladi. Masalan, bolaning bo'yi 80-persentilda bo'lsa, bu uning o'z yoshidagi bolalarning 80% dan uzunroq ekanligini anglatadi.
-
5. Muhim maslahatlar va keng tarqalgan xatolar
1. Ma'lumotlar saralanishi kerak (ayniqsa, alohida ma'lumotlar uchun). Saralashsiz kvartillar/desillar/persentillar ma'nosiz bo'ladi.
2. Agar siz uzluksiz tushunchalardan foydalanayotgan bo'lsangiz, guruhlangan ma'lumotlarda (klass chegaralaridan emas) sinf chekkalaridan foydalanishga ishonch hosil qiling.
3. Kümülatif chastota to'g'ri bo'lishi kerak, chunki kvartil/desil/persentil klassi to'plangan chastotadan aniqlanadi.
4. Sinf uzunligiga e'tibor bering (c). Sinf uzunligi noto'g'ri bo'lmasligi kerak, chunki bu hisoblash natijalariga ta'sir qiladi.
5. Pozitsiyalar yaxlitlanmagan hollarda interpolatsiya muhim ahamiyatga ega. Ko'pgina talabalar darhol pozitsiyalarni yaxlitlashadi, garchi bu aniqlikni pasaytirishi mumkin bo'lsa ham.
-
6. Xulosa
Kvartillar, desillar va foizillar ma'lumotlarning taqsimlanishini tushunish uchun muhim statistik vositalardir. Kvartillar oddiy xulosalar uchun mos keladi (masalan, quti diagrammasida), desillar daromad tahlili kabi batafsilroq guruhlash uchun foydalidir, foizillar esa juda aniq bir shaxsning populyatsiyadagi mavqeini baholashga yordam beradi. Asosiy bosqichlarni - ma'lumotlarni tartiblash, mavqeini aniqlash va yakka yoki guruhlangan ma'lumotlar uchun tegishli formulalardan foydalanishni tushunish orqali siz kvartillar, desillar va foizillarni aniqroq va ishonchliroq hisoblashingiz mumkin.
Agar xohlasangiz, men guruhlangan ma'lumotlar jadvalining to'liq namunasini (interval, chastota, kümülatif chastota) qo'shishim va keyin mashq qilishni osonlashtirish uchun Q1, D7 va P85 ni batafsil hisoblashim mumkin.
